REPARTITIA NORMALA MULTIDIMENSIONALA

REPARTITIA NORMALA MULTIDIMENSIONALA

Fie X ~ N m, Σ) vector aleator normal (gasussian) n-dimensional.

Consideram partitionarea in doi subvectori:

X = si corespondentele din m = si Σ = .

Atunci:

X⁽¹⁾ ~ N m - Σ₁₂ m , Σ_11.2), unde Σ_11.2 = Σ₁₁ - Σ₁₂   Σ_21.

X⁽²⁾ ~ N m

iar functia de regresie a lui X⁽¹⁾ in raport X⁽²⁾ este

E[X⁽¹⁾ / X⁽²⁾= x⁽²⁾] = m + Σ_{12 (}x⁽²⁾_-m

Aici X⁽¹⁾ = X₂, X⁽²⁾ = si:

m = (liniile din m conform X⁽¹⁾ = X₂, adica a doua linie) = 1

m = (liniile din m conform X⁽²⁾ = , adica linia 1 si 3) =

= (liniile din Σ conform X⁽¹⁾ = X₂ si coloanele tot conform X⁽¹⁾ = X₂, adica linia 2 si coloana 2) = 2

= (liniile din Σ conform X⁽¹⁾ = X₂ si coloanele conform X⁽²⁾ = , adica linia 2 si coloanele 1 si 3) = (1/2 /2)

= (liniile din Σ conform X⁽²⁾ = si coloanele conform X⁽¹⁾ = X₂, adica liniile 1 si 3 si coloana 2) =

= (liniile din Σ conform X⁽²⁾ = si coloanele tot conform X⁽²⁾ =, adica liniile 1 si 3 si coloanele 1 si 3) = .

Deci m m =, Σ₁₁ = 2, Σ₁₂ = (1/2 ), Σ₂₁=, Σ₂₂=.

Inlocuim parametrii repartitiei lui X⁽¹⁾ ~ N m - Σ₁₂ m , Σ_11.2), unde Σ_11.2 = Σ₁₁- Σ₁₂ Σ_21.

Pentru a calcula inversa matricei Σ₂₂=, putem folosi rezultatele teoretice pentru o matrice diagonala sau putem proceda clasic, adica:

==> det(Σ₂₂) = 4 si (Σ₂₂)^t = Σ₂₂, matricea adjuncta este (Σ₂₂)^*= si deci inversa este (Σ₂₂)^-1 = ·(Σ₂₂)^*= =.

Asadar,

m - Σ₁₂ m /2) = 1 - (1/4 /4) =

= 1 - 1/2 + 3/4= 1/2 + 3/4, iar

= Σ₁₁ - Σ₁₂   Σ₂₁ = 2 - (1/2 /2) = 2 - (1/4 /2) =
=2 - 1/8 - 3/8 = 2 - 1/2 = 3/2

=> X⁽¹⁾ = X₂ ~ N(1/2 + 3/4, 3/2)

Reamintim ca pentru o variabila normala unidimensionala N(m,σ²) functia de densitate are forma

f(x) =

Aici avem m = 1/2 + 3/4 si σ² =3/2 si astfel f(x) = => => f_X (x) =.

Pentru calculul functiei de densitate pentru cea de-a doua componenta, X⁽²⁾ =~ N m , Σ₂₂), unde m = si Σ₂₂ =, reamintim ca functia de densitate pentru un vector normal
N(m n-dimensional are forma

f(x) =

unde x este un vector n-dimensional. Inlocuind, se obtine (n=2)

f(x₁, x₃) = =

= = = = =>

Deci, functia de densitate a vectorului este f(x₁, x₃) =

Reamintim ca functia de regresie a lui X⁽¹⁾   in raport cu X⁽²⁾ este

M[X⁽¹⁾ / X⁽²⁾= x⁽²⁾] = m + Σ_{12 (}x⁽²⁾_-m

In cazul nostru, X⁽¹⁾ = X₁, X⁽²⁾ = si cum m = , Σ = rezulta ca

m = (liniile din m conform X⁽¹⁾ = X₁, adica a prima linie) = 2

m = (liniile din m conform X⁽²⁾ = , adica linia 2 si 3) =

= (liniile din Σ conform X⁽¹⁾ = X₁ si coloanele tot conform X⁽¹⁾ = X₁, adica linia 1 si coloana 1) = 2

