Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice

Acasa » scoala » matematica
Siruri de functii

Siruri de functii

Siruri de functii

1. Fie un spatiu metric si spatiul vectorial real al functiilor definite pe cu valori reale. Vom nota cu multimea functilor continue . Cu operatiile obisnuite de adunare si inmultire a functiilor, cat si inmultirea cu scalari a functiilor, spatiul este o algebra de functii.

Pe spatiul definim norma convergrntei uniforme .

Cu aceasta norma devine o algebra de functii normata deoarece, putem scrie

, .

Daca este spatiu metric compact atunci spatiul , cu norma introdusa mai sus, devine spatiu vectorial complet (spatiu Banach).

2. Observatie. Pe spatiul se pot introduce si alte norme fata de care acest spatiu nu este complet (vezi seminarul).

3. Definitie. Se numeste sir de functii pe orice aplicatie care asociaza la orice numar natural o functie definita pe cu valori reale; Asadar, putem scrie sirul de functii sub forma sau sub forma , in care caz observam ca toate functiile ale sirului sunt functii de aceeasi variabila , sau scriind elementele sirului ca functii de aceeasi variabila

. (1)

Presupunem ca exista puncte pentru care fiecare sir numeric este convergent catre o limita finita. Deoarece limita sirului este determinata de valoarea sirului in , este natural ca limita sa fie reprezentata printr-o functie de variabila .

Asadar, daca este un sir de functii definite pe cu valori reale (eventual cu valori in ) atunci si sunt functii pe , definite prin

si .

4. Definitie. Punctul , fixat, pentru care sirul numeric este convergent la numarul real se numeste punct de convergenta al sirului numeric considerat.

Notam cu multimea punctelor de convergenta ale sirului de functii din

Asadar, pentru fiecare fixat, sirul numeric are limita. Asa cum s-a precizat, limita sirului este determinata de valoarea sirului in . In consecinta, aceasta limita reprezinta o functie , de variabila , numita functia limita si scriem

pentru orice . (2)

In continuare vom analiza existenta functiei limita pentru fiecare , cat si modul cum anumite proprietati functionale ale sirurilor de functii se pot transmite sau nu functiei limita.

Exemple

Fie si sirul de functii , , definit prin relatiile .

Observam ca . Multimea punctelor de convergenta ale sirului este . Functia limita , este definita prin

Observam ca si deci, proprietatea de continuitate a sirului de functii nu este transmisa functiei limita (vezi, fig.1).

Figura 1. Graficele functiilor , pentru

Fie si sirul de functii , , definit prin relatiile . Observam ca , . Multimea punctelor de convergenta ale sirului este . Functia limita , este definita prin

Observam ca si deci, proprietatea de continuitate a sirului de functii, prin trecere la limita, cand , se transmite functiei limita.

Figura 2. Graficele functiilor din exemplul (2), pentru valorile .

5. Definitie. Sirul de functii din se numeste punctual (simplu) convergent catre functia daca si numai daca

; si, in acest caz, scriem .

Observatie. Definitia afirma ca pentru orice sirul numeric este convergent catre limita finita (numarul real) .

Exercitiul 1. Fie un sir de functii din si . Afirmatiile urmatoare sunt echivalente:

(i). sirul este punctual (simplu) convergent catre functia ().

(ii). si a.i. sa avem pentru orice .

Echivalenta celor doua afirmatii este evidenta. Intr-adevar, din definitia limitei rezulta ca este suficient sa se ia o valoare oarecare , dar fixata, pentru a avea sirul numeric convergent, adica, pentru orice sa gasim cate un numar a.i. pentru orice sa se verifice inegalitatea in acel fixat. Daca se alege alta valoare a lui , pentru acelasi , numarul poate sa nu fie cel dinainte si atunci trebuie ales altul. Cum ia o infinitate de valori, rezulta ca avem o infinitate de siruri numerice diferite care converg catre o limita finita.

7. Definitie. Sirul de functii din se numeste uniform convergent pe catre functia si, notam ), daca si numai daca

a.i. pentru orice si sa avem .

8. Observatie. Definitia afirma ca pentru un dat, exista un acelasi numar natural care corespunde pentru toate sirurile numerice cu , care converg catre limita finita .

Exemplul (3). Fie si sirul de functii , , definit prin relatiile

(i). Calculati .

(ii). Aratati ca sirul converge uniform catre functia , oricare ar fi .

Indicatie. (i). Observam ca , . Deoarece functiile sunt functii impare, este suficient sa se studieze convergenta pe intervalul . Fie , atunci . Pentru , oarecare, dar fixat, sirul numeric are limita

Asadar, punctele de convergenta ale sirului apartin multimii. Functia limita este definita de , .

