Tipuri simple de ecuatii diferentiale integrabile prin cuadraturi

Tipuri simple de ecuatii diferentiale integrabile prin cuadraturi

Vom studia o clasa importanta de ecuatii diferentiale de ordinal intai, a caror rezolvare se reduce la calculul unor primitive (calculul integralelor nedefinite (!)), sau pastrand traditia istorica, vom spune ca integrarea acestor ecuatii diferentiale se face prin cuadraturi[1]

Ecuatii cu variabile separabile (e.d.v.s.).

Cele mai simple ecuatii diferentiale de ordinul intai sunt ecuatiile cu variabile separabile . Aceste ecuatii sunt definite de functiile si , unde sunt intervale, iar si sunt functii continue pe domeniile lor de definitie ( si ) si au forma generala

sau echivalent . (2.1)

Vom observa ca pentru acest tip de ecuatii putem regrupa intr-o parte a egalitatii numai expresia , care depinde exclusiv de variabila si de cealalta parte pe , care depinde numai de.

Definitie. Functia , , este o solutie a ecuatiei (2.1) daca si numai daca este derivabila pe , si verifica relatia

, . (2.2)

In continuare vom analiza cazurile:

a). Daca pentru orice , atunci ecuatia (2.1) are forma , unde este functie continua. In acest caz multimea solutiilor ecuatiei este definita de curbele integrale (solutiile sunt curbe plane, continute in , care se obtin prin integrare; in acest caz solutiile se obtin cu ajutorul multimii primitivelor functiei )

, constanta, (2.3)

unde este o primitiva a functiei pe , iar este constanta de integrare.

Curbele integrale (2.3) se deduc unele din altele printr-o translatie in directia axei , acoperind tot domeniul . Solutia problemei Cauchy, cu datele initiale este unica si putem scrie

sau . (2.4)

b). Daca pentru orice , atunci ecuatia (2.1) devine

, (2.5)

unde este functie continua. Vom observa ca daca sunt radacinile reale ale ecuatiei situate in intervalul , atunci functiile constante

, (2.6)

sunt solutii ale ecuatiei diferentiale (2.5), numite solutii stationare.

Fie multimea deschisa . Pe multimea se separa variabilele inlocuind ecuatia diferentiala (1.5) cu ecuatia

, (2.7)

si se determina cate o primitiva in fiecare membru al egalitatii (2.7):

.

Asadar, multimea solutiilor ecuatiei (2.7) este definita de curbele integrale (definite implicit)

, (2.8)

unde este o primitiva a functiei continue , definita pe fiecare din intervalele deschise , unde sunt radacinile reale ale ecuatiei . In fiecare domeniu de tip banda, avand forma , curbele integrale (2.8) se deduc unele din altele printr-o translatie in directia axei .

Vom observa ca pentru si atunci primitiva , unde (capetele intervalului pot fi (!)), este bijectiva, deci inversabila. Asadar, este posibil ca solutiile (2.8) sa fie explicitate in raport cu , si cel putin formal, putem scrie

. (2.9)

c). Consideram cazul general, cand ecuatia diferentiala are forma, . Fie un subinterval maximal, fixat, din , pe care vom presupune ca pentru orice si, fie multimea deschisa

.

Daca este o solutie a ecuatiei (2.1) atunci, potrivit definitiei, pe se verifica ecuatia

. (2.10)

Fie o primitiva a functiei , deci este derivabila si pentru orice . Functia compusa este evident derivabila pe si avem

oricare ar fi .

Asadar, putem scrie si daca este o primitiva a functiei pe atunci

, (2.11)

unde este o constanta de integrare. Relatia (2.11) defineste solutia generala sub forma implicita a ecuatiei diferentiale (2.1).

Deoarece , atunci functia pastreaza semn constant pe si prin urmare functia continua este strict monotona, deci inversabila pe . Din (2.11) deducem

, (2.12)

care reprezinta solutia generala sub forma explicita.

Relatia (2.12) arata modul cum se obtin solutiile ecuatiei cu variabile separabile (2.1). Altfel spus, daca este o solutie a ecuatiei (2.1), atunci ea este individualizata pana la o constanta arbitrara de relatia , unde este o primitiva a functiei , este o primitiva a functiei pe , iar este constanta reala .

