Interpretare geometrica

Interpretare geometrica.

Studiul ecuatilor diferentiale prezinta extrem de variate aspecte, atat din punct de vedere al obtinerii efective a solutiilor si a procedeelor de aproximare a solutiilor cat si a precizarii clasei de proprietati a solutiilor. Numeroasele aplicatii ale ecuatiilor diferentiale, atat in geometria diferentiala, cat si in modelarea matematica a diferitelor procese de evolutie, se explica datorita interesantelor interpretari geometrice si fizice ale acestora.

Camp vectorial. Fie un domeniu din spatiul euclidian de - dimensional si spatiul vectorilor liberi asociati lui . Se numeste camp vectorial o functie , care face sa corespunda fiecarui punct un vector din notat sau .

De exemplu, functia , care defineste ecuatia diferentiala (1.3), determina, pentru fiecare punct , un vector din spatiul vectorial notat

, (1.10)

cu originea in punctul , sau in scrierea pe componente

, (1.11)

care se poate translata in vectorul , avand originea in punctul si paralel cu vectorul si deci aplicatia defineste un camp de vectori construit din vectorul translatat cu originea in fiecare astfel de punct.

Aceasta constructie justifica denumirea de camp vectorial sau camp de vectori asociat ecuatiei diferentiale (1.3), data aplicatiei .

Ecuatia diferentiala de ordinal intai (1.3) reprezinta, o legatura intre coordonatele punctului si vectorul tangent in acest punct. Considerand o solutie oarecare , a ecuatiei diferentiale (1.3), atunci graficul acestei solutii

,

reprezinta o curba neteda situata in domeniul , care in fiecare punct al sau are o tangenta bine determinata de vectorul . Translatatul acestui vector in vectorul paralel cu originea in punctul reprezinta imaginea geometrica a tangentei la in punctul .

Din identitatea (1.4)₂ rezulta ca o solutie a ecuatiei diferentiale (1.3) este o curba integrala al carei grafic are, in fiecare punct al sau, vectorul tangent bine determinat.

Cazul

In cazul unidimensional, functia continua , defineste ecuatia diferentiala de ordinul intai (1.3) care se scrie sub forma.

, , (1.3')

unde , , este o functie de clasa . Ecuatia (1.3') arata legatura dintre coordonatele ale unui punct si coeficientul unghiular al tangentei in acest punct.

Rezolvarea problemei lui Cauchy cere sa se determine o solutie , , a ecuatiei diferentiale (1.3'), care verifica conditia initiala . Graficul solutiei, se numeste curba integrala a ecuatiei (1.3'). Asadar, problema Cauchy consta in determinarea acelei curbe integrale al carei grafic , este continut in domeniul si care trece prin punctul dat . In anumite conditii de regularitate impuse functiei in se demonstreaza ca problema Cauchy este unica.

Observatie. Se stie ca daca functia este neteda de clasa pe , , si , atunci ecuatia dreaptei care este tangenta la graficul lui , in punctul , are forma

, (1.12)

unde reprezinta coordonatele unui punct curent al tangentei.

Camp de tangente. Fie , un punct oarecare din . Ecuatia dreptei , care trece prin punctul si are coeficientul unghiular egal cu valoarea , are forma

,

unde reprezinta coordonatele punctului curent al dreptei.

Daca functia este uniforma si continua in , atunci fiecarui punct ii asociem in mod unic dreapta care trece prin si are panta , deci ecuatia

, (1.13)

Daca tinem seama de legatura dintre si data de relatia (1.3'), cat si de observatia anterioara, atunci aplicatia se numeste camp de tangente asociat ecuatiei diferentiale (1.3').

O curba integrala a ecuatiei diferentiale (1.3') este o curba neteda de clasa care are in fiecare punct al ei o tangenta bine determinata de dreapta (1.13); deci, putem spune ca exista un camp de tangente bine definit in lungul fiecarei curbe integrale. Campul tangentelor asociat respectiv fiecarei curbe integrale a ecuatiei diferentiale (1.3'), in , defineste campul de tangente asociat ecuatiei diferentiale (1.3'), in .