(ii). Din inegalitatea si rezulta . Asadar, fie , fixat. Atunci, pentru suficient de mare putem scrie inegalitatile

Este usor de inteles ca daca alegem si , atunci , oricare ar fi .

Asadar, putem alege numarul (aici, reprezinta functia parte intreaga), care este convenabil pentru orice sir numeric , astfel incat acesta sa convearga catre functia limita , . Deci, sirul de functii converge uniform pe catre functia continua . Observam ca . Asadar, proprietatea de continuitate a sirului de functii, prin trecere la limita, cand , se transmite functiei limita .

Fiecare din functiile , au un maxim egal cu , care este atins in punctul si un minim egal cu , care este atins in punctul . Pentru , valorile extreme tind la zero odata cu punctele care se deplaseaza, pe axa catre origine. Convergenta uniforma a sirului rezulta imediat din afirmatia cand . Intr-adevar, avem

, pentru .

Deoarece sirul converge uniform catre functia , asa cum observam din fig. 3, daca alegem , atunci si graficele functiilor se afla situate in banda pentru orice .

Figura 3. Graficele functiilor , pentru .

Fie . Atunci

, pentru .

Figura 4. Graficele termenilor sirului din exemplul (3), pentru .

Exemplul (4). Consideram sirul de functii din exemplul (2),

, .

Observam ca , . Multimea punctelor de convergenta a sirului este si functia limita , este definita prin

Fie , oarecare, fixat. Din inegalitatile , rezulta ca este suficient sa alegem pentru a avea .

Se poate verifica, relativ usor, ca pentru fiecare , functiile au un maxim egal cu care este atins respectiv, in punctele (deci ). Maximul egal cu se deplaseaza spre stanga cand creste, desi pe fiecare verticala fixata dusa la axa punctele graficelor se apropie de axa , cand creste (vezi fig. 4). Daca alegem, de exemplu, oricat am mari pe este imposibil ca pentru toate valorile lui . Asadar, sirul .

9. Observatie. In exemplul (4), se prezinta un caz interesant care arata ca desi sirul de functii nu converge uniform pe totusi, functia limita este continua pe . Intr-adevar, se constata ca functia limita , este continua pe (deci, ).

Asadar, proprietatea de continuitate a sirului de functii, prin trecere la limita, cand , uneori se poate transmite functiei limita si in cazul convergentei punctuale.

Exemplul (5). Fie si sirul de functii , definit prin .

(i). Determinati multimea punctelor de convergenta ale sirului.

(ii). Fie numarul real , cu . Aratati ca sirul dat converge uniform pe intervalul .

(iii). Sirul converge uniform pe ?

In figurile (5)-(7) sunt reprezentate graficele functiilor , pentru

Figura 5. Reprezentarea grafica a unor functii, din exemplul (5), pe intervalul .

Figura Reprezentarea grafica a unor functii, din exemplul (5), pe intervalul .

Figura 7. Reprezentarea grafica a unor functii, din exemplul (5), pe intervalul .

Exercitiul 1. Daca atunci pentru orice . Reciproc nu este adevarat.

De exemplu sirul , studiat in exemplul (1), este punctual convergent la functia Deoarece , atunci cand si deci, acest sir nu converge uniform pe .

10. Definitie. Sirul de functii din se numeste uniform Cauchy daca si numai daca

astfel incat oricare ar fi si ,

sau echivalent

a.i. , si .

Criteriu de convergenta uniforma. Criteriul general al lui Cauchy de la siruri, care stabileste conditia de existenta a limitei finite a sirurilor numerice, conduce la urmatorul criteriu de convergenta uniforma pentru siruri de functii:

11. Teorema. (Criteriul lui Cauchy) Fie un sir de functii din . Urmatoarele conditii sunt echivalente:

(i). Sirul admite o functie limita si converge uniform catre aceasta in .

(ii). Sirul este uniform Cauchy in .

Demonstratie. Implicatia "", rezulta imediat din definitia uniform convergentei. Intr-adevar, daca sirul are o functie limita si converge uniform catre aceasta functie in multimea , atunci pentru orice exista , independent de , a.i. , sa avem , pentru orice . Analog, avem , oricare ar fi Din aceste inegalitati rezulta

"". Pentru a demonstra aceasta implicatie (adica, conditia suficienta) vom presupune ca sirul este uniform Cauchy. Atunci oricare ar fi , fixat, sirul este un sir numeric care este sir Cauchy de numere reale si, potrivit criteriului general al lui Cauchy este convergent. Prin urmare, pentru acest sir exista o limita finita . Cum este ales oarecare, atunci se pune in evidenta functia , ceea ce arata existenta functiei limita pentru sirul considerat. Scriind ca sirul este uniform Cauchy si luand ( si fixati) rezulta (i).

