APLICAII LINIARE

APLICAII LINIARE

Aplicatii liniare. Proprietati.

Fie X si Y doua multimi nevide. Prin notatia intelegem o aplicatie definita pe multimea , cu valori in multimea Y.

Cazuri particulare:

; A se numeste operator

;A se numeste functionala.

Definitia 1. Aplicatia A se numeste injectiva, daca :

Definitia 2. Aplicatia A se numeste surjectiva, daca:

.

Definitia 3. O aplicatie care este in acelasi timp injectiva si surjectiva se numeste aplicatie bijectiva.

Fie X si Y doua spatii vectoriale peste acelasi camp K.

Definitia 4. Aplicatia se numeste aplicatie (transformare) liniara, daca are loc relatia:

.

Definitia 5. O aplicatie liniara si bijectiva se numeste izomorfism. Un operator liniar si bijectiv se numeste automorfism, iar un operator liniar se numeste endomorfism.

Proprietati:

P1) .

P2) .

P3) .

P4) Daca Z este un subspatiu oarecare al lui X, atunci A(Z) este subspatiu vectorial al lui Y.

P5) Daca vectorii sunt liniar dependenti in X, atunci vectorii sunt liniar independenti in Y.

Observatia 1. Proprietatea 1.5. nu se mai mentine daca in loc de liniar dependenta este vorba de liniar independenta. Ea va fi valabila doar daca aplicatia A este injectiva.

Definitia 6. Multimea notata si definita mai jos se numeste nucleul aplicatiei A. Se mai poate nota N (A).

Definitia 7. Multimea notata si definita mai jos se numeste imaginea aplicatiei A:

Teorema 1. KerA si ImA sunt subspatii vectoriale ale lui X, respectiv Y.

Observatia 2. Se poate arata ca daca A este aplicatie bijectiva pentru care exista aplicatia inversa , atunci .

Matricea atasata unei transformari liniare.

Fie doua spatii vectoriale peste K, de dimensiune n, respectiv m. Consideram cate o baza in fiecare din spatiile date.

Teorema 2. Exista si este unica o aplicatie liniara definita pe si cu valori in , data de relatia

unde sunt coordonatele vectorilor in baza .

Definitia 8. Matricea se numeste matricea asociata aplicatiei liniare A.

Observatia 3. Daca notam cu:

,

relatia (1) se va transcrie matricial astfel:

(2).

Teorema 3. Daca este o aplicatie liniara si , care se scrie , unde sunt coordonatele lui x in baza B si daca admite scrierea , atunci avem urmatoarea corespondenta:

. (3)

Observatia 4. Relatia (3) exprima legatura dintre coordonatele vectorului x si imaginea acestui vector prin aplicatia A. Daca notam cu:

relatia (3) are urmatoarea transcriere matriceala:

Matricea atasata unei transformari liniare la schimbarea de baza.

Fie un operator liniar si consideram doua baze diferite in spatiul . Fie A si B matricile atasate acestui operator in cele doua baze. Fie, de asemenea, relatia de legatura (matricea de trecere) dintre bazele date:

C= matricea de trecere dintre cele doua baze.

Teorema 4.In conditiile prezentate mai sus, are loc urmatoarea relatie:

care stabileste legatura dintre elementele definite mai sus.

Definitia 9. Doua matrici A si B se numesc asemenea, daca exista o matrice nesingulara C astfel incat sa fie satisfacuta relatia (1).

Concluzie Pentru un operator liniar, matricile care iI corespund la scrierea lui in baze diferite sunt asemenea.

Proprietati:

P1) Doua matrici asemenea au acelasi rang.

P2) Doua matrici asemenea au acelasi determinant.

Definitia 10. Prin rangul unui operator intelegem rangul matricei atasate acestui operator in raport cu o baza oarecare a spatiului .

Vectori si valori proprii pentru un endomorfism pe X s.v.K.

Fie X s.v.K si un endomorfism.

Definitia 11. Un scalar se numeste valoare proprie a endomorfismului A daca exista cel putin un vector astfel incat sa fie satisfacuta relatia:

.

