Creeaza.com - informatii profesionale despre
TehnologieAfaceriScoalaDidacticaLegislatieFamilie


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice
Acasa » scoala » matematica
Puncte de vedere in geometrie

Puncte de vedere in geometrie


Puncte de vedere in geometrie

Cunoasterea unor metode de invatamant in studiul geometriei este necesara deoarece, pe de o parte, ele inlesnesc intelegerea demonstratiilor, pe de alta parte constituie mijloace de cercetare in rezolvarea problemelor.

In prima parte a acestui articol propun tema "Concurenta inaltimilor intr-un triunghi oarecare"folosind cinci metode.

1) metoda constructiei auxiliare

B

D

E

C

F

A

A'

B'

C'

H

Se construieste DF // BC, EF // AB, DE // AC T DDEF T ABCF, BCAD paralelograme T BC s AF s AD.

Din AA' mediatoarea [DF]

Analog se arata BB' mediatoarea [DE], CC' mediatoarea [EF].

Asadar inaltimile DABC sunt mediatoarele laturilor DDEF, care sunt concurente, deci .

2) metoda sintezei cu ajutorul reciprocei lui Ceva

A

B

C

P

N

M

Din

Inmultind relatiile (1), (2) si (3) AM, BN, CP sunt concurente conform reciprocei teoremei lui Ceva.

3) metoda transformarilor geometrice folosind simetria axiala

B

A2

C2

A

B2

A1

C1

B1

C

H

O

Fie DABC inscris in .

Fie

In consecinta dreapta BB1 este simetrica cu dreapta BA2 in raport cu dreapta BC; dar AA2 coincide cu simetrica ei in raport cu BC, deci simetricul punctului A2 in raport cu dreapta BC este .

Analog, simetricul punctului B2 in raport cu dreapta AC este punctul H, iar simetricul punctului C2 in raport cu dreapta AB este H .

4) metoda vectoriala folosind proprietatile produsului scalar

A

B

C

A'

C'

B'

H

Din (1)

Dar in (2)

Inlocuind relatia (2) in relatia (1)

Dar in

In consecinta

Dar in

Se obtine astfel AA' este a treia inaltime

5) metoda analitica

Alegem in mod convenabil un sistem ortogonal de axe astfel incat axa Ox coincide cu directia lui BC, axa Oy coincide cu directia AA' unde AA' BC si respectiv originea axelor in punctul A'.

Voi scrie ecuatiile celor trei inaltimi si verific concurenta folosind conditia de intersectie a trei drepte intr-un punct.

C(-c,0)

B(b,0)

A(0,a)

O

H

B'

C'

AO: x=0

Din

Din

Scriu conditia de concurenta a dreptelor AO, BB', CC':

Bibliografie:

C. Nastasescu, C. Nita, Gh. Andrei, "Manual pentru clasa a IX-a - pentru programele M1 si M2". Editura Didactica si Pedagogica, R.A., Bucuresti, 2002.

Dumitru Smaranda, Nicolae Soare, "Transformari geometrice". Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1988.

Ion Bedeleanu, "Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie". Editura Scorpion, Constanta, 1993.

Eugen Rusu, "Vectori". Editura Albatros, Bucuresti, 1984.

In a doua parte a articolului propun tema "Ariile si volumele unor figuri geometrice elementare folosind metoda analizei matematice".

In general metoda analizei matematice se foloseste in probleme de maxim si minim, deoarece semnul si radacinile derivatei intai dau indicatii asupra punctelor de extrem ale functiei, iar semnul derivatei a doua permite sa se stabileasca daca un extrem este un maxim sau un minim. De asemenea calculul integral are ca punct de plecare calculul ariilor unor suprafete plane sau a volumelor unor corpuri de rotatie.

Sa se determine laturile dreptunghiului cu cea mai mare arie care poate fi inscris in elipsa .

x

y

B

C

A

D

O

Rezolvare

Se noteaza . Din ecuatia elipsei va rezulta:

si .

Se defineste functia data prin . Pentru a afla maximul acestei functii se calculeaza derivata in raport cu argumentul x:

x

f'(x)

f(x)

-a

a

+ + +

- - - -

Se observa ca aria maxima a dreptunghiului , se obtine pentru si .

Sa se calculeze volumul corpului din spatiu definit prin: x2 + y2 + z2 4, z 1.