12. Teorema. (Criteriul de convergenta uniforma). Fie un sir de functii din , si un sir de numere reale pozitive, convergent la zero. Daca exista a.i. si oricare ar fi sa avem , atunci .

Un criteriu de convergenta uniforma in algebra Banach este dat de urmatoarea

13. Teorema. (Teorema lui Dini). Fie un spatiu metric compact si . Presupunem indeplinite conditiile:

(i). Sirul este punctual convergent la o functie ,

(ii). Sirul este monoton (crescator sau descrescator),

atunci sirul converge uniform la functia (adica converge catre in spatiul Banach ).

Demonstratie. Presupunem ca sirul este crescator si cum este spatiu metric compact

, si oricare ar fi . Deci, este marginita superior.

Convergenta uniforma a sirului la functia continua revine la verificarea conditiei:

astfel incat oricare ar fi ,

echivalenta cu a.i. pentru sa avem . Din faptul ca sirul a fost presupus crescator ultima inegalitate se scrie, . Deoarece atunci functiile "" sunt continue pe , spatiu metric compact, si potrivit teoremei lui Weierstrwss, acestea sunt marginite si isi ating marginile. In consecinta, este suficient sa demonstram ca are loc inegalitatea , si .

In acest scop, notam cu

, .

Atunci

(1). sunt multimi deschise (pentru ca sunt functii continue);

(2). Au loc incluziunile , ;

(3). .

Conditia (i) se scrie: oricare ar fi , dar fixat, sirul numeric converge catre numarul . Deci, pentru suficient de mare rezulta ca . Deoarece, este spatiu metric compact si este o acoperire a lui cu multimi deschise ascendente (proprietatea (2)), rezulta ca putem extrage o subacoperire finita a lui . Asadar, exista a.i. si deci , pentru si, potrivit definitiei lui , avem oricare ar fi si .

14. Aplicatie. Fie si , definita prin . Atunci exista un sir de polinoame (functii de o variabila reala) care converg uniform la functia in . Altfel spus, convergenta sirului de polinoame catre are loc in norma convergentei uniforme, in spatiul Banach .

Construim, prin inductie dupa , sirul de polinoame definit astfel:

Acest sir are proprietatile:

(1). Este un sir crescator, ;

(2). , pentru orice si orice .

Intr-adevar, pentru . Fie , atunci , . Aceasta inegalitate, impreuna cu

, ,

arata ca pentru orice .

Presupunand proprietatea adevarata pentru adica, , pentru orice , aratam ca inegalitatile (2) au loc si pentru .

Avem

deci, (am folosit ).

Pe de alta parte, pentru orice deducem ca .

Asadar, pentru orice , sirul de polinoame este crescator si marginit superior, pe acest interval, de functia . Atunci, potrivit teoremei lui Dini, el este convergent catre o functie, notata cu .

Prin trecerea la limita in relatia de recurenta, obtinem, cand , , de unde rezulta si, in consecinta, . Mai mult, datorita teoremei lui Dini, sirul de polinoame converge uniform catre functia .

15. Lema. Fie un spatiu metric, si . Proprietatile urmatoare sunt echivalente:

i). (s-a notat cu multimea punctelor aderente multimii ).

ii). Exista un sir astfel incat , cand .

Demonstratie. Aratam implicatia . Fie . Cum rezulta ca punctul este punct aderent multimii si deci orice vecinatate a lui contine un punct din . Asadar, , . Daca punem , atunci avem .

Implicatia este evidenta.

1 Definitie. Fie un spatiu metric, . Daca se spune ca elementul este aproximabil prin elemente din . In cazul spatiului inzestrat cu metrica lui Cebasev si atunci elementul se numeste uniform aproximabil prin elemente din .

17. Teorema. Fie un spatiu metric si sirul de functii . Daca sirul converge uniform pe la functia , atunci .

Demonstratie. Fie , deoarece sirul converge uniform pe la functia , atunci exista a.i. pentru orice si sa avem .

Fie un punct de continuitate al functiilor . Pentru orice , fixat, avem in particular, . Intrucat functia (cu fixat) este continua in rezulta ca exista o vecinatate a.i. sa avem , pentru orice . Din aceste relatii, pentru orice , deducem

ceea ce arata ca functia limita este continua in . Cum a fost ales arbitrar in , rezulta ca este continua pe .