Reciproc, vom arata ca orice functie apartinand familiei (2.12) este solutie a ecuatiei diferentiale (2.1) pe multimea deschisa . Intr-adevar, din egalitatea (2.12), avem . Prin derivare, obtinem , sau , si deci . Ultima relatie arata ca functia este solutie a ecuatiei (2.1). Intervalul maxim de definitie al acestei solutii este format din toate punctele astfel incat , unde este intervalul maxim de definitie al functiei .

Asadar, solutia (2.12) impreuna cu solutiile stationare si eventual cu unele prelungiri posibile! ale solutiei generale formeaza multimea solutiilor ecuatiei (2.1) (vezi Propozitia 1 si exemplele 2 si 3).

Propozitia 1. Fie , o functie continua care defineste ecuatia diferentiala sub forma normala

, (2.13)

si doua solutii ale ecuatiei diferentiale(2.13) astfel incat

. (2.14)

Atunci functia definita prin

(2.15)

este solutie a ecuatiei

Daca se da un punct initial , si se cer solutiile ecuatiei (2.1), care verifica conditia initiala , atunci pentru integrarea (e.d.v.s) procedam astfel:

i). se constata daca este solutie stationara () si in caz afirmativ, se retine solutia stationara .

In cazul in care este o primitiva a functiei pe , se cerceteaza daca aceasta se poate prelungi si in punctul cand . In caz afirmativ, se determina constanta astfel incat in (2.11), sa avem si se retine solutia particulara determinata implicit de relatia

. (2.16)

ii) Atunci cand se da punctul initial , primitivele si pot fi inlocuite cu expresiile

, (2.17)

si functia definita implicit de ecuatia defineste o solutie locala a problemei Cauchy (2.1) si conditia initiala .

Folosind structura solutiilor ecuatiei (2.1) putem enunta urmatoarea

Propozitia 2. (Existenta si unicitatea solutiilor ecuatiei cu variabile separabile). Daca functiile continue , definesc ecuatia cu variabile separabile (2.1), atunci

i).Pentru orice , exista o vecinatate si exista o solutie a ecuatiei (2.1) astfel incat .

ii).Pentru orice (), exista o vecinatate si exista o unica solutie a ecuatiei (1.1) care verifica conditia.

Exemple

Sa se determine solutiile ecuatiei diferentiale .

Introducem functiile , iar . Domeniul maximal de definitie al ecuatiei este format din reuniunea multimilor deschise

.

Se constata ca . Pentru separarea variabilelor vom considera domeniul

.

Ecuatia poate fi scrisa cu ajutorul diferentialelor sub forma , apoi prin integrarea fiecarui membru obtinem . Fie o primitiva a functiei si o primitiva a functiei . Atunci din obtinem solutia generala sub forma implicita

. (*)

Relatia (*) se poate explicita in raport cu si atunci solutia generala sub forma explicita este data de familia

,

unde. Graficele acestor functii reprezinta solutiile integrale ale ecuatiei considerate.

In figura alaturata sunt reprezentate graficele solutiilor , , , pentru valorile particulare , respectiv, date constantelor.

Determinati solutiile ecuatiei .

Introducem notatiile . Asadar, domeniul maxim de definitie este .

Ecuatia are radacinile si si atunci exista doua solutii stationare si , .

Fie domeniul maximal . Evident, avem

.

Separand variabilele ecuatiei date, pe fiecare din subdomeniile deschise ale reuniunii , putem scrie ecuatia

. (1)

Integrand ambii membri ai acestei ecuatii obtinem solutia generala sub forma implicita

sau , . (2)

Observam ca relatia (2) poate fi explicitata in raport cu si pentru orice , fixat, corespunzator domeniului , obtinem trei familii de solutii sub forma explicita:

• Pe multimea , solutia

generala a ecuatiei se expliciteaza sub forma

;

• Pe multimea solutia generala a ecuatiei se

expliciteaza sub forma

;

• Pe multimea solutia

generala a ecuatiei se expliciteaza sub forma

;

Solutiile si sunt solutii maximale, dar nu sunt solutii globale, in sensul ca ele nu mai pot fi prelungite pe in afara intervalalor maxime de definitie respectiv, . Solutia este o solutie globala.

Asadar, ecuatia data are solutiile generale , si , definite pe intervalele maximale respective si, solutiile stationare

si , .