Definitia 12. Un vector care satisface relatia (1), se numeste vector propriu al endomorfismului A.

Definitia 13. Multimea valorilor proprii ale unui endomorfism A se numeste spectrul endomorfismului.

Proprietati:

P1) Unui vector propriu ii corespunde o singura valoare proprie.

P2) Unei valori proprii ii pot corespunde mai multi vectori proprii, in sensul ca daca este o valoare proprie data si x este un vector propriu corespunzator acestei valori proprii, atunci toti vectorii de forma kx, unde sunt vectori proprii corespunzatori acestei valori proprii .

In acest context, putem da urmatoarea definitie:

Definitia 14. Multimea

este un subspatiu al lui X si poarta numele de subspatiu propriu.

Vectori si valori proprii pentru un endomorfism pe

Fie s.v.K, spatiu de dimensiune n si fie o baza a sa data de . Fie endomorfismul , despre care am vazut ca I se poate atasa o matrice A, unica, in baza B.

Definitia 15. Matricea se numeste matricea caracteristica atasata lui A.

Definitia 16. Polinomul de grad n, notat si definit prin

se numeste polinomul caracteristic atasat matricii A.

Definitia 17. Numim ecuatie caracteristica a matricii A, ecuatia:

.

Teorema 5. Scalarul este valoare proprie pentru endomorfismul A (sau pentru matricea A), ddaca este radacina in K pentru ecuatia caracteristica.

Teorema 6. Un vector este vector propriu pentru endomorfismul (sau matricea) A, daca si numai daca este solutie a sistemului matricial:

O forma echivalenta cu egalitatea de mai sus este, evident ,.

Observatia 5. Teorema IV.2. este folosita deseori ca o definitie a valorii proprii, in sensul celor de mai jos.

Definitia 18. Un scalar se numeste valoare proprie pentru A, daca este solutie a ecuatiei caracteristice .

Diagonalizarea endomorfismelor si a matricilor.

Fie s.v.K si un endomorfism caruia iI atasam matricea A intr-o baza data. In multe situatii ne intereseaza sa determinam o baza a spatiului vectorial in care matricea atasata endomorfismului A sa aiba o forma diagonala, D.

Definitia 19. Endomorfismul se numeste diagonalizabil daca exista o baza a spatiului in raport cu care matricea atasata endomorfismului sa aiba forma diagonala.

Teorema 7. Un endomorfism este diagonalizabil daca exista o baza a sa formata din vectori proprii corespunzatori endomorfismului.

Teorema 8. Un endomorfism este diagonalizabil ddaca ecuatia caracteristica atasata endomorfismului are toate radacinile din K si dimensiunea fiecarui subspatiu propriu atasat unei valori proprii coincide cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzatoare.

Algoritmul diagonalizarii endomorfismelor:

1) Rezolvam in K ecuatia caracteristica . Radacinile ei sunt valorile proprii ale lui A.

2) Pentru fiecare valoare proprie, determinam vectorii proprii corespunzatori, ca solutii nenule ale sistemului: .

3) Pentru fiecare valoare proprie , se determina din def IV.4.. Se stabileste dimensiunea fiecarui astfel de subspatiu. Daca dimensiunile subspatiilor proprii coincid cu ordinele de multiplicitate ale valorilor proprii corespunzatoare in toate cazurile, spunem ca endomorfismul se poate diagonaliza si algoritmul continua. Daca nu, spunem ca endomorfismul nu se poate diagonaliza si ne oprim.

4) Daca am concluzionat ca este posibila diagonalizarea, determinam matricea diagonala D ca matrice care are pe diagonala valorile proprii ale endomorfismului, ele aparand de atatea ori cat ordinul lor de multiplicitate:

5) Se scrie matricea diagonalizatoare C, matrice nesingulara, formata cu vectorii proprii asezati pe coloana.

6) Se verifica rezultatul gasit prin relatia:

Observatia 6. Din relatia scrisa la pasul 6, rezulta ca matricile A si D sunt matrici asemenea.

EXEMPLE:

1. Fie aplicatia este multimea functiilor continue pe intervalul , data de

.