18. Observatie. Conditia din teorema 17 este numai o conditie suficienta pentru ca functia limita sa fie continua: continuitatea sirului de functii uniform convergent in orice punct atrage continuitatea functiei limita in orice punct . Daca este un sir de functii continue si functia limita nu este continua in orice punct din , atunci sirul nu converge uniform pe .

Daca sirul de functii continue este punctual convergent (deci converge in toate punctele din ), atunci este posibil ca functia limita sa nu fie continua in orice punct (vezi exemplul 1). In exemplul 4, desi sirul converge punctual totusi functia limita este continua.

Exista siruri de functii continue pe portiuni pe care converg uniform pe acest interval catre o functie continua pe . De exemplu sirul de functii discontinue in punctul , converge uniform pe catre functia continua . Intr-adevar, convergenta uniforma rezulta din

cand .

19. Teorema. Fie o multime si multimea functiilor reale marginite pe . Daca este un sir de functii din care converge uniform pe la functia , atunci .

Demonstratie. Norma unui element se defineste prin . In spatiul , convergenta fata de aceasta norma este cea uniforma.

Fie , deoarece sirul converge uniform pe la functia , atunci exista a.i. pentru orice sa avem .

Din aceasta inegalitate, prin trecere la limita cand , obtinem. , pentru orice . Atunci, pentru orice avem

Cum rezulta ca si, in consecinta, avem ceea ce arata ca .

20. Teorema. Fie si un sir de functii din cu proprietatile:

(1). Functiile sunt continue pe portiuni;

(2). Sirul converge uniform in toate punctele de continuitate la functia ,

atunci este continua pe portiuni si in plus, avem

Demonstratie. Continuitatea pe portiuni a functiei limita rezulta din teorema 17. Deoarece functiile si sunt continue pe portiuni atunci, tinand seama de proprietatea de aditivitate a integralei de interval, aceste functii sunt integrabile pe . Folosind uniform convergenta sirului de functii catre functia limita atunci cand , avem

Exercitiul 2. Fie sirul de functii continue , definit prin , . Atunci

(a). Sirul converge (punctual) in toate punctele intervalului catre functia , data de

. ( discontinua in punctul )

(b). Deoarece daca si daca , atunci , ceea ce arata ca sirul nu converge uniform pe (vezi si observatia 18).

(c). Functiile si sunt integrabile pe si avem

;

Pentru , constatam ca desi sirul nu converge uniform pe totusi, limita integralei este egala cu integrala limitei:

Aceasta se explica prin faptul ca sirul este uniform convergent pe orice interval inchis fixat si atunci putem scrie

Figura 8. Uniform convergenta sirului , pe intervalul

Aratam ca prin trecere la limita cand egalitatea inca se pastreaza. In acest scop vom scrie integrala de la la sub forma

. (*)

Din inegalitatile

deducem ca sirul este subunitar oricare ar fi si atunci, este de asteptat ca pentru suficient de mic si orice , prima integrala din membrul drept al relatiei (*) poate fi facuta oricat de mica dorim. Intr-adevar, este suficient sa alegem de exemplu, si atunci

Asadar, integrala poate fi facuta oricat de mica dorim si valoarea sa, prin trecere la limita cand nu modifica limita .

In concluzie, desi convergenta sirului nu este uniforma pe , totusi avem egalitatea

21. Teorema. Fie un interval deschis si un sir de functii din care verifica proprietatile:

(1). Functiile sunt diferentiabile pe (deci, derivabile pe );

(2). Sirul derivatelor, converge uniform pe la functia ;

(3). Exista a.i. sirul numeric este convergent;

atunci

(i). sirul este uniform convergent pe la functia ;

(ii). este diferentiabila pe si .

Demonstratie. Deoarece functiile sunt diferentiabile pe , atunci aceste functii sunt diferentiabile in punctul .

Din conditia de diferentiabilitate in punctul rezulta ca exista functiile continue in si , a.i.

, (*)

Pasul 1. Aratam ca sirul de functii converge uniform pe la functia , este continua in si .

Datorita relatiilor (*), sirul de functii , definit prin

este un sir de functii continue. Aratam ca sirul , astfel definit, este uniform Cauchy pe si deci, este uniform convergent pe intervalul . Intr-adevar, putem scrie

Introducem notatia . Atunci , si din ipotez (1) rezulta ca este derivabila pe . Asadar, putem aplica teorema lui Lagrange pe intervalul , . Deci exista a.i. sa avem

Asadar, putem scrie

Potrivit conditiei (2) din teorema, fiind dat , exista a.i. sa avem

Deci, rezulta

ceea ce arata ca sirul este uniform Cauchy pe deci, este uniform convergent pe . Asadar, exista functia , este continua in (teorema 17) si evident .

