Ecuatii de tip Bernoulli

Ecuatii de tip Bernoulli

Ecuatiile de tip Bernoulli[1] sunt ecuatii diferentiale de ordinul intai, care au forma generala (nu sunt ecuatii lineare)

, (4.1)

unde , sunt functii continue si numarul real . Functia (in general pozitiva) de clasa care verifica identic ecuatia (4.1) este solutie a ecuatiei de tip Bernoulli. Deci graficul solutiilor ecuatiei (4.1) este format din perechile ordonate de forma .

Vom observa ca daca ecuatia (4.1) devine o ecuatie diferentiala lineara de ordinul intai, neomogena, iar daca ecuatia (4.1) este o ecuatie diferentiala lineara omogena. Asadar, ecuatiile de tip Bernoulli contin, in cazurile particulare cand sau , ecuatiile diferentiale omogene si neomogene.

Presupunand ca . Daca facem schimbarea de functie

, (4.2)

atunci ecuatia diferentiala nelineara (4.1) se transforma intr-o ecuatie lineara care se rezolva dupa metoda cunoscuta.

Intr-adevar, derivand relatia (4.2) obtinem

, (4.3)

care substituita in (4.1) arata ca daca este o solutie a ecuatiei Bernoulli (4.1), atunci verifica ecuatia diferentiala lineara de ordinul intai

. (4.4)

a). Daca , atunci ( ) nu este solutie si deci ecuatia nu are solutii singulare.

b). Daca , atunci ( ) este solutie singulara.

c). Daca , atunci ( ) este solutie particulara si aceasta solutie se obtine din solutia generala cand constanta de integrare ia valoarea .

Observatie. Pentru rezolvarea ecuatiei (4.1) putem aplica metoda lui Bernoulli, cand se cauta solutie de forma , unde functia verifica ecuatia , iar functia se determina din conditia (vezi ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai, observatia #).

Observatie. Ecuatiile de tip Bernoulli apar, de exemplu, in studiul miscarii corpurilor in medii care opun o rezistenta la inaintare proportionala cu viteza de deplasare de forma , unde reprezinta viteza corpului.

Exemple:

1). Sa se integreze ecuatia de tip Bernoulli

, .

Solutie. Ecuatia data este de tip Bernoulli cu si . Facem schimbarea de functie

, (1)

de unde .

Inlocuind aceste relatii in ecuatia data deducem ca functia trebuie sa verifice ecuatia diferentiala lineara neomogena

. (2)

Tehnica integrarii ecuatiei diferentiale (2) este prezentata in . Asadar, functia este factorul integrant corespunzator si deci solutia generala a ecuatiei diferentiale lineare (2) are forma

.

Datorita substitutiei (1) obtinem solutia generala a ecuatiei Bernoulli sub forma implicita

, (3)

Vom observa ca ecuatia data este bine definita pe multimea , iar solutia stationara , corespunzatoare valorii y = 0, este o solutie particulara care poate fi obtinuta din solutia generala (3) daca luam pentru constanta valoarea .

2). Sa se integreze ecuatia de tip Bernoulli

, , cu conditia initiala .

Solutie. Avem: , , . Potrivit relatiei (4.2), se face schimbarea de functie

. (1)

Deci, si atunci functia verifica ecuatia lineara neomogena

, . (2)

Daca presupunem atunci ecuatia (2), prin integrare, conduce la solutia generala sub forma explicita , . Pentru a obtine solutia generala a ecuatiei Bernoulli va trebui sa substituim expresia lui in relatia (1). Avem

. (3)

Retinem pentru ecuatia data si solutia particulara de forma , ( ) , solutie care se obtine din solutia generala pentru .

Deoarece se da punctul initial si se cere solutia ecuatiei care trece prin acest punct, va trebui sa inlocuim, in solutia generala (3), valorile . Deducem si atunci solutia problemei Cauchy considerata are forma

.

Graficul solutiei, reprezentat pe figura din dreapta este continut in . Pe figura din partea stanga sunt reprezentate graficele solutiilor pentru diferite valori date constantei

3). Integrati ecuatiile diferentiale

a) , ; ;

b) , , cu conditia initiala ;

c) , ; .

Solutii: a). Ecuatia data este de tip Bernoulli cu , . Facem schimbarea de functie . Avem si ecuatia data se transforma in ecuatia lineara neomogena de ordinul intai

, , . (1)

Pentru integrare deducem ca factorul integrant este , iar solutia generala a ecuatiei lineare (1) are forma

Revenind la functia , rezulta ca solutia generala a ecuatiei Bernoulli are forma (vezi Fig.#)

.

