Signatura unei forme patratice reale

Signatura unei forme patratice reale

DEFINITII O forma patratica P : E R se numeste pozitiv semidefinita (negativ semidefinita) daca P () 0 (respectiv P () 0) pentru I E. Forma patratica P se numeste pozitiv definita (negativ definita) daca P ) >0 (respectiv   P () < 0) pentu orice 0_E, cu I E.

O forma biliniara simetrica F : EE R se numeste pozitiv definita (negativ definita, pozitiv semidefinita, negativ semidefinita) daca forma patratica asociata P are aceasta proprietate.

Exemplu. Produsul scalar definit pe un spatiu vectorial real este o forma biliniara simetrica si pozitiv definita.

Observatia 1. Daca astfel incat P () >0 si astfel incat P () < 0, spunem ca forma patratica P este nedefinita.

Metoda lui Jacobi ne permite sa obtinem o conditie necesara si suficienta pentru ca o forma patratica P  : E R sa fie pozitiv definita (respectiv negativ definita).

TEOREMA 6.8. (Criteriul lui Sylvester). Daca sunt indeplinite conditiile teoremei lui Jacobi, atunci forma patratica P : E R este pozitiv definita daca si numai daca D_k > 0, k =1,.,n si este negativ definita daca si numai daca (-1)ⁱD_i > 0, i=1,,n.

Demonstratie. Fie P o forma patratica pozitiv definita. Admitem prin absurd ca exista un , adica o linie din este o combinatie liniara de celelalte, deci exista numerele, nu toate nule, astfel incat , adica

F F F . De aici rezulta

F , ,

deoarece F este o forma biliniara simetrica. Amplificand (18) cu , si, adunand relatiile astfel obtinute, gasim

F F F

F ,

deoarece F este admisa pozitiv definita. Cum , , nu sunt toti nuli, rezulta ca avem , ceea ce contrazice ipoteza ca este baza in . Deci . Mai mult, conform T.1.6.6. (a lui Jacobi), exista o baza a lui E fata de care

P

cum P  este pozitiv definita, rezulta

, adica

Reciproc, daca , , rezulta

,

si, din , deducem P ; P ,

deci . Avem P .

Daca P este negativ definita, rezulta ca forma - P este pozitiv definita si totul se repeta ca mai sus avand in vedere ca matricea lui - P este

M (-F ; ) . 

DEFINITIA 1.6.13. Fie expresia canonica

P

a unei forme patratice P : E R in care coeficienti sunt strict pozitivi, sunt strict negativi, iar sunt nuli. Tripletul se numeste signatura formei patratice P

Consecinta 1.6.1. Forma patratica P : E R este pozitiv definita daca si numai daca este indeplinita una din urmatoarele conditii:

(i) are signatura ;

(ii) determinantii , sunt strict pozitivi;

(iii) valorile proprii ale matricei A sunt strict pozitive.