Solutia generala. Curbe integrale

Solutia generala. Curbe integrale

Daca in conditia initiala (1.6) schimbam valoarea initiala , obtinem o multime infinita de solutii ale ecuatiei (1.3). Graficele acestor solutii reprezinta o familie de curbe integrale depinzand de parametrul . Constanta arbitrara poate intra in solutiile ecuatiei diferentiale (1.3) fie ca valoare initiala a lui cat si sub forma unei constante generale de integrare . Asadar, rezulta ca ecuatia diferentiala (1.3) are o multime infinita de solutii de forma

, (1.7)

unde este solutie a ecuatiei diferentiale (1.3). Solutia ecuatiei (1.3), care contine o constanta arbitrara, se numeste solutie generala a ecuatiei diferentiale (1.3). Spunem adesea ca solutia generala (1.7) depinde de un parametru real . Uneori solutia generala poate fi de forma implicita

. (1.8)

Daca dam constantei diferite valori numerice determinate, (inclusiv valorile ), obtinem, din solutia generala (1.7) sau (1.8), diferite solutii ale ecuatiei (1.3) numite solutii particulare ale ecuatiei.

Ecuatia diferentiala (1.3) respectiv (1.1) pot avea solutii care nu fac parte din familia solutiei generale (1.8), adica este posibil sa existe solutii ale ecuatiei diferentiale (1.3) care nu se pot obtine din formula (1.8), a solutiei generale, prin nici-o valoare particulara data constantei . Aceste solutii se numesc solutii singulare ale ecuatiei respective. Este mai natural ca solutia singulara sa se numeasca acea solutie pentru care conditiile teoremei de existenta si unicitate nu sunt indeplinite. Ca o consecinta, in toate punctele solutiei singulare solutia problemei lui Cauchy nu este unica.

Graficul solutiei obtinuta pentru o valoare particulara data constantei , care este continut in , se numeste curba integrala a ecuatiei diferentiale (1.3). Pentru ca din familia de curbe integrale (1.8) sa alegem pe aceea care trece printr-un punct dat , reprezinta ordonata punctului de intersectie a curbei integrale cu dreapta , trebuie sa determinam valoarea numerica a constantei din conditia

. (1.9)