Pasul 2. Aratam ca sirul converge uniform la functia , care satisface egalitatea

. (**)

Aceasta relatie arata ca functia este diferentiabila in punctul si .

Intr-adevar, din teorema lui Lagrange si din conditiile (2) si (3) deducem ca sirul este uniform Cauchy pe si deci, converge uniform la functia . Daca trecem la limita in relatia (*), folosind convergenta uniforma a sirului , deducem relatia (**).

Pasul 3. Fie , din pasul 2 rezulta ca sirul numeric converge catre . Asadar, conditiile (1) si (3) din teorema sunt verificate pentru si, datorita pasului 2, cu , avem . Cum a fost ales arbitrar, rezulta ca este derivabila in orice punct din .

22. Teorema. Fie un interval inchis. Atunci orice functie admite o primitiva.

Demonstratie. Intervalul fiind compact si continua pe atunci este uniform aproximabila pe prin polinoame. Adica exista un sir de functii polinomiale de o variabila care converg uniform pe la functia . Pentru orice polinom exista , primitiva a lui , cu , care verifica conditiile:

(1). Functiile sunt diferentiabile pe oricare ar fi si pe ;

(2). Sirul derivatelor, (care coincide cu sirul polinoamelor) converge uniform pe la ;

(3). Sirul numeric este convergent.

Atunci, verifica conditiile teoremei 21 si deci, sirul este uniform convergent la functia , este diferentiabila pe si .

Serii de functii

Fie un spatiu metric si spatiul vectorial al functiilor definite pe cu valori reale.

23. Definitie. Fie un sir de functii din si sirul sumelor partiale , definit prin .

Perechea se numeste serie de functii din si se noteaza prin

sau (1)

Termenul general al seriei este o functie de , astfel ca

este o functie bine definita (suma unui numar finit de functii este o functie bine definita) si restul seriei de functii este definit prin

unde am notat suma seriei cu .

24. Observatie. Pentru fiecare punct fixat, consideram seria numerica

formata cu valorile functiilor din sirul , calculate in punctul . Deoarece suma seriei numerice convergente este determinata de valoarea lui , atunci este natural ca ea sa reprezinte o functie de .

Putem aplica seriilor de functii atat considerentele facute la seriile numerice cat si cele facute la siruri de functii. Pentru aceasta este suficient sa remarcam ca daca sunt functii continue respectiv derivabile pe , atunci , ca suma finita de termeni, este o functie continua, respectiv derivabila.

25. Definitie. Seria de functii se numeste punctual (simplu) convergenta pe daca si numai daca sirul sumelor partiale din asociat seriei, este punctual convergent pe .

Daca pentru orice fixat, (sirul de numere converge catre limita ), atunci functia se numeste suma punctuala a seriei de functii considerata si notam

(2)

Altfel spus, seria de functii este punctual convergenta pe catre functia , daca si numai daca seria numerica converge in fiecare punct ( fixat) si vom scrie:

si , exista un numar natural a.i. sa avem .

2 Definitie. Seria de functii se zice uniform convergenta pe catre functia daca si numai daca sirul din este uniform convergent pe si scriem .

Daca sirul converge uniform, atunci functia limita se numeste suma uniforma a seriei de functii date pe si notam

, (3)

Altfel spus, seria de functii este uniform convergenta pe catre functia limita daca si numai daca

, exista un numar natural a.i. si sa avem .

27. Definitie. Seria de functii se numeste absolut convergenta in punctul daca si numai daca seria numerica este convergenta.

Seria de functii se numeste absolut convergenta pe daca si numai daca este absolut convergenta in fiecare punct din .

Multimea formata din toate punctele de convergenta ale seriei de functii se numeste multimea de convergenta a seriei de functii considerate.

28. Propozitie. Daca seria de functii este absolut convergenta in punctul atunci seria este convergenta in punctul .

Criterii de convergenta uniforma a seriilor de functii

29. Criteriul lui Cauchy. Fie seria de functii din . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

Seria de functii este uniform convergenta pe ;

2). , exista a.i. , si sa avem

(adica, sirul sumelor partiale asociat seriei de functii este uniform Cauchy);

30. Observatie. Daca termenii seriei de functii (1), uniform convergenta pe , se inmultesc cu o functie marginita pe, , atunci obtinem o serie uniform convergenta pe

31. Criteriul lui Weierstrass. Fie seria de functii din . Presupunem verificate conditiile:

Seria numerica , avand termenii pozitivi , este convergenta;

(2). Exista numarul natural a.i. , , si .