= (liniile din Σ conform X⁽¹⁾ = X₁ si coloanele conform X⁽²⁾ = , adica linia 1 si coloanele 2 si 3) = (1/2 0)

= (liniile din Σ conform X⁽²⁾ = si coloanele conform X⁽¹⁾ = X₁, adica liniile 2 si 3 si coloana 1) =

= (liniile din Σ conform X⁽²⁾ = si coloanele tot conform X⁽²⁾ =, adica liniile 2 si 3 si coloanele 2 si 3) = .

Pentru a calcula _: Σ₂₂ = => (Σ₂₂)^* = si cum
det (Σ₂₂) =13 / 4 rezulta ca =(Σ₂₂)^* =. Astfel:

M[X⁽¹⁾ / X⁽²⁾= x⁽²⁾] = M[X₁ / m + Σ_{12 (}x⁽²⁾_-m ) =
= 2 + (1/2 0)··= 2 + (4/13 -/13)· =
= 2 + 4(x₂-1)/13 - (x₃+3)/13 = (22-3)/13 + 4x₂ / 13 - x₃ / 13.

=> M[X₁ / ] = (22-3)/13 + 4x₂ / 13 - x₃ / 13

Functia de regresie a lui X⁽¹⁾   in raport cu X⁽²⁾ este M[X⁽¹⁾ / X⁽²⁾= x⁽²⁾] = m + Σ_{12 (}x⁽²⁾_-m

doar ca X⁽¹⁾=, X⁽²⁾=X₁ (invers fata de punctul b) si cum m=, Σ= rezulta ca

m = (liniile din m conform X⁽¹⁾ = , adica linia 2 si 3) =

m = (liniile din m conform X⁽²⁾ = X₁, adica a prima linie) = 2

= (liniile din Σ conform X⁽¹⁾ si coloanele tot conform X⁽¹⁾ , adica liniile 2 si 3 si coloanele 2 si 3) = .

=(liniile din Σ conform X⁽¹⁾ si coloanele conform X⁽²⁾ , adica liniile 2 si 3 si coloana 1)=

= (liniile din Σ conform X⁽²⁾ = X₁ si coloanele conform X⁽¹⁾ , adica linia 1 si coloanele 2 si 3) = (1/2 0)

=(liniile din Σ conform X⁽²⁾=X₁ si coloanele tot conform X⁽²⁾=X₂, adica linia 1 si coloana 1) =2

Pentru a calcula _, cum Σ₂₂ este o matrice de ordinul 1 atunci invesa sa este 1/elementul matricei => = 1 / 2. Astfel:

M[X⁽¹⁾ / X⁽²⁾= x⁽²⁾] = M[ / X₁= x₁] = m + Σ_{12 (}x⁽²⁾_-m ) =
= + ·( x₁-2)= => M[ / X₁= x₁] =.

De aici se pot obtine si functiile de regresie ale variabilelor X₂, respectiv X₃ in raport cu X₁

M[X₂ / X₁= x₁] = (x₁ + 1) / 4.

M[X₃ / X₁= x₁] = -3.

Si de exemplu, daca s-ar cere functia de regresie a variabilei X₂ in raport cu X₃ se poate determina functia de regresie a vectorului in raport cu X₃. (tema)

Exercitiu pentru acasa: Determinati functia de regresie a lui X₁ in raport cu X₃ si functia de regresie a lui X₃ in raport cu X₂.