Sa se demonstreze ca este o aplicatie liniara.

Solutie:

Trebuie sa dovedim ca este satisfacuta relatia din definitia aplicatiei liniare, adica:

Inlocuind in relatia de demonstrat forma aplicatiei I, avem:

.

Aceasta ultima relatie este verificata, ea reprezentand tocmai proprietatea de liniaritate a integralei Riemann.

2. Determinati care dintre urmatoarele aplicatii sunt aplicatii liniare;

a) .

b) .

Solutie:

a) Verificam definitia aplicatiei liniare:

Fie . Evaluam

Ultima egalitate dovedeste ca definitia aplicatiei liniare nu se verifica, deci A nu este aplicatie liniara.

b) Fie . Evaluam

Prin urmare, aplicatia A este transformare (aplicatie) liniara.

3. Stabiliti daca aplicatiile de mai jos sunt aplicatii injective sau surjective:

a) .

b) .

c)

Solutie:

Pentru cele trei aplicatii definite mai sus lasam ca tema verificarea ca reprezinta aplicatii liniare pe spatiile vectoriale pe care sunt definite.

a) Pentru a verifica injectivitatea aplicatiei A, calculam KerA. Fie, deci adica:

Daca , deci aplicatia A nu este injectiva. Nucleul ei este:

Pentru stabilirea surjectivitatii, calculam ImA si pentru ca aplicatia sa fie surjectiva trebuie ca . Evident, . Pentru dovedirea egalitatii celor doua multimi este suficient sa demonstram ca dimImA=2.

Baza canonica pentru domeniul de definitie al aplicatiei A este:

Din elementele de teorie prezentate la inceputul capitolului aflam ca matricea atasata transformarii A se construieste cu vectorii asezati pe coloane, deci

Amintim de asemenea, ca imaginea unui vector v prin aplicatia A se defineste ca

Prin urmare, . Verificam liniar independenta celor trei vectori care genereaza ImA si pentru aceasta determinam rangul matricii A care este formata cu ajutorul lor:

Dintre cei trei vectori, liniar independenti vor fi doar cei care intra in componenta minorului care da rangul matricii A, deci . Deci, reprezinta o baza pentru ImA, deci dimImA=2. Deoarece , concluzia este . Din aceasta ultima egalitate concluzionam ca A este surjectiva.

b) .

Sa definim si fie un polinom Atunci,

Fie polinomul .

Fie bazele: . Atunci, asa cum s-a calculat mai sus, .

Matricea atasata aplicatiei A va fi:

deci

Calculand rangul matricii A obtinem ca el este egal cu 3, deci

Asadar, aplicatia A nu este surjectiva.

4. Fie aplicatia liniara , data de

Determinati matricea aplicatiei A scrisa in baza Ba, unde

Solutie:

Propunem ca exercitiu verificarea faptului ca aplicatia A este aplicatie liniara, ca si verificarea ca sistemul de vectori Ba reprezinta baza in spatiul vectorial din care face parte.

Deoarece nu ni se precizeaza nimic, consideram ca forma aplicatiei A este data in raport cu baza canonica a lui . Matricea aplicatiei A in aceasta baza este:

unde . Atunci, matricea A este:

Determinam . Elementele de teorie dau forma acestei matrici ca fiind:

unde C este matricea de trecere de la baza B la baza Ba. Deoarece in cazul de fata baza initiala B este chiar baza canonica, matricea C se va obtine din vectorii bazei Ba asezati pe coloane, adica:

Calculam inversa matricii C cu metoda pivotului:

In concluzie,

5. Fie matricea , data de . Sa se determine valorile si vectorii proprii.

Solutie:

Rezolvam ecuatia caracteristica :

Deoarece avem doua valori proprii diferite, vom avea de determinat doi vectori proprii diferiti.

Pentru , cautam vectorul , astfel ca

Pentru , cautam de asemenea un vector ,care sa verifice relatia

Analog ca in cazul precedent,facem a=1 si avem .

