Spatiu vectorial

Spatiu vectorial

Notiunea de spatiu vectorial este fundamentala in matematica si studiul acestuia constituie obiectul algebrei liniare.

DEFINITIA 1.1.1 Fie K un corp comutativ si 1_K elementul sau unitate. Un triplet format din:

multimea nevida V,

legea de compozitie interna pe V, notata aditiv

,

legea de compozitie externa:

,

se numeste spatiu vectorial peste K ( sau K-spatiu vectorial ) daca verifica urmatoarele axiome:

perechea (V,+) este un grup abelian, adica:

a)

a) astfel incat

a) astfel incat

a)

fata de legea de compozitie externa sunt indeplinite axiomele:

a)

a)

a)

a)

Daca K=R (respectiv K=C) vom spune ca V este un spatiu vectorial real (respectiv complex).

Elementele unui K-spatiu vectorial se numesc vectori, iar elementele corpului K se numesc scalari.

Legea de compozitie interna se numeste adunarea vectorilor iar legea de compozitie externa se numeste inmultirea cu scalari din K.

Notatie  este K- spatiu vectorial.

TEOREMA 1.1.1 Daca este dat spatiul , atunci au loc urmatoarele proprietati:

P₁.

P₂.

P₃.

P₄.

P₅. sau

P₆.

P₇.

P₈.

Demonstratie. P₁. (conform cu a₅) si a₃)) deci in care, scazand in ambii membri pe rezulta

P₂. (conform cu a₆) si a₃)), deci in care, scazand pe bx in ambii membri, rezulta

P₃ In P₁ facem x = y si atunci .

P₄. In P₂ luam .

P₅ Demonstram implicatia directa: presupunem ca si T

Reciproc, evident din P₃ si P₄.

P₆ Sa aratam ca . Avem

Analog, folosind a₆)

P₇ In prima parte a demonstratiei P₆ luam in loc de a pe si avem:

(conform cu a₇)).

P₈. Evidenta, punand in P₆ scalarul . □

Exemple

1. Orice camp K este spatiu vectorial peste el insusi ;

2. Spatiul vectorial al matricelor cu m linii si n coloane cu elemente din K:

cu ,K.

3. Spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult nIN cu coeficienti in K:

4. Fie n K-spatii vectoriale V₁ , V₂,., V_n si produsul cartezian .

Fie u, ,K si definim operatiile : ; cu K.

Acesta este un spatiu vectorial si se numeste produs direct de spatii vectoriale.

Daca K, i =1,2,., n, atunci se obtine spatiul vectorial :

K

numit spatiul vectorial aritmetic cu n dimensiuni.