Pentru aceasta ecuatie de tip Bernoulli retinem si solutia singulara , .

Figura 1. Graficul solutiei pentru .

b) Ecuatia poate fi scrisa sub forma normala

, . (1)

Asadar, ecuatia este de tip Bernoulli cu , , , . Cu schimbarea de functie,

, (2)

ecuatia data se transforma in ecuatia lineara neomogena

, . (3)

Solutia generala a ecuatiei (3) este

, , . (4)

Notand cu , putem scrie solutia (4) sub forma

, , (5)

si datorita schimbarii de functie (2), din (5) deducem ca solutia generala a ecuatiei Bernoulli are forma (vezi Fig. 2)

, , . (6)

Functia , este o solutie particulara a ecuatiei (1) care se obtine din (6) pentru

Figura2. valoarea .

Din familia curbelor integrale (6) retinem pe aceea care trece prin punctul daca cerem ca si sa verifice expresia (6). Deducem . Deci solutia problemei Cauchy (3.b) este

. (7)

c) Ecuatia este echivalenta cu ecuatia diferentiala scrisa sub forma normala

,

care este de tip Bernoulli cu . Procedand ca mai inainte obtinem solutia generala de forma

si solutia particulara ( ) .

In figura alaturata sunt reprezentate solutiile ecuatiei pentru , pentru , respectiv pentru

Observatie. Daca se cunosc doua solutii particulare ale ecuatiei Bernoulli, atunci fara nici o cuadratura, se pot determina solutiile ecuatiei Bernoulli.

Intr-adevar, folosind schimbarea de functie (4.2), deducem ca daca si sunt solutii particulare ale ecuatiei Bernoulli, atunci si respectiv , sunt solutii ale ecuatiei diferentiale lineare (4.4). Datorita linearitatii acestei ecuatii rezulta ca diferenta este solutie a ecuatiei omogene asociate. Cum solutiile ecuatiei diferentiale omogene formeaza un spatiu vectorial unidimensional, atunci solutia generala a ecuatiei lineare neomogene are forma . Revenind la schimbarea de functie deducem ca functia

,

este solutia generala a ecuatiei Bernoulli.

Caderea libera pe verticala a corpurilor

Un corp M, avand masa , situat la inaltimea fata de suprafata Pamantului, este lasat sa cada pe verticala sub actiunea greutatii, intr-un mediu rezistent, fara viteza initiala. Stiind ca rezistenta mediului este proportionala cu patratul vitezei, sa se determine viteza corpului, in cadere, la momentul , cat si distanta parcursa dupa scurgerea a secunde.

Fie spatiul parcurs pana la momentul . Legea de miscare a lui Newton, conform careia punctul material de masa , care evolueaza sub actiunea unei forte se desfasoara astfel incat

, (1)

unde este acceleratia.

Pentru a putea descrie evolutia punctului material alegem ca sistem de coordonate (miscarea are loc pe verticala) dreapta reala si fie originea in punctul situat la inaltimea de la suprafata pamantului si spatiul parcurs pana la momentul .

i). Conform legii de miscare a lui Newton, in cazul in care se neglijeaza rezistenta aerului putem scrie ecuatia diferentiala

, (2)

cu conditiile initiale (pozitia si viteza initiala)

, (3)

Atunci, functia , unde sunt constante de integrare care se determina din conditiile initiale:

(4)

Asadar, miscarea descrisa de ecuatia diferentiala (2), cu conditiile initiale (3), are loc dupa "traiectoria"

. (5)

Asadar, relatia , care defineste solutia generala a ecuatiei diferentiale (2), supusa la conditiile initiale, , conduce la solutia

; .

La momentul , cand corpul atinge suprafata Pamantului avem:

din , deducem , de unde obtinem sau .

Viteza pe care o atinge corpul la intalnirea cu solul va fi

Procedeul obtinerii legii de miscare a corpurilor

a). Se determina toate fortele care actioneaza asupra corpului (sistemului) aflat in studiu;

b). Se aleg axele sistemului de coordonate corespunzatoare spatiului in care are loc miscarea (in mecanica clasica spatiul este euclidian, izotrop si omogen: spatiul sau in planul , sau pe dreapta reala ). Este important sa specificam ca sistemul de coordonate ales trebuie sa fie sistem de referinta inertial, determinat prin luarea in calcul a acceleratiei datorita rotatiei Pamantului in jurul axei si a miscarii Pamantului in jurul Soarelui;

b). Aplicam legea a doua a lui Newton (lege care se aplica numai in sisteme inertiale, adica in sisteme de coordonate care au proprietatile: a) la orice moment de timp, toate legile naturii sunt aceleasi in toate sistemele inertiale; b) toate sistemele de coordonate care se misca uniform si rectiliniu in raport cu un sistem inertial sunt inertiale):

, (6)

unde este impulsul (forta motrice) a sistemului. Atunci legea lui Newton se poate scrie

. (7)

In general fortele nu depind de , ele depind in cele mai numeroase cazuri de timpul si de viteza . Asadar, putem scrie .

