Credibilitate pentru prime de asigurare

Acum problema se pune astfel: daca avem o functie de pierdere L si un vector aleator X , interpretata drept istoric al platilor, cum este cel mai bine sa aproximam o variabila aleatoare Y, interpretata drept o plata viitoare? Cu alte cuvinte se pune problema definirii unui L-aproximant conditionat. Definirea lui se bazeaza pe faptul ca o variabila aleatoare reala admite intotdeauna o repartitie conditionata regulata fata de o s-algebra F. Se stie (vezi de exemplu lectia "Conditioning" ca exista o probabilitate de trecere Q de la (W,F) la (A,B(A)) astfel ca egalitatea P(Y I B F w = Q(w,B) sa fie adevarata P-a.s. Atunci definim A_L(Y F) astfel:

Sa presupunem ca A_L(Y) este definit printr-o functie A(m), unde m este repartitia variabilei aleatoare Y. Avem dreptul sa scriem asa deoarece L-aproximantul nu depinde atat de variabila aleatoare Y cit depinde de repartitia sa , m Ei bine, atunci definim

A_L(Y F w) = A(Q(w

Exemplul . Daca L(x,y) = x-y ^p, p 1 , atunci pentru p > 1 A_p(Y) este solutia unica a ecuatiei E( X-t ^p- sign(X-t)) = 0. In termeni de repartitie, A(m) este solutia unica a ecuatiei dm(x) = 0.

Atunci A_p(Y F w) este solutia unica a ecuatiei Q(w,dx) = 0. Scrisa ca medie conditionata, este vorba despre solutia t(w) a ecuatiei E( Y-t sign(Y-t) F w

Aici m este repartitia lui Y iar Q(w) este repartitia conditionata a lui Y de F .

Pentru p = 2 obtinem A₂(Y) = E(Y F) iar daca p = 1 obtinem mediana lui Y conditionata de F.

Exemplul Daca L(x,y) = e^hx-e^{hy p} cu p > 0, h >0 , am vazut ca A_L(Y) este . Atunci avem ) A_L(Y F) = . Daca p = 2 obtinem prima exponentiala conditionata

H_h(Y F ) = .

Exemplul 3. L(x,y) = (x - y)²e^hx cu h > 0, A_L(Y) = este premiul Esscher. Sa il notam Essch_h(Y) . In acest caz A_L(Y F) = = Essch_h(Y F) este premiul Esscher conditionat. Din capitolul precedent rezulta inegalitatea E(Y F

PROPOZITIA 6.1. Fie L o functie de pierdere cu proprietatea ca A_L(Y) exista pentru orice risc pozitiv marginit Y . Atunci A_L(Y F) construit ca mai sus are proprietatea de optim

E(L(Y,A_L(Y F F E(L(Y,Z) F Z care este F - masurabila

Demonstratia se bazeaza pe urmatoarea formula de calcul

LEMA 6.2. Fie Y o variabila aleatoare cu valori reale, F o sub-s-algebra a lui K , Q repartitia conditionata regulata a lui Y in raport cu F , L : A ) o functie masurabila si Z o variabila aleatoare care este F - masurabila. Atunci aproape pentru toti w I W are loc egalitatea

E(L(Y,Z) F w) = (w))Q(w,dy)

Demonstratia lemei. Este standard. Din ipoteza si din formula de transport avem

E(h(Y) F w) = Q(w,dy) (P - a.p.t)

Pasul 1. Daca L(y,z) = h(y)g(z) cu f,g masurabile pozitive atunci E(L(Y,Z) F w) = E(h(Y)g(Z) F w) = E(h(Y) F w)g(Z(w)) (variabilele F - masurabile ies din media conditionata!) = g(Z(w)) Q(w,dy) = g(Z(w)) Q(w,dy) = (w))Q(w,dy) deci formula este adevarata in acest caz.

Pasul 2. Drept urmare, daca L(y,z) = 1_{A B}(y,z) cu A,B boreliene, formula (6.3) este adevarata. Fie

C = C I B A E(1_C(Y,Z) F ) = (w))Q(w,dy)

Atunci C este un p-sistem care contine dreptunghiurile A B cu A,B boreliene. Cum dreptunghiurile formeaza un sistem de generatori stabil la intersectii finite pentru B(A ), rezulta ca toate multimile boreliene C sunt in C, deci (6.3) este valabila pentru functii de forma L(y,z) = 1_C(y,z)

Pasul 3. Fiind valabila pentru indicatori, (6.3) este valabila pentru functii L simple.

