Vectori proprii. Valori proprii. Definitii. Proprietati

Vectori proprii. Valori proprii. Definitii. Proprietati

Fie E un K -spatiu vectorial.

DEFINITIA 1. Un vector I E se numeste vector propriu al endomorfismului F I L (E,E) daca l I K astfel incat

F () = l.

Un scalar l I K se numeste valoare proprie a endomorfismului F I L (E,E) daca I E care verifica egalitatea (1).

Observatii 1. (a) Unui vector propriu ii corespunde o singura valoare proprie.

Intr-adevar, F ()= si F (), deoarece .

(b) Unei valori proprii ii corespund o infinitate de vectori proprii.

Intr-adevar, daca este vector propriu asociat valorii proprii ( adica F ()), atunci toti vectorii subspatiului generat de , mai putin vectorul nul 0_E, vor fi vectori proprii asociati valorii proprii (deoarece F (), I K ).

TEOREMA 1. Vectorii proprii ai unui endomorfism F , asociati unor valori proprii distincte , sunt liniar independenti.

Demonstratie. Presupunem contrariul : I K nu toti nuli, astfel incat

.

Dispunem de numerotare si putem face ca 0_K. Din aceasta deducem

F () + F () + + F () = 0_E

sau, tinand seama ca sunt vectori proprii,

.

Inmultim (2) cu si o scadem din (2'),

.

Daca ind_E, din aceasta ultima egalitate, cu distincte, rezulta

si (2) se reduce la, cu 0_K, deci . Dar este vector propriu si conform cu D.1.4.2, 0_E. Prin urmare nu are loc ind_E. Am demonstrat astfel ca

dep_E T dep_E.

Repetand rationamentul, obtinem

dep_E T dep_E T T dep_E ,

ceea ce este fals deoarece 0_E si (care da ind_E).

In concluzie, ind_E .

DEFINITIA 1. Fie o valoare proprie a endomorfismului F I L (E,E). Multimea E_j = se numeste subspatiul propriu asociat valorii proprii .

Se observa ca este format din vectorul nul si toti vectorii proprii asociati valorii proprii.

TEOREMA 1.4.3. (a subspatiilor proprii).

(P.1.) Subspatiul propriu E_j , asociat valorii proprii, este un subspatiu vectorial al lui E, invariant fata de F

(P.2.) Subspatiile proprii asociate valorilor proprii distincte , au proprietatea ca E₁ E₂ = .

Demonstratie. (P.1.) Sa aratam mai intai ca / K E / K. Egalitatea F () = se mai scrie (F - I )() = 0_E, cu I transformarea identica. Deci este nucleul endomorfismului F - I si, conform cu T1.3.4, este un subspatiu vectorial al lui E.

Subspatiul este invariant fata de F deoarece , F () (conform D.1.4.1) .

(P.2.) Fie . Pentru F , F T

si T = 0_E T E₁ E₂ = .