Dependenta si independenta liniara

Dependenta si independenta liniara

DEFINITIA 1.1.5 Multimea se numeste liniar dependenta si se noteaza , daca si , astfel ca din sa rezulte ca exista cel putin un astfel incat

DEFINITIA 1.1.6 Multimea se numeste liniar independenta si se noteaza , daca si , astfel ca din sa rezulte toti scalarii nuli

Exemple. 1. In spatiul vectorial al functiilor , functiile 1, sin x, cos x formeaza o multime liniar independenta

Intr-adevar din relatia

R

rezulta, punand pe rand si ,

,

adica

2. Functiile formeaza o multime liniar dependenta deoarece R.

TEOREMA 1.1.5 Fie sistemul de vectori Atunci
cel putin un vector din S se poate exprima ca o combinatie liniara de ceilalti vectori.

Demonstratie. Daca atunci in relatia cel putin un coeficient este diferit de zero. Presupunand ca obtinem

unde

Reciproc, daca cel putin un vector, de exemplu , se poate exprima ca o combinatie liniara de ceilalti vectori

,

rezulta

,

in care coeficientul lui este si deci vectorii sunt liniar dependenti . □

TEOREMA 1.1.6 Vectorul nul formeaza un sistem liniar dependent.

Demonstratie. Avem de exemplu □

TEOREMA 1.1.7 Orice vector formeaza un sistem liniar independent.

Demonstratie. Pentru relatia □

TEOREMA 1.1.8 Orice sistem de vectori, din care se poate scoate un sistem liniar dependent, este de asemenea liniar dependent

Demonstratie. Fie sistemul N, cu proprietatea ca subsistemul Deci exista scalarii nu toti nuli astfel incat

Putem scrie atunci si

si deci □

TEOREMA 1.1.9 Orice sistem de vectori care contine vectorul nul este liniar dependent

Demonstratie. De exemplu, pentru sistemul avem combinatia liniara cu , deci □

TEOREMA 1.1.10 Orice subsistem al unui sistem de vectori liniar independenti este de asemenea liniar independent

Demonstratie. Daca un subsistem ar fi liniar dependent, dupa teorema 1.8 ar rezulta ca intregul sistem este liniar dependent. □

TEOREMA 1.1.11 Daca o multime liniar independenta S are n elemente, atunci orice multime care contine n+1 elemente este liniar dependenta

Demonstratie. Fie cu si

.

Consideram si, schimband sumarea, avem 

Explicitand ultima relatie obtinem 

,

care este un sistem de n ecuatii liniare si omogene cu n+1 necunoscute a carei matrice este cu , , cu astfel incat □

Observatia 1.1.3 Daca multimea si singura solutie a sistemului este solutia banala si avem

Consecinta 1.1.1 Daca , si , atunci