Atunci seria de functii este uniform convergenta pe .

De exemplu, seriile de functii si, sunt uniform convergente pe un interval oarecare daca seria numerica este absolut convergenta.

Intr-adevar, deoarece si , atunci seria convergenta este serie majoranta a seriilor de functii date.

32. Teorema. Fie seria de functii din . Daca aceasta serie este uniform convergenta pe catre functia (adica, ) atunci .

33. Teorema. Fie un interval si seria de functii din . Daca aceasta serie este uniform convergenta pe si , atunci

(1). functia si deci integrabila pe ;

(2). .

34. Teorema. Fie un interval si seria de functii . Presupunem verificate conditiile:

(1). functiile sunt de clasa pe intervalul ;

(2). seria de functii este uniform convergenta pe avand suma ;

(3). seria este uniform convergenta pe avand suma (deci, este functie continua pe ).

Atunci functia este derivabila pe si avem pentru orice .

35. Observatie. Teorema afirma ca daca sunt verificate conditiile de mai sus, atunci seria de functii poate fi derivata termen cu termen si conditia (3) se poate scrie astfel:

3 Teorema. Fie un interval si seria de functii . Presupunem verificate conditiile:

(1). functiile sunt de clasa pe intervalul ;

(2). exista punctul a.i. seria de functii este convergenta avand suma ;

(3). seria este uniform convergenta pe avand suma (deci, este functie continua pe ).

Atunci seria de functii converge uniform pe catre functia , este derivabila pe si avem pentru orice .

Exercitii: (1). Sa se arate ca seria este uniform convergenta pe .

Seria de functii este absolut convergenta pentru si divergenta pentru .

Fie , . Aratati ca seria converge uniform pe catre o functie continua pe .

Indicatie. Din , , deducem ca termenii , ai seriei date, admit majorarea: .

Deoarece termenii seriei , sunt functii continue oricare ar fi si acestia sunt majorati de termenii unei serii numerice convergente, atunci seria data este uniform convergenta pe . Potrivit teoremei 32, suma seriei este functie continua pe .

Serii de puteri de variabila reala

6,37, Definitie. Se numeste serie de puteri ale variabilei reale o serie de forma

, (4)

unde constantele (sau ) se numesc coeficientii seriei de puteri.

38. Observatie. Polinoamele sunt serii de puteri pentru orice (numite functii intregi) de un tip particular, unde iar k este gradul polinomului respectiv.

39. Teorema. (Abel, 1826). Pentru orice serie de puteri , putem asocia un numar real pozitiv (eventual nul sau infinit) astfel incat:

(i). seria converge absolut pentru orice, cu ;

(ii). seria este divergenta pentru orice cu .

Demonstratie. (i). Fie a.i. seria numerica este convergenta (exista numarul (!), eventual ). Atunci a.i. . Asadar, daca exista , avem

Urmeaza ca seria este convergenta pentru toate valorile lui situate in interiorul intervalului fiind majorata de seria geometrica convergenta cu ratia subunitara . Sa consideram multimea de convergenta, adica multimea } cu proprietatea ca seria de puteri (3.1) este absolut convergenta. Aceasta multime este marginita superior de numarul real pozitiv , eventual . Daca atunci seria de puteri este absolut convergenta in orice cu (din definitia marginii superioare exista a.i. ) deci, seria de puteri converge, in intervalul , catre o functie si vom scrie

. (5)

ii). Daca seria este divergenta in atunci, pentru orice , cu , seria este divergenta. In consecinta, pentru seria de puteri este divergenta.

Asadar, seria converge absolut pentru orice cu si este divergenta pentru valorile lui cu .

Intervalul se numeste interval de convergenta, iar numarul se numeste raza de convergenta a seriei de puteri date.

In punctele , seria de puteri poate fi convergenta sau divergenta. In aceste puncte convergenta seriei se studiaza separat.

40. Observatie. Daca nu exista alte puncte de convergenta decat atunci . De exemplu, seria de puteri, asa cum rezulta din criteriul raportului, este divergenta .

Exemple

Seria de puteri

, (6)

are raza de convergenta . Deci, este absolut convergenta pentru orice .

Intr-adevar, pentru , fixat, din criteriul raportului pentru serii numerice, obtinem

Daca atunci seria este convergenta si daca seria este divergenta.

Pentru , avem , care este convergenta (din criteriul lui Leibniz).

Pentru , avem , care este divergenta.

Asadar, seria este convergenta pentru orice .

41. Observatie. Asa cum se stie, seria de puteri considerata este tocmai seria Taylor asociata functiei , dezvoltata dupa puterile lui . In consecinta, .

