SIRURI RECURENTE - TACTICA si STRATEGIE

SIRURI RECURENTE - TACTICA si STRATEGIE

In cele ce urmeaza, va propun o metoda de abordare unitara a problemelor de siruri recurente, bineinteles nu infailibila, dar care se aplica celor mai multe siruri cu care veti avea de-a face. Pentru a se vedea mai bine, o sa sparg algoritmul in pasi avand scopuri bine precizate:

Tipul A

Pasul 1. Ghicito limita (sau limitele posibile).

Exemplul 1: Sa se studieze convergenta sirului (x) dat de x R si x = x + 1, n N.

Daca sirul este convergent cu limita l, trecand la limita in relatia de recurenta obtinem l = l+ 1 l - l + 1 = 0, ecuatie fara solutii reale. Daca sirul nu este convergent!

Redactare pentru examen.

Vom arata ca sirul nu este convergent pentru nici un x R. Sa presupunem prin absurd contrariul: exista x R astfel ca sirul (x) sa fie convergent la l. Atunci ( x + 1) = l+ 1, deci, daca in relatia de recurenta luam limita cand n a celor doi membri obtinem l = l+ 1 l - l + 1 = 0, ecuatie de gradul al doilea ce nu are radacini reale, avand discriminatul -3. In concluzie l este solutia reala pentru o ecuatie ce nu are radacini reale; contradictie! Contradictia obtinuta incheie demonstratia.

Pasul 2. Eliminati valorile imposibile dintre candidatii la limita sirului.

Exemplul 2. Sa se studieze convergenta pentru (x) dat de x = 1 si x = (x ), n 0.

Daca l este limita sirului atunci l = ( l + ) l = 2 l = .

Se vede (si riguros se demonstreaza prin inductie) ca x> 0, n 0, deci l 0 (inegalitatile se pastreaza prin tacere la limita). Deci l = - nu este o valoare acceptabila.

Pasul 3. Ghiciti pozitia termenilor sirului fata de limita si apoi demonstrati ca ce ati ghicit este corect.

Pe exemplul de mai sus: l = , x = 1 < , x = > ,

x = > . S-ar parea ca x 2, n 1.

In general, corectitudinea presupunerii facute se demonstreaza prin inductie, dar acum se poate mai simplu : avem de aratat ca x, n 1. Avem : n 1 x = (x + ) (daca stim ca x > 0) x - 2 x + 2 0 ( x - ) 0, evident.

Deci, riguros, se va demonstra asertiunea de mai sus aratand intai ca x> 0, n 0 si apoi folosind rationamentul anterior.

Pasul 4. Incercati sa aratati monotonia sirului. Patru situatii apar mai frecvent, si in fiecare din ele e aproape clar ce trebuie demonstrat:

Situatia i): termenii sirului

l

limita presupusa

Daca x l monoton, nu o poate face decat descrescand.

Situatia ii): este situatia simetrica

Daca x l monoton, x creste.

Situatia iii):

Trebuie sa avem: x , x

Situatia iv):

Trebuie sa avem: x , x

Exemplul 3: Sa se studieze convergenta sirului (x), x = -1, x = x - x.

Schita de demonstratie:

La pasul 1 se obtine l = 0. La pasul 3 se obtine x< 0. La pasul 4 nu se obtine x x. De fapt x < x. Atunci sirul nu este convergent. Intr-adevar, sa vedem cum se redacteaza:

Redactarea la un examen: Vom arata ca sirul dat nu este convergent. Sa presupunem prin absurd ca este convergent la l. Trecand la limita in relatia de recurenta, obtinem l = l - l, de unde l = 0.

Vom arata ca x< 0, n 0. Intr-adevar, x = -1 < 0. Presupunand x< 0, obtinem x = x - x x < 0. Demonstratia este completa, conform principiului inductiei.

Atunci x = x - x x, deoarece x0 x > 0. Rezulta x x = -1, n 0, de unde, trecand de la limita in aceasta inegalitate, rezulta

0 = l -1, contradictie!

Deci sirul considerat nu este convergent.

Observatie: Fiind descrescator, sirul are limita in R Din demonstratia de mai sus rezulta x.

Exemplificari. Strategia pentru examen

Exemplul 4. Sa se studieze convergenta sirului (x), dat de x = x - 2x + 2, x R.

Pe ciorna: l = l - 2l + 2 l - 3l + 2 = 0 l

Cum sunt termenii sirului fata de 1;2?

Fata de 2: x ? 2 x - 2 x + 2 ? 2 x (x - 2) ? 0, deci

" > ", x (0,2)

" = ", x Deci:

" < ", x (-,0) (2, )

Cazul i): x > 2 x > 2 x > 2;

Cazul ii): x (0,2) x < 2 (si stim deja x 1) x [1,2) (analog) x [1,2) x [1,2);

Cazul iii): x x = 2 x= 2 x= 2;

Cazul iv): x < 0 x > 2 (ca in cazul i)) x> 2 x >

Cazul iii): este evident (l = 2). Cazul iv) se reduce la cazul i) de la x incolo. Ramane sa ne ocupam de cazurile i) si ii).

Cazul ii):

x ? x x - 2x + 2 ? x x - 3x + 2 = 0 (x - 1) (x - 2) ? 0. Cum x - 1 0 si x - 2 < 0, avem "?" = "". Deci 1 x x 2,

n 0.

