Izometrii

Izometrii

Fie E un spatiu vectorial euclidian real.

DEFINITIA 1. Functia T : E E definita prin T () = + a, a I E, a fixat, se numeste translatie de vector a pe E.

Observatia 1. Translatia de vector nul (0_E) este identitatea pe E.

TEOREMA 1.5.8. (1) Daca T este translatie de vector a₁ si T este translatie de vector a₂, atunci T T T T este translatie de vector a₁ + a_2.

Daca T este translatie de vector a, atunci T  exista si este translatia de vector - a.

Demonstratie (1) (T T )() = T () = () + = .

Analog  (T T )() = si deci T T T T

Din T  T I rezulta T T ())= adica T  ()= si facand inlocuirea avem T  () =. 

Observatia 1.5.3. Produsul defineste pe multimea tuturor translatiilor pe E o structura de grup abelian, numit grupul translatiilor.

TEOREMA 1.5.9. Translatia pastreaza distanta euclidiana, adica

d (T  (),T  ()) = d (), I E.

Demonstratie. d(T (),T  ()) = || T  () - T  ()||=||||=||||=

=d(), I E. 

DEFINITIA 1. O functie surjectiva F : E E care pastreaza distanta euclidiana, adica d(F (),F ()=d(), I E, se numeste izometrie.

Observatia 1. Transformarile ortogonale si translatiile sunt izometrii. De asemenea se dovedeste cu usurinta ca produsul a doua izometrii este o izometrie.

TEOREMA 1.5.10. O izometrie F : E E cu proprietatea ca F (0_E) = 0_E este o transformare ortogonala.

Demonstratie. Sa aratam ca F pastreaza normele

||||=||||=d(0_E, ) = d(F (0_E), F ()) =d(0_E, F ())=||F () - 0_E|| = || F ()||, E.

Utilizand acest rezultat putem dovedi ca F pastreaza produsul scalar

d(F (),F ())=d() || F () - F ()||=||||

(F () - F (),F () - F ())=(, )

F (),F ()) = (), I E.

Aratam acum ca orice izometrie care pastreaza produsul scalar este o transformare liniara:

F(),F())=()T F(),F())=()==(F(),F())= =( F(),F ()) T F () - F (),F ()) = 0, F (), R.

Facem F () = F () - F () si rezulta F () - F () = 0, adica F este omogena.

F (),F ())=()=()+()=(F (),F ())+(F (),F ())=

F ()+F (),F ()) T F () - F () - F (),F ()) = 0, F (). Deci F () - F () - F ()= 0, adica F este aditiva.

TEOREMA 1.5.11. Daca F este o izometrie, atunci exista o translatie T si o transformare ortogonala R astfel incat F T R

Demonstratie. Fie T translatia de vector F (0_E) si T translatia de vector - F (0_E). Functia T  F este o izometrie care pastreaza pe 0_E. Conform cu T.1.5.10. izometria T  F este o transformare ortogonala R , adica T  F = R sau F T ◦ R .

Observatia 1. Compunerea defineste pe multimea tuturor izometriilor lui E o structura de grup.