Daca forta depinde numai de , putem introduce, prin definitie, functia potential astfel incat

, sau (8)

Semnul minus din aceasta formula este ales astfel incat energia potentiala sa fie cu atat mai mare cu cat distanta a punctul material fata de suprafata Pamantului este mai mare (vezi relatia (2), unde se ia ).

Vom observa ca relatia (8) arata cum energia potentiala (functia de potential ) determina pe .

Folosind functia de potential atunci legea de miscare a lui Newton (1) devine

.

Aceasta relatie arata ca in timpul miscarii, expresia ramane constanta.

Intr-adevar, deoarece atunci prin derivarea in raport cu timpul in expresia de mai sus, avem

.

Deoarece reprezinta energia cinetica a sistemului, este natural sa definim functia ca energia potentiala determinata de forta si ca energia totala a sistemului.

Asadar, am demonstrat ca energia totala a sistemului in miscare, descris de relatia , este constanta. Acesta afirmatie constituie principiul conservarii energiei.

Fie o solutie a ecuatiei diferentiale , unde functia nu depinde explicit de si . Daca este o primitiva a functiei , atunci cantitatea , numita energia totala a sistemului, este constanta in timp, adica . Intr-adevar, avem

.

Cantitatea se numeste energia potentiala a sistemului in miscare descris de ecuatia . In cazul caderii pe verticala avem .

In continuare luam in discutie caderea libera a corpului, cand miscarea se desfasoara intr-un mediu rezistent[3].

ii). Vom presupune ca punctul material intampina o rezistenta a aerului (rezistenta mediului) la inaintare de forma , avand marimea , unde reprezinta viteza corpului.

Ecuatia diferentiala care descrie miscarea corpului are forma

(6)

cu conditiile initiale:

deplasare initiala ;

viteza initiala (adica evolutia miscarii are loc fara viteza initiala);

Ecuatia (6) se scrie sub forma echivalenta

(7)

care poate fi privita ca o ecuatie cu variabile separabile.

In ipoteza ca , putem separa variabilele si avem

, . (8)

Luand cate o primitiva in ambii membri ai ecuatiei (8), rezulta

,

sau, inca,

. (9)

Cu notatia , putem scrie sau

, (10)

unde semnul este acelasi cu semnul expresiei . Asadar, viteza de deplasare a punctului material este solutia generala a ecuatiei (7) si are forma

(11)

In cazul cand analizam unele situatii concrete marimile si sunt cunoscute. Atunci constanta , din solutia generala (11), se determina cunoscand viteza initiala. Din conditia initiala (7) , obtinem , de unde si avem

. (12)

In cazul general cand conditia initiala (7)₂ are forma , atunci solutia generala (11) devine

. (13)

Studiul se face utilizand, de obicei, sistemul de unitati de masura , metru-kilogram-secunda.

Asimptota orizontala pentru viteza se numeste viteza finala a punctului material si viteza , este un echilibru stabil pentru ecuatia autonoma (pag. 25 Edif.).

Din

, ,

deducem solutia

.

Luand si avem

.

Folosind prima conditie initiala (7), deducem pentru constanta , valoarea

.

Atunci solutia problemei initiale (6), (7), cu , are forma

.

Pentru , pozitia tinde catre asimptota (solutie particulara)

cand .

Cazuri particulare:

1).

2). Cazul parasutistului: ; . (pg. 119 E.d.)

Reprezentati graficele solutiilor pentru si cateva valori initiale ale vitezei.

ii). Vom presupune cazul cand rezistenta a aerului are marimea .

Atunci, ecuatia de miscare are forma

. (14)

Impunem conditiile initiale: (deplasarea initiala); (fara viteza initiala).

Pentru a reduce ordinul ecuatiei (14) cu o unitate vom introduce functia . Avem

(15)

Introducand notatia , atunci ecuatia devine

(16)

Daca , putem separa variabilele si avem

.

Luand cate o primitiva in ambii membrii ai acestei egalitati, obtinem , . Folosind conditia initiala , deducem . Asadar, solutia are expresia

,

sau 

.

Cum , putem scrie

,

de unde obtinem

.

Deoarece si , ( ) si , atunci traiectoria miscarii are forma

.