APLICATII DIN GEOMETRIA PONDERILOR COMPLEXE

In cele ce urmeaza, vom face mai intai o scurta introducere in teoria spatiilor afine (geometria afina) pe care apoi o ponderam cu scalari din corpul (corpul numerelor complexe), ceea ce ne va permite constructii de combinatii liniare si implicit o geometrie a ponderilor complexe.

I. ELEMENTE INTRODUCTIVE

Fie o multime ale carei elemente le numim puncte si pe care le notam cu litere majuscule din alfabetul latin. Fie, L de asemenea, un spatiu liniar peste corpul K si o aplicatie cu proprietatile:

pentru orice A, B, C din .

2) Exista un punct , a.i. data prin .

Tripletul se numeste spatiu afin asociat spatiului vectorial L (pe care-l numim spatiu liniar director asociat lui ), iar se numeste structura afina pe . In caz ca , atunci avem un spatiu afin real si putem scrie .

Daca fiecarui punct din ii scriem un scalar din , atunci se creeaza un spatiu afin ponderat (evident in acest caz cu ponderi complexe).

In cele din urma ne vom ocupa de spatiile afine in care spatiul vectorial director este spatiul vectorilor geometrici din plan, iar ponderile sunt din . Consideram planul raportat la un reper cartezian ortogonal, astfel ca orice vector , unde si , iar orice numar complex cu si . Produsul a doua numere complexe si este si se reprezinta in planul complex

Din Fig.1 rezulta ca vectorul care reprezinta se obtine din vectorul care reprezinta printr-o omotetie (de centru 0 si coeficient ), urmata de o rotatie (de centru 0 si unghi .

De exemplu, relatia , inseamna ca vectorul se obtine din vectorul printr-o omotetie de coeficient 3 si centrul Z si o rotatie an jurul lui Z de unghi , asa cum se vede in Fig.2.

Fie puncte in planul complex, care au coordonatele numere complexe, respectiv si fie ponderile lor numerele complexe .

Se stie (vezi ;) ca sistemul de puncte ponderate: are baricentrul (centrul ponderilor) Z, a.i. coordonata sa complexa este data de relatia:

cu .

Se stie (vezi ca Z are urmatoarele proprietati:

Orice sistem de puncte complexe, cu ponderea totala nenula are un baricentru.

Baricentrul a doua puncte cu ponderi complexe si cu ponderea totala diferita de zero, satisface "legea parghiilor" (a lui Arhimede), adica .

Pozitia lui este aceeasi cu pozitia baricentrului sistemului unde si .

II. APLICATII

In continuare, vom prezenta doua probleme de geometrie plana rezolvate prin consideratii de geometrie ponderata cu numere complexe.

1. Pe laturile ca baze, se construiesc, in afara triunghiului, triunghiurile isoscele , , , cu acelasi unghi in varfurile . Sa se arate ca si au acelasi baricentru (Fig.3).

Solutie: Vectorul poate fi obtinut din vectorul , prin rotirea cu unghiul ; de aceea, . Deci este baricentrul sistemului de doua puncte ponderate . Analog este baricentrul sistemului de puncte ponderate , iar al sistemului .

Fie Z = baricentrul sistemului de puncte ponderate:

care are ponderea totala ; atunci:

.. Deci .

2) Pe laturile triunghiului ca baze se construiesc in exterior triunghiurile echilaterale

care au drept isobaricentre, respectiv . Sa se demonstreze ca este echilateral (Fig.4).

Solutie: Vectorul se poate obtine din prin rotire cu unghiul . Daca notam cu , atunci avem:

.Analog, si

Deci

Fie caci .

Observam ca avem: ; deci Z este baricentrul sistemului si deci si al sistemului . Deci . Pe de alta parte, avem:

care prin inmultire cu si tinand seama ca , egalitatea de mai sus devine: .

Deoarece , vectorul poate fi obtinut din vectorul prin rotirea cu . Deci este echilateral.

Bibliografie:

[1] Liviu Ornea si Adriana Turtoi: "O introducere in geometrie" (Ed. Theta, Bucuresti 2000)

[2] M.B. Balk si V.G. Bolteanski: "Geometria maselor" ( Moscova, 1987)

[3] M. Oprea: "Functii Leibniz" (Buletinul stiintific din 1996 al Universitatii Bacau).

In BIBLIE, la FACERE, in Cartea intai a lui Moise, la capitolul 1, versetul 14, in ziua a 4- a, se arata ca Dumnezeu a facut luminatori pe taria cerului ca sa lumineze pe pamant. Odata incheiat, in cele sase zile, procesul initial al creatiei, Dumnezeu a continuat si continua acest proces cu luminatori din randul oamenilor cum sunt sfintii, creatorii in arte, stiinte, literatura etc. Si in invatamantul matematic, la diversele sale nivele, Dumnezeu a inzestrat oameni cu talentul de luminator, pentru a lumina mintile elevilor sau studentilor. Astfel de luminatori au existat si exista in continuare si in randul profesorilor de matematica din invatamantul nostru preuniversitar.

In toamna anului 2005, s-a stins un astfel de luminator, in persoana distinsului profesor ADRIAN GHIOCA si, iata, ca in toamna anului curent, mai precis pe 17 octombrie, s-a stins un alt puternic luminator, in persoana profesorului MIRCEA GANGA.

Profesorul Ganga s-a nascut in comuna Craciunelu de Jos (langa Blaj) din Judetul Alba - deci in inima Ardealului si a Scolii Ardelene de acum doua secole. A facut studiile primare si gimnaziale in localitatea natala, iar cele liceale la renumitul Colegiu National I. M. Klein din Blaj, remarcandu-se ca un elev eminent.