Pasul 4. Fie L oarecare. Atunci exista un sir crescator de functii simple si pozitive(L_n)_n astfel ca L_n L . Alicind teorema Beppo-Levi conditionata avem E(L(Y,Z) F w) = E(lim_n L_n(Y,Z) F w) = lim_n E(L_n(Y,Z) F w) (P - a.s.) = lim_n (w))Q(w,dy) = ) Q(w,dy) (teorema Beppo-Levi obisnuita) = (w))Q(w,dy).

Acum demonstrarea Propozitiei 6.1 este imediata:

E(L(Y,A_L(Y F F w = A_L(Y F w))Q(w,dy) (w))Q(w,dy) =E(L(Y,Z) F w) aproape pentru toti w

COROLAR 6.3. Fie L o functie de pierdere cu proprietatea ca A_L(Y) exista pentru orice risc pozitiv marginit Y . Atunci

E(L(Y,A_L(Y F E(L(Y,Z) ) Z care este F - masurabila

Observatie. Deci L-aproximantii conditionati raspund la intrebarea: dintre toate functiile Z care sunt F - masurabile , cine asigura o pierdere minima medie, daca inlocuim riscul adevarat Y cu Z ?

Raspuns: Z = A_L(Y F

Pe noi ne intereseaza un caz particular, anume cind F este generat de un vector aleator, X . Atunci vom nota A_L(Y X ) in loc de A_L(Y s(X)). Aceasta variabila aleatoare are atunci proprietatea de optim

E(L(Y,A_L(Y X X E(L(Y,g(X)) X g:A^t A masurabila

Cu consecinta

E(L(Y,A_L(Y X E(L(Y,g(X))) g:A^t A masurabila

Revenim acum la intrebarea initiala: cum putem folosi experienta acumulata X pentru a gasi un predictor de pierdere minima pentru Y = X_t+1 ? Raspuns: acesta este A_L(X_t+1 X

Aceasta este ideea de credibilitate cand se inlocuieste functia de pierdere patratica cu alt tip de functie de pierdere. Apar diferente insemnate: aproximantii nu mai sunt neaparat proiectori . Totusi, in cele doua cazuri folosite in actuariat (premiul exponential si premiul Esscher) apar formule nu foarte complicate.

COROLAR 6.4. Presupunem ca variabilele aleatoare (X_r)_r sunt conditionat i.i.d. daca se da Q q. Fie t un numar natural si X = (X_r)_{1 r t}

Fie h > 0 . Atunci premiul exponential conditionat este

H_h(X_t+1 X) =

unde j_h Q) = ( = r caci variabilele aleatoare sunt identic repartizate!) iar premiul Esscher este

Essch_h(X_t+1 X =

unde y_h Q) =

Demonstratie.  H_h(X_t+1 X) = . Dar = E( X) = E( X) (deoarece variabilele sunt conditionat independente!; vezi lectiile anterioare!) = E(j_h Q X) . Apoi premiul Esscher este A_L(X_t+1 X) =. Numitorul este deja calculat: este E(j_h Q X). In ce priveste numaratorul , folosim aceeasi metoda: Dar = E( X) = E( X ) = E(y_h Q X

Pentru primele exponentiale nu se pot calcula estimatori liniari de tip Buhlman. Pentru premiile Esscher, acest lucru se poate face insa. Prezentam fara demonstratie urmatoarea formula (sunt calcule analoge celor din capitolele anterioare).

TEOREMA 6.5. Presupunem ca variabilele aleatoare (X_r)_r sunt conditionat i.i.d. daca se da Q q. Fie t un numar natural si X = (X_r)_{1 r t} . Atunci estimatorul optim liniar h(X) pentru Essch_h(X_t+1 X ) este

h(X) = z*M + (B - z*)C 

unde M este media de selectie (X₁ + . + X_t)/t iar

B =

C =

Essch_h(X₁ q) = este premiul Esscher calculat in ipoteza ca Q q

j_h q) = este functia generatoare de momente a lui X_r calculata in ipoteza ca Q q

z* = unde asteriscul inseamna ca media se calculeayza fata de probabilitatea r U unde r q) = const j_h q