Solutia stationara este asimptota orizontala curbelor integrale si , cand . Daca admitem pentru constanta valoarea , atunci din oricare dintre solutiile generale mentionate se obtine solutia . In acest caz putem spune ca de fapt solutia , , este o solutie particulara a ecuatiei considerate.

Solutia stationara , este asimptota orizontala atat curbei integrale cat si curbei integrale , cand . Daca admitem valoarea , atunci din oricare dintre solutiile generale mentionate se obtine solutia . Evident, in acest caz spunem ca solutia , , este o solutie particulara a ecuatiei considerate.

In figura alaturata sunt reprezentate solutiile stationare notate cu si si solutiile maximale, pentru valorile , si , notate respectiv, cu si si solutiile globale, pentru aceleasi valori, notate cu , si .

Determinati solutiile problemei initiale .

Introducem functiile , iar . Asadar, functia este continua pe domeniul de definitie al ecuatiei

.

Ecuatia are unica radacina reala si deci, exista o singura solutie stationara

, .

Cum , , rezulta ca nu este marginita pe multimea , deci nu verifica conditiile teoremei de existenta si unicitate si atunci este de asteptat ca in punctele de forma ecuatia diferentiala sa aiba solutii singulare.

Pe multimea , unde

si ,

se pot separa variabilele si putem scrie ecuatia data sub urmatoarea forma

. (1)

Pentru fiecare membru al ecuatiei (1) se determina cate o primitiva (se integreaza in ambii membrii ai ecuatiei) si se obtine relatia

, (2)

care defineste solutia generala sub forma implicita a ecuatiei (1) pe domeniul. Rezolvand ecuatia (2) in raport cu se determina, pe , solutia generala sub forma explicita

, (3)

Asadar, ecuatia considerata are solutiile:

O solutie stationara , , care este solutie globala;

Pe multimea , unde , , solutia generala este maximala si are forma explicita

, ;

Pe multimea , unde , , solutia generala este de asemenea

maximala si se expliciteaza sub forma

, .

In continuare vom analiza unicitatea solutiei problemei initiale.

Din conditia initiala rezulta ca punctul este ales astfel incat si deci solutiile ecuatiei diferentiale care verifica conditia initiala data pot sa nu fie unice. Astfel, solutia stationara , verifica conditia initiala si deci este solutie a problemei Cauchy, aceasta fiind de fapt o solutie singulara a ecuatiei diferentiale date (in orice punct al curbei integrale, definita de aceasta solutie, nu se verifica conditiile teoremei de existenta si unicitate; de exemplu, in punctele , functia nu este marginita.

Conform propozitiei 2, exista o vecinatate a punctului si o functie , solutie locala a ecuatiei date (, nu neaparat unica!) si care verifica conditia initiala . De exemplu, functia , , obtinuta din solutia generala pentru valoarea constantei , este o solutie locala care verifica conditia initiala. Mai mult, curba integrala , se intersecteaza cu solutia singulara (dreapta ) in punctul unde aceasta este tangenta curbei integrale. (Este usor de vazut ca aceasta functie poate fi obtinuta direct luand primitivele in ambii membri ai relatiei (3.1): pentru orice si orice , avem

.

Atunci definim , ).

Se constata ca pentru punctul exista o infinitate de solutii care verifica conditia initiala si care prelungeste solutia locala. De exemplu, functiile

(4)

definite pentru fiecare constanta fixata , sunt continue si derivabile pe , satisfac conditia si verifica ecuatia diferentiala data.

Deci functiile (4) sunt solutii ale problemei initiale, care nu sunt nici solutii singulare si nici solutii particulare.

Observatie. In fiecare punct al multimii, apartinand curbei integrale (dreapta ), definita de solutia singulara, exista o infinitate de solutii ale ecuatiei diferentiale date, ale caror curbe integrale trec prin fiecare din aceste puncte. Asa cum se observa, solutia singulara nu se poate obtine din solutia generala prin particularizarea constantei de integrare.

Din punct de vedere geometric, curba integrala a solutiei singulare (dreapta ) este infasuratoarea familiei de curbe integrale ale solutiei generale , .