Vom observa ca desi exista, totusi nu exista.

Seria de puteri

, (7)

are raza de convergenta si in consecinta, este convergenta pentru orice .

Intr-adevar, pentru , dar fixat, din criteriul raportului pentru serii numerice, obtinem

, oricare ar fi .

. Seria de puteri

, (8)

este convergenta pentru orice .

Seria de puteri coincide cu seria Taylor asociata functiei , dezvoltata dupa puterile lui . Deci, pentru seria este convergenta si are suma .

Pentru deducem si in consecinta, seria este divergenta.

Pentru , desi totusi, seria .este divergenta.

Calculul razei de convergenta a seriilor de puteri cu ajutorul coeficientiilor (Cauchy 1821 si ulterior, Hadamard).

42. Teorema Cauchy-Hadamard. (i). Daca exista limita superioara , atunci raza de convergenta a seriei are valoarea (din criteriul raportului pentru serii numerice).

(ii). Daca exista , atunci raza de convergenta R este egala cu (din criteriul radacinii pentru serii numerice).

Deci, raza de convergenta a seriei de puteri se calculeaza cu una din formulele

. (9)

Daca atunci se ia , iar daca atunci .

Se pot considrea serii de puteri avand forma (ordonate dupa puterile binomului )

.. (10)

Atunci, folosind translatia , rezultatele stabilite mai sus se aplica seriei de puteri , care este absolut convergenta in intervalul de convergenta si divergenta in punctele cu .

43. Definitie. Spunem ca functia este reprezentabila printr-o serie de puteri in daca pentru orice exista o vecinatate de forma si o serie de puteri de forma (10) care converge absolut si uniform la pentru orice .

In acest caz, scriem

si .

Mai mult, functia este indefinit derivabila pe (adica, ) si avem

(11)

Seria de puteri

, (12)

se numeste seria Taylor asociata functiei pe .

Intr-adevar, inlocuind in seria de puteri pe cu obtinem . Deci seria de puteri, se scrie

Impartind aceasta relatie la si apoi din relatia obtinuta prin trecere la limita, cand , rezulta

Deci exista . Deoarece, seria de puteri este uniform convergenta oricare ar fi , atunci si seria de puteri este uniform convergenta (!) oricare ar fi si avem . Procedand ca mai sus, obtinem

44. In continuare vom studia unele proprietati ale seriilor de puteri:

Seria de puteri (4) converge absolut si uniform in intervalul pentru orice si este divergenta daca .

Intr-adevar, deoarece , daca alegem atunci seria numerica este convergenta. Pentru orice cu , termenii seriei de puteri (4) raman majorati in modul de termenii acestei serii numerice convergente si, din criteriul lui Weierstrass, rezulta ca seria de puteri este uniform convergenta, desigur pentru , catre o functie si scriem .

Fie seria de puteri , convergenta pentru , unde . Atunci suma sa defineste, pe multimea de convergenta, o functie continua, si scriem

. (13)

Intr-adevar, pentru orice fixat, exista a.i. . Deoarece seria de puteri este uniform convergenta pe , atunci suma sa este functie continua pe acest interval, deci si in punctul .

Asadar, suma a seriei de puteri (4), pentru orice situat in intervalul de convergenta, este functie continua de variabila .

(Identitatea seriilor de puteri). Fie seriile convergente si avand razele de convergenta respectiv . Daca exista astfel incat cu sa avem egalitatea (adica, cele doua serii au aceeasi suma in ) atunci pentru orice , aceste serii sunt identice si scriem

, (adica ).

In adevar, deoarece in rezulta ca pentru orice cu si deci de unde obtinem . De aici rezulta

45. Observatie. Proprietatea (3), care stabileste unicitatea dezvoltarii unei functii in serie de puteri, are multiple aplicatii. De exemplu, daca o functie este para (impara) atunci ea se dezvolta intr-o serie de puteri de forma (4) care contine numai puterile pare (impare) ale lui .

4 Operatii algebrice cu serii de puteri

Fie seriile de puteri si , avand razele de convergenta respectiv si . Atunci,

(a). Seria suma are raza de convergenta R care satisface una din relatiile

, daca sau, daca . (14)

si pentru orice cu are loc egalitatea

(unde ). (15)

(b). Pentru orice scalar , seria are raza de convergenta egala cu .

(c). Seria produs , are raza de convergenta egala cu care satisface conditia si egalitatea

, (16)

poate fi scrisa numai pentru , cu .

47. Teorema. Fie o serie de puteri si fie raza sa de convergenta. Atunci

(1). Seria de puteri converge absolut si uniform in orice cu .