6. Determinati valorile si vectorii proprii pentru matricea:

Solutie:

Construim ecuatia caracteristica:

Pentru , cautam , v de forma , astfel ca , adica, prin inlocuire,

Pentru

7. Fie endomorfismul definit de:

a)   Sa se calculeze valorile proprii ale endomorfismului.

b)   Sa se calculeze vectorii proprii ai endomorfismului.

c)   Sa se scrie subspatiile proprii ale endomorfismului si dimensiunea acestora.

d)   Sa se stabileasca daca endomorfismul se poate diagonaliza.

e)   Scrieti, daca exista, matricea diagonala D si matricea diagonalizatoare C.

f)    Sa se verifice rezultatul.

Solutie:

Pentru a determina valorile proprii, trebuie rezolvata ecuatia caracteristica atasata endomorfismului. Fie

matricea atasata endomorfismului.

Ordinul de multiplicitate pentru prima valoare proprie, 1, este 2. Pentru valoarea proprie 2, ordinul de multiplicitate este 1.

Pentru fiecare valoare proprie, vom determina vectorii proprii corespunzatori. Scriem pentru aceasta sistemul liniar si omogen:

Pentru , sistemul devine:

.

Despre componentele ale vectorului propriu v nu primim nici o informatie, deci ele pot lua orice valoare reala. Despre componenta a doua aflam ca este 0, deci:

.

Printr-un calcul asemanator se arata ca vectorul propriu corespunzator valorii proprii 2 are forma .

Putem spune, deci, ca vectorii proprii sunt:

Se verifica imediat ca acesti vectori asezati pe coloana formeaza un determinant nenul, deci constituie o baza in .

Subspatiile proprii sunt:

Prin urmare, endomorfismul se poate diagonaliza.

Verificarea relatiei este imediata.

Matricea diagonala D, formata cu valorile proprii ale lui A asezate pe diagonala se numeste forma diagonala Jordan pentru matricea A.

8. Determinati forma diagonala Jordan pentru matricea

Solutie:

Determinam valorile proprii ale matricii A:

Prin urmare, . Ordinele de multiplicitate ale celor doua valori proprii sunt: .

Pentru . Inlocuim:

Pentru . Inlocuim:

.

Deoarece pentru cea de-a doua valoare proprie a lui A, cu ordin de multiplicitate 2, am obtinut doar un vector propriu, algoritmul de diagonalizare prezentat in cadrul elementelor teoretice nu se mai poate aplica. Va trebui sa determinam inca un vector, , care alaturi de vectorii proprii sa formeze o baza a lui in care matricea A sa admita scriere diagonala.

In situatia prezentata, algoritmul spune ca vectorul care completeaza baza se determina din ecuatia: . Ambii vectori, , se presupun relativ la cea de-a doua valoare proprie. Prin inlocuire, rezulta:

Verificam ca sistemul de 3 vectori pe care l-am construit este baza in :

- matricea de diagonalizare.

Forma diagonala Jordan se va calcula, la fel ca la exercitiul anterior, dupa formula: . Lasam ca tema determinarea inversei matricii C. Va rezulta

.

9. Folosind forma diagonala Jordan a unei matrici, sa se determine , pentru matricea .

Solutie:

Determinam forma diagonala pentru matricea A, conform procedeului din cele doua exemple anterioare. Calculam valorile proprii ale matricii A:

Pentru . Inlocuim:

Pentru . Inlocuim:

Conditiile algoritmului de diagonalizare sunt indeplinite, deci cu ajutorul relatiei si al matricii diagonalizatoare C data de

obtinem forma canonica Jordan: .

Pentru determinarea unei puteri oarecare a matricii A, tinem cont de urmatoarele echivalente:

Mai tinem cont, de asemenea, ca daca , atunci:

Atat relatia cat si relatia pot fi probate prin inductie matematica. In baza acestor doua egalitati, avem:

Calculul inversei matricii C il lasam ca tema, ca dealtfel si determinarea in urma a doua inmultiri a matricii .

Pentru cea de-a doua parte a problemei, tinem cont ca:

Lasam ca tema inlocuirea in expresia lui a puterilor lui A.