Observatie. Potrivit propozitiei 2, pentru orice punct (in , ) exista o vecinatate si o unica functie , solutie locala a ecuatiei cu variabile separabile (3.1) care verifica conditia . Orice solutie locala poate fi prelungita pana la o solutie globala (nu neaparat in mod unic (!)). De exemplu, daca dorim sa determinam solutia care trece prin punctul , vom observa ca si atunci din (3) putem determina pe o unica solutie locala avand forma

, . (5)

Aceasta solutie poate fi prelungita intr-o infinitate de moduri pe intervalul ; de exemplu, functia

definita pentru fiecare fixat, este solutie maximala care prelungeste solutia locala.

In figura alaturata graficul functiei reprezinta graficul solutiei pentru valoarea constantei egala cu , iar graficul functiei coincide cu graficul solutiei pentru valoarea .

2. Ecuatii diferentiale omogene (e.d.o.)

Definitie. Se numeste ecuatie diferentiala omogena o ecuatie de forma

(2.16)

definita de functia continua care este omogena de gradul zero in raport cu ambele variabile

Exemple Care din ecuatiile de mai jos sunt omogene?

R. Este ecuatie omogena: .

;

R. Se pune sub forma si se constata ca nu este ecuatie omogena.

3). R. Este ecuatie omogena.

Se stie ca functia este omogena de gradul in raport cu ambele variabile, daca

si . (2.17)

Daca functia are forma , unde este definita pe un interval , , atunci este omogena de gradul zero; reciproc, daca este omogena de gradul zero atunci putem scrie identitatea:

(2.18)

si deci, functia poate fi identificata cu o functie care este functie continua.

Asadar, ecuatia (2.16) poate fi scrisa sub forma

(2.19)

unde este functie continua pe multimea

.

Ecuatia omogena (2.19) poate fi transformata intr-o ecuatie cu variabile separabile daca de face schimbarea de functie

. (2.20)

Intr-adevar, daca si este o solutie a ecuatiei definita pe un anumit interval din astfel ca , atunci pentru orice avem

si . (2.21)

Cu notatia , este derivabila si

,

Rezulta ca functia este solutie a ecuatiei cu variabile separabile

(2.22)

si atunci, potrivit teoriei e.d.v.s., functia se poate determina abstractie facand de o constanta. Prin urmare solutia este determinata.

Reciproc, orice solutie a ecuatiei cu variabile separabile (2.22) genereaza o solutie a ecuatiei omogene (2.19). Intr-adevar, daca este solutie a ecuatiei cu variabile separabile, atunci avem

si deci functia , verifica ecuatia omogena

.

Pentru integrarea ecuatiilor omogene vom utiliza urmatorul algoritm

Pasul 1. Se efectuiaza schimbarea de functie (2.20), adica pentru fiecare solutie a ecuatiei omogene (2.19), schimbarea de functie (2.20) este

sau,

deci este solutie a ecuatiei cu variabile separabile (2.22).

Pasul 2. Se scrie ecuatia cu variabile separabile sub forma

,

si se determina posibilele solutii stationare , unde este radacina a ecuatiei cat si solutia generala .

Pasul 3. Se revine la schimbarea de functie, apoi se scriu solutiile ecuatiei omogene:

Solutiile stationare

Solutia generala .

Exercitii

I. Sa se verifice care dintre ecuatiile de mai jos sunt ecuatii omogene si in caz afirmativ sa se integreze:

1). . 5). .

2). . 6). .

3). . 7) .

4). 8). .

3. Ecuatii diferentiale de forma

, (2.23)

unde este functie continua

Daca membrul drept al ecuatiei poate fi exprimat in functie de combinatia , cu constante, atunci schimbarea de functie

, (2.24)

transforma ecuatia data intr-o ecuatie cu variabile separabile.

Metoda integrarii acestui tip de ecuatii este prezentata prin exemplul urmator:

.

Partea dreapta a ecuatiei poate fi exprimata ca functie de , deci,

.

Fie substitutia . Prin diferentiere obtinem relatia sau echivalent . Inlocuind in ecuatia data, obtinem

sau ,

care, evident, este o ecuatie cu variabile separabile. In urma separarii variabilelor, printr-o cuadratura, obtinem

.

Asadar, solutia generala a e.d.v.s. are forma implicita

.

Substituind prin obtinem solutia generala ecuatiei date sub forma implicita

.

Solutiile stationare ale ecuatiei cu variabile separabile au forma , pentru orice . Deci, ecuatia data are solutiile stationare:

; si .

Exercitii

Sa se integreze ecuatiile diferentiale:

1). .

2). .

3). .

4). cu conditia .

5). .

6). .