(2). Suma a seriei de puteri este functie continua in interiorul intervalului de convergenta, deci in multimea .

(3). Daca raza de convergenta a seriei de puteri este nenula () atunci seria de puteri se poate deriva termen cu termen in si seria derivatelor are aceeasi raza de convergenta R.

Mai mult, are loc egalitatea (seria de puteri se poate deriva termen cu termen in tot intervalul de convergenta)

, oricare ar fi cu . (17)

48. Observatie. Aceasta teorema face posibila derivarea termen cu termen a seriei de puteri in tot intervalul sau de convergenta. Adica

Fie seria de puteri

, convergenta in .

Potrivit teoremei 45, functia are in interiorul intervalului de convergenta derivate de orice ordin. Scriind derivatele succesive obtinem, in intervalul de convergenta, seriile de puteri convergente:

Daca alegem , din aceste egalitati deducem expresiile cunoscute ale coeficientilor ai seriei de puteri: iar seria de puteri ,

reprezinta tocmai seria Taylor pentru functia f(x) dezvoltata dupa puterile lui .

Demonstratie. Primele doua afirmatii din teorema au fost deja demonstrate mai inainte.

(3). Notam, ca mai sus, cu termenii seriei de puteri. Atunci functiile sunt continue si derivabile pentru orice si au derivatele egale cu:

Fie oarecare, fixat cu . Atunci exista a.i. . Deoarece seria numerica

este convergenta atunci termenul ei general este marginit. Deci exista a.i.

Atunci, pentru termenul general al seriei derivate obtinem majorarea

Deoarece seria

este convergenta (pentru ca ) atunci seria (3.11) este absolut convergenta. Asadar, aceasta serie este uniform convergenta in catre functia . Afirmatia ca rezulta din urmatoarea

49. Observatia. Daca este o serie de puteri convergenta in atunci . In adevar, fie cu . Atunci pentru avem

Deoarece functia g(x) este continua in intervalul de convergenta si din ultima egalitate deducem , atunci obtinem

50. Observatia. Functia , care reprezinta suma unei serii de puteri in intervalul de convergenta, este de clasa in interiorul acestui interval si seria de puteri reprezinta tocmai o serie Taylor.

51. Teorema. Fie o serie de puteri si fie raza sa de convergenta. Atunci aceasta se poate integra termen cu termen in intervalul , unde si avem

, cu . (18)

Asadar, seria de puteri data si seria de puteri (18) au aceeasi multime de convergenta.

52. Observatie. Valoarea lui poate sa coincida cu una dintre extremitatile intervalului de convergenta, daca seria de puteri este convergenta cand ia aceasta valoare.

Demonstratie. Deoarece functiile sunt continue pe orice interval , unde , atunci ele sunt integrabile pe . Seria de puteri fiind uniform convergenta pe multimea , atunci suma sa este continua si deci integrabila pe orice interval cu .

Fie sirul sumelor partiale asociat seriei de puteri. Atunci, putem scrie

Deoarece atunci, din extimarea

cand , deducem ca seria de puteri poate fi integrata termen cu termen si are loc formula (3.12).

53. Observatie. Teoremele 47 si 51 conduc la concluziile:

(i). Seria este absolut si uniform convergenta pe orice interval si este derivata functiei in interiorul intervalului de convergenta.

(ii). Seria este absolut si uniform convergenta pe orice interval si este primitiva functiei in intervalul de convergenta.

Exercitiul 1. Sa se determine seria de puteri (seria Taylor in jurul lui zero) a functiei

Solutie. Functia este derivabila pe si avem . Seria de puteri crespunzatoare functiei are forma

, pentru .

Integrand termen cu termen aceasta serie de puteri obtinem seria

, pentru orice , cu .

Daca alegem atunci constanta de integrare are valoarea egala cu zero si obtinem seria de puteri

, pentru orice , cu . (19)

Deoarece seria numerica este convergenta (vezi criteriul lui Leibniz) atunci, luand , din (19) gasim suma acestei serii numerice:

(20)

Cum functia este impara observam ca seria de puteri (19) contine numai puterile impare ale lui si in plus deducem ca seria (20) este convergenta chiar pe intervalul inchis .

Exercitiul 2. Fie seria de puteri . Se cere:

(a). Sa se determine multimea de convergenta a seriei.

(b). Sa se calculeze suma .

Solutie. (a). Fie , coeficientii seriei de puteri. Din formula (9)₁ avem

Deci seria de puteri are raza de convergenta egala cu unitatea. Se verifica, fara dificultate, ca pentru seria este divergenta. Asadar, seria de puteri este convergenta pentru .