Cum 2 > x x x 1, avem l x < 2, deci, cum l , avem l = 1.

Cazul i): Avem x ? x x - 2x + 2 ? x x - 3x + 2 = 0 (x - 1) (x - 2) ? 0. Cum x > 2, avem x - 1 > 0, x - 2 > 0, deci >

Pe lucrare:

Vom distinge mai multe cazuri:

a) x = 2. Atunci vom arata ca x = 2, n 0. Pentru n = 0 se verifica, si presupunand ca x = 2, obtinem x = 4 - 4 + 2 = 2, q.e.d. Rezulta ca sirul este convergent cu limita 2.

b) x = 0. Atunci x = 2, deci, ca mai sus, x = 2, n 1. Rezulta ca sirul este convergent cu limita 2.

c) x (0,2). Avem x = x - 2x + 2 = (x - 1) 1 si x = x - 2x + 2 = x( x - 2) + 2 < 2, deci x [1,2). Vom arata prin inductie ca x [1,2), n 1. Pentru n = 1 am verificat. Presupunand ca x [1,2), avem x = x - 2x + 2 = x( x - 2) + 2 < 2. Cum am vazut deja ca x 1, demonstratia este incheiata. Vom arata ca x x, n 1. Avem x x x - 2x + 2 x x - 3x + 2 0 (x - 1) (x - 2) 0, evident deoarece x [1,2), n 1. Deoarece sirul (x) este monoton si marginit de la 1 la 2, el este convergent. Rezulta ca si sirul (x) este convergent si are aceeasi limita. Fie l = x. Trecand la limita in relatia de recurenta, obtinem l = l -2 l + 2 l . Cum x x x deducem

l x < 2, deci l = 2, de unde l = 1. Rezulta x = 1.

d) x > 2. Vom arata prin inductie ca x > 2, n 0. Pentru n = 0 afirmatia este adevarata. Presupunand ca x> 2, avem x = x - 2x + 2 = x( x - 2) + 2 > 2, ceea ce incheie demonstratia. Vom demonstra acum ca x> x, n 0. Avem x> x x - 3x + 2 > 0 (x - 1) (x - 2) > 0, ceea ce este evident deoarece x > 2.

Sa aratam ca sirul nu este convergent. Presupunand prin absurd ca este convergent la l, trecand la limita in relatia de recurenta ca mai sus l . Cum

x < x < x < < x <

avem x < x, n 1, de unde, trecand la limita in aceasta inegalitate obtinem l x > 2, deci l > 2, contradictie!

e) x< 0. Atunci x = x( x - 2) + 2 > 2, deci sirul (x) se incadreaza in cazul d). Rezulta ca (x) nu este convergent.

In concluzie:

daca x sirul este convergent la 2;

daca x (0,2), sirul este convergent la 1;

daca x (-,0)(2,+), sirul nu este convergent.

Exemplul 5. Sa se studieze convergenta sirului (x), dat de x> 0,

x = .

Schita: Pe ciorna: l = 8 l = 2.

x ? 2 ? 2 x + 2x - 8 < 0 ( x - 2) (x + 4) < 0. Cum se vede x > 0, avem x ? 2 x < 2. Deci x = 2 x = 2;

x > 2 x < 2; x< 2 x > 2. Cazuri

i) x = 2 x = 2

ii) x< 2 x > 2 x < 2 x > 2

iii) x>2 x < 2 x > 2 x < 2

ii) x, x, x, < 2; x, x, x, > 2.

Ne ocupam (x). De exemplu (x):

x - x = - x= > 0.

Deci x , x < 2, deci x l 2. Analog x l 2. Cum:

x = , trecand la limita l = .

Analog l = (inlocuind l de mai sus): l - l = .

iii) Analog.

Pe "curat": Aratam ca x > 0, n 0.

Cazuri

i) x = 2. Aratam ca x = 2, n 0 l = 2.

ii) x (0,2). Aratam ca x (0,2) si x (2, ), n 0. Aratam ca x > x, x < x, n 0. Deducem (x), (x), sunt convergente la l, respectiv l. Deducem (x), (x), convergente la l, respectiv l. Deducem l = , l= . Aratam ca l, l > 0. Deducem l l= 2, deci x 1.

Exemplul 6: x = , x > 0.

Schita: l . Cum x >0, l =. Avem x ?

? x ? x ? .Cazuri:

i) x > x > x < x (x) convergent.

ii) x = x = x .

iii) 0 < x < 0 < x< x > x (x) convergent.

Incercati sa exemplificati metoda pe urmatoarele probleme:

Problema 1. Sa se studieze convergenta sirului:

x > 0, x = , p, q > 0.

Problema 2. Sa se studieze convergenta sirului

x > 0, x = , p N, a > 0.

Problema 3. Sa se studieze convergenta sirului

x R, x = x + sin x.

Problema 4. Sa se studieze natura sirului

x x = .

Nota. Pe unele cazuri particulare dintre cele de mai sus, convergenta sirurilor se poate demonstra pe cai mult mai simple. Am vrut insa nu sa gasesc cele mai scurte demonstratii, ci sa ilustrez o metoda generala.

Problema 5. Gasiti metode mai simple de studiu a sirurilor din exemplele 2,5 si problema 2.