Rezolvare

O

h

R

x

y

z

Aplicand metoda analizei, aici este vorba de volumul unui segment sferic cu o baza (portiunea de sfera marginita de o calota si un disc) raza sferei fiind R = 2 si h = 1. Aplicand metoda sintezei pentru volumul segmentului sferic se obtine:

.

Observatie

x

y

O

Volumul unui corp din spatiu dat de ecuatia poate fi calculat din punct de vedere al unui corp de rotatie. Pentru aceasta se aseaza segmentul sferic astfel incat sa provina din rotirea arcului de cerc de ecuatie in jurul axei Ox pentru . In consecinta volumul va fi:

.

Observatie In general volumul unui astfel de corp, cuprins intre doua suprafete, se poate calcula si cu ajutorul formulei , care in cazul de fata devine unde D este cercul de ecuatie care reprezinta proiectia discului dintre sfera si plan. Pentru a rezolva integrala de mai sus se trece in coordonate polare:

.

Se efectueaza o schimbare de variabila:

.

.

Aria cercului

Se fixeaza un reper ortonormat cu originea in centrul cercului

x

y

O

R

Cercul cu centrul in origine si raza R are ecuatia . Se observa ca deasupra axei Ox este semicercul de ecuatie , iar sub axa Ox este semicercul de ecuatie . Aplicand formula ariilor pentru . Pentru a calcula aceasta integrala se efectueaza schimbarea de variabila si limitele de integrare vor deveni respectiv

Observatie

Cu ajutorul formulei se poate calcula lungimea cercului considerand doar sfertul de cerc situat in cadranul I:

Aria elipsei

Se fixeaza un reper ortonormat cu originea in centrul elipsei

x

y

O

a

b

Elipsa cu centrul in origine are ecuatia . Se observa ca deasupra axei Ox este semielipsa de ecuatie , iar sub axa Ox este semielipsa de ecuatie . Aplicand formula ariei pentru aria elipsei va fi:

Volumul conului circular drept

Se fixeaza sistemul ortogonal de axe astfel incat varful conului sa fie situat pe axa Ox, iar generatoarea se roteste in jurul axei Ox.

x

y

O

B'

B

A

C

Se alege si . In acest caz ecuatia dreptei AB este: .

Atunci volumul, conform cu , se calculeaza astfel:

Volumul trunchiului de con circular drept

Se fixeaza sistemul ortogonal de axe astfel incat generatoarea trunchiului de con sa se roteasca in jurul axei Ox.

x

y

D

B'

B

A'

A

C

O

Se noteaza de unde .

Se alege de unde .

Cu aceste considerente ecuatia dreptei AB va fi:

. Asadar volumul va fi:

Asadar .

Volumul sferei

Se fixeaza sistemul ortogonal de axe astfel incat originea sa coincida cu centrul sferei.

x

O

y

Sfera se obtine rotind cercul de ecuatie in jurul axei Ox. Volumul sferei va fi:

.

Observatie

Cu ajutorul formulei se poate calcula aria sferei. Pentru aceasta se roteste semicercul de ecuatie in jurul axei Ox si inlocuind se obtine:

Volumul piramidei

Se fixeaza sistemul ortogonal astfel incat originea sa coincida cu varful piramidei.

x

y

O

A

B

C

D

B'

C'

D'

A'

I'

I

Fie inaltimea piramidei de baza . Se construieste un plan paralel cu baza piramidei astfel incat . Folosind formula volumului unui corp cand se cunoaste aria unei sectiuni in functie de pozitia ei, , va rezulta:

.

Volumul trunchiului de piramida

In cazul trunchiului de piramida se presupune ca sectiunea corespund abscisei x0. Asadar volumul va fi dat de:

.

Acest rezultat se va prelucra astfel incat in el sa apara ariile bazelor trunchiului de piramida.

Din

In consecinta .

Bibliografie:

Catalin Petru Nicolescu, "Teste de analiza matematica". Editura Albatros, Bucuresti, 1987.

Nicolae Dinculeanu, Eugen Radu, "Elemente de analiza matematica - manual anul III liceu". Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1974.

Nicu Boboc, Ion Colojoara, "Matematica - manual pentru clasa a XII-a". Editura Didactica si Pedagogica, R.A.", Bucuresti, 1996.

Caius Iacob," Elemente de analiza matematica - manual clasa aXII-a". Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1978.

Horea Banea, "Subiecte propuse la examenele profesorilor de matematica".  Editura Paralela 45, Pitesti, 1997.

10.05.2008 Brasov





Politica de confidentialitate

creeaza logo.com Copyright © 2025 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.