In toamna anului 1971 incepe studiile universitare la Facultatea de Matematica a Univ. Bucuresti, distingandu-se, de asemenea, ca un student eminent - urmare a unui program precis de studiu, de ordine si disciplina autoimpus. Personal, cu ani in urma, am intalnit colegi de grupa si de camera de la caminul studentesc ai profesorului Mircea Ganga, care mi-au marturisit ordinea si precizia de dramuire a timpului (dupa ceas) din perioada sa de studentie. Acest mod de lucru l-a practicat cu consecventa si in activitatea sa de dascal la liceele ploiestene "I. L. Caragiale" si "Mihai Viteazu" in perioada 1981-2003 (in perioada 1976-1981 a lucrat la Centrul de Calcul de la Rafinaria Brazi).

A absolvit Facultatea de matematica in anul 1976 la sectia Probabilitati si Statistica Matematica (condusa de distinsul matematician prof. univ. dr. Ion Cuculescu) fiind unul din studentii eminenti ai acestei sectii. Si astazi, dupa mai bine de 30 de ani, profesorul I. Cuculescu isi aduce aminte cu placere de studentul sau Ganga, pe care l-a urmarit in continuare, bucurandu-se permanent de succesele acestuia ca profesor si ca autor de manuale si culegeri de probleme pentru invatamantul preuniversitar.

Profesorul Mircea Ganga a fost un model de daruire in procesul de instruire si educare a tineretului in cele doua licee de elita ale orasului Ploiesti. Avand o solida pregatire matematica din facultate, odata coborat din nivelul academic in cel de scoala, s-a preocupat temeinic si de o pregatire psiho-pedagogica, dobandind, astfel, calitati remarcabile de profesor si educator, care au fost mult apreciate, mai ales de catre elevii sai.

Lectiile sale de matematica erau urmarite cu un deosebit interes de catre elevi, multi dintre acestia evidentiindu-se in concursurile scolare panna la nivelul national. El se bucura si isi hranea sufletul si mintea cu succesele emulilor sai. Era drept si corect in aprecierea elevilor, indiferent de situatia materiala a parintilor acestora. Pe de alta parte, profesorul Mircea Ganga se preocupa permanent si asiduu de studiul temeinic al matematicii liceeale, privita dintr-un punct de vedere mai inalt, astfel ca avea o larga, precisa si clara perspectiva a matematicii din programele scolare. Avand la baza o puternica cultura matematica si preocupari continue de cercetare, a ajuns sa publice articole, note si probleme originale in prestigioasa Gazeta matematica si sa se faca cunoscut in intreaga tara. Elevii stiau acest lucru si il stimau si iubeau. Vestea mortii sale a socat atat pe fostii sai elevi cat si, mai ales, pe acei profesori care l-au cunoscut si i-au savurat creatiile sale (articole si probleme in revistele de matematica, remarcabilele sale manuale scolare si, mai ales, culegerile sale de probleme). Nu a fost un simplu culegator de probleme din diverse carti facute de altii, ci, el si-a cules propriile-i probleme de mare originalitate. Nu admitea superficialitatea si impostura in jurul sau, isi cunostea precis valoarea si locul in randul colegilor de cancelarie si de catedra si de aceea nu suporta mediocritatile care se impaunau cu lauri nemeritati. Nu suporta nonvalorile, mai ales cand acestea ocupau functii de conducere si, de aceea, pe fata si in mod direct, le persifla si sfida, astfel ca a ajuns sa aiba deseori necazuri. Toate acestea l-au imbolnavit de ulcer (se stie ca aceasta boala apare, in multe cazuri, pe fond de stres) si l-au determinat, mai ales dupa 1990, sa se gandeasca la o eventuala retragere din invatamant si sa se dedice exclusiv activitatii de scriere de manuale scolare si de culegeri de probleme pentru diverse concursuri (admitere la facultate, olimpiade etc.)

Dotat cu o putere de munca deosebita, dublata de o tenacitate de invidiat, Mircea Ganga se impune fara drept de apel, de la inceput, pe piata manualelor scolare. Multi profesori i-au adoptat la clasa manualele sale, astfel ca devine cunoscut de catre elevi si profesori din intreaga tara. Exact asa cum erau remarcate, pana in 1948, manualele de matematici ale lui Hollinger, Gh. Dumitrescu, Gh. Simionescu, P. Mirescu, C. Cosnita si V. Claudian, asa s-au remarcat si manualele lui M. Ganga dupa 1989.

In anul 2003 se retrage definitiv din invatamant si se dedica exclusiv activitatii de scriere si editare de carti de matematica pentru invatamantul preuniversitar. Era extrem de prolific si lucra, efectiv, pana la epuizare. Cartile de matematica scrise de M. Ganga raman un model de manual de matematica din toate punctele de vedere: originalitate + claritate + precizie+ concizie + perspectiva.

Prin moartea sa, invatamantul matematic romanesc a pierdut un mare luminator pentru tineretul sau in curs de formare sau perfectionare.

Pentru cei ce l-au cunoscut si l-au apreciat fara invidie si fara ascunzisuri, profesorul M. Ganga ramane un model de profesor de matematica, demn de urmat si cunoscut. Vor fi inca multe generatii de elevi de acum inainte care se vor hrani din opera didactica a profesorului Ganga.

Vie si vesnica ramane amintirea eminentului

Profesor si Om MIRCEA GANGA

care a luminat pe bolta scolii ploiestene aproape 25 de ani.