Produs scalar. Norma. Distanta

Produs scalar. Norma. Distanta

Elementele introduse nu permit studierea unor aspecte ale spatiilor vectoriale legate de notiunile de unghi si de distanta. Aceasta se poate face inzestrand spatiul vectorial cu un tip de produs numit produs scalar.

DEFINITIA 1. Fie K = C , R si V un K - spatiu vectorial. O aplicatie ( · | · ): V× V K se numeste produs scalar daca:

i) aplicatia este liniara ,

ii) , (daca K = R , atunci ), adica

(|)(|)(|),

iii) .

Notatii

Observatii 1. .

Intr - adevar, , deci .

care este imediata din Definitia 1.2.1 iii) si Observatia 1.2.1.

C,

Intr-adevar

Exemple. 1. Fie K = C si V = Kⁿ =K, .

Pentru orice Kⁿ si Kⁿ punem

Daca K = R avem

In spatiul vectorial al functiilor continue pe intervalul

[a, b] R, produsul scalar este

DEFINITIA 1. Un spatiu vectorial pe care s-a definit un produs scalar se numeste spatiu vectorial euclidian.

TEOREMA 1.2.1 (Inegalitatea lui Schwarz sau inegalitatea lui Cauchy - Buneakovski)

. (1.2.1)

Demonstratie. Folosind Observatia 1.2.1) si proprietatea i) din Definitia 1.2.1, avem

C.

In particular, pentru cu , inegalitatea de mai sus devine

  .

Deci

DEFINITIA 1. Fie K = C, R si V un K - spatiu vectorial. O aplicatie ║ ∙║R se numeste norma daca

(i) ,

(ii) K si (omogenitate),

(iii) , ( inegalitatea triunghiului).

Observatia 1.

Intradevar, folosind proprietatile (i), (ii), (iii) obtinem

deci

DEFINITIA 1. Perechea se numeste spatiu normat.

TEOREMA 1.2.2 Orice produs scalar determina o norma prin egalitatea

Demonstratie. Verificam cele trei axiome din Definitia 1.2.3 :

(conform axiomei (iii) din Def. 1.2.1).

.

Deci

si folosind inegalitatea lui Schwarz obtinem

Prin urmare

Exemple de norme pe Kⁿ

( K=C ) ;

( K=R ) ;

;

.

Precizari. 1. Norma lui se mai numeste si lungimea vectorului .

2. Norma din exemplul 1 (sau 2) se numeste norma euclidiana pe Kⁿ.

Cu ajutorul normei se poate da urmatoarea definitie:

DEFINITIA 1.2.5 Fie E_n un spatiu vectorial euclidian de dimensiune n. Un vector , cu proprietatea ca , se numeste vector unitate sau versor

Observatii 1. 1. Cu aceasta notiune, pentru , avem

.

2. Cu ajutorul normei, inegalitatea Cauchy - Schwarz se mai scrie

(1.2.1')

sau, daca , ,

. (1.2.1")

DEFINITIA 1. Se numeste unghi neorientat al vectorilor x si y numarul dat de relatia

DEFINITIA 1.2.7 Fie . Se numeste metrica sau distanta o functie d: E_n×E_n R care are proprietatile:

D₁. (pozitivitate);

D₂. (simetrie);

D₃. (inegalitatea triunghiului).

DEFINITIA 1. Un spatiu vectorial inzestrat cu o distanta se numeste spatiu metric.

DEFINITIA 1. Distanta definita cu ajutorul normei euclidiene se numeste distanta euclidiana.

TEOREMA 1.2.3 Fie normat cu norma euclidiana. Functia reala R definita prin

este o distanta (metrica) pe E_n.

Demonstratie. Evidenta prin verificarea axiomelor din Definitia 1.2.7.