Ortogonalitate

Ortogonalitate

DEFINITII 1. Fie E_n - spatiu vectorial euclidian.

Doi vectori se numesc ortogonali daca ; se noteaza .

O multime se numeste ortogonala daca atunci

O multime se numeste ortonormata daca este ortogonala si este formata numai din versori.

Consecinta. Vectorul nul este ortogonal pe orice vector din E_n.

Exemple.

Baza canonica din Rⁿ este ortonormata fata de

2. In multimea , in care

N*, este o multime ortogonala fata de produsul scalar

TEOREMA 1.2.4 Orice multime ortogonala formata din elemente nenule dintr-un spatiu vectorial euclidian E_n este liniar independenta.

Demonstratie. Fie ortogonala sa demonstram .

Pentru aceasta consideram combinatia liniara

.

DEFINITIA 1. O baza B = (e₁ e₂ e_n)E_n se numeste ortonormata daca

, simbolul lui Kronecker.

DEFINITIA 1. Fie E_n, atunci vectorul se numeste proiectia vectorului u pe v, iar numarul se numeste marimea algebrica a proiectiei vectorului u pe v.

TEOREMA 1. Fie E_n si B = (e₁ e₂ e_n) baza in E_n.

Daca B este o baza ortogonala si atunci .

Daca B este o baza ortonormata si .

Demonstratie.

Daca baza este ortonormata .

DEFINITIA 1.2.13 Coordonatele sau se numesc coor-donatele euclidiene ale vectorului .

DEFINITIA 1. Un vector se numeste ortogonal multimii daca este ortogonal pe orice vector din S. Multimea tuturor vectorilor ortogonali lui S se numeste S ortogonal si se noteaza S . Daca S ∕ R E_n ∕ R, atunci S se numeste complementul ortogonal al lui S.

PROPRIETATEA 1.2.1 .