Forma diagonala

Forma diagonala

O preocupare importanta in cele ce urmeaza este determinarea unei baze in E,

astfel incat matricea unui endomorfism F I L (E,E) sa aiba forma cea mai simpla, asa numita forma canonica . Pentru acest motiv, determinarea unei baze in care matricea endomorfismului F are forma diagonala, prezinta un interes deosebit. Dat fiind un endomorfism prin matricea sa intr-o baza arbitrara, aceasta operatie se numeste reducerea matricei respective la forma diagonala sau diagonalizarea matricei.

DEFINITIA1.4.6. Vom spune ca endomorfismul F I L (E,E) este diagonalizabil daca exista o baza B in E in care

M(F ;B)

este o matrice diagonala, adica _K pentru i j.

TEOREMA 1.4.6. Un endomorfism F I L (E_n, E_n) este diagonalizabil daca si numai daca exista o baza a spatiului V_n formata din vectori proprii ai endomorfismului.

Demonstratie. Daca F este diagonalizabil, atunci exista o baza a spatiului fata de care matricea este diagonala

M(F ; B).

Rezulta

F ( F ;)

si cum F (B)=( F (),F (),.,F ()), obtinem F , ceea ce inseamna ca vectorii sunt vectori proprii ai endomorfismului F

Reciproc, daca este o baza in E_n formata de vectorii proprii ai lui F , adica F , atunci matricea lui F in aceasta baza este

M(F ; B*)= F F .

Desigur, unele dintre numerele pot fi egale.

TEOREMA1.4.7. Pentru endomorfismul F I L (E_n, E_n), dimensiunea unui subspatiu propriu este cel mult egala cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzatoare subspatiului.

Demonstratie. Fie o valoare proprie multipla de ordinul m si E₀ subspatiul propriu corespunzator, cu . Fie o baza a subspatiului propriu. Completam aceasta baza pana la o baza in E_n de forma . Deoarece vectorii , sunt vectori proprii corespunzatori valorii proprii , avem F si

F . Matricea lui F in aceasta baza este

M(F ,, B)

astfel ca polinomul caracteristic al lui F are forma

( M(F ; B),

unde este un determinant de ordin .

In concluzie, implica, iar implica . Deci.

TEOREMA 1.4.8. Un endomorfism F I L (E_n, E_n) este diagonalizabil daca si numai daca polinomul caracteristic are toate radacinile in campul peste care este luat E_n si dimensiunea fiecarui subspatiu propriu este egala ca ordinul de multiplicitate al

valorii proprii corespunzatoare.

Demonstratie. Presupunem ca endomorfismul F este diagonalizabil. Rezulta ca exista o baza formata din vectori proprii pentru F , fata de care matricea lui F este diagonala. Fie

,

adica sunt valorile proprii ale lui F de multiplicitati cu . Fara a reduce generalitatea, putem admite ca primii vectori din baza corespund lui , urmatorii lui , etc. In concluzie, vectorii apartin subspatiului propriu corespunzator valorii proprii , ceea ce inseamna ca numarul lor este mai mic sau cel mult egal cu , adica . Pe de alta parte, conform teoremei 1.4.7, avem . In concluzie . Analog, rezulta .

Reciproc, presupunem ca . Consideram multimea , cu , formata din vectori din E_n astfel incat primii vectori sa constituie o baza in E₁, urmatorii sa constituie o baza in E₂ si asa mai departe. Folosind inductia asupra lui p se arata ca B este o baza a lui E_n. Fata de aceasta baza B matricea lui F este

M(F ; B),

adica o matrice diagonala.

Consecinta 1.4.1. Daca F I L (E_n, E_n) este diagonalizabil, atunci E_n este suma directa a subspatiilor proprii asociate valorilor proprii ale endomorfismului, adica .

Procedeu de diagonalizare a unui endomorfism. Practic se parcurg urmatoarele etape :

Fixam o baza B in E_n si determinam matricea M(F ; B).

Determinam valorile proprii care sunt solutii in K ale ecuatiei .

Daca exista valori proprii distincte cu ordinele de multiplicitate , calculam rangul fiecarei matrice M(F ; B). Daca

rang(M(F ; B) , ( F I )) este numarul solutiilor independente ale sistemului omogen (M(F ; B), atunci (conform teoremei 1.4.8) endomorfismul F este diagonalizabil.

Se rezolva cele sisteme omogene (M(F ; B), . Un sistem fundamental de solutii, pentru un asemenea sistem, reprezinta coordonatele vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii .

Matricea lui F , in raport cu baza formata din vectorii proprii ai lui F , are pe diagonala elementele , adica valorile proprii.

Notam prin DIM (n, n, K) matricea diagonala atasata lui F in raport cu baza formata din vectorii proprii ai lui F . Daca CIM (n, n, K) este matricea ale carei coloane sunt vectorii proprii care alcatuiesc noua baza a lui E_n, adica matricea de trecerea de la baza initiala din E_n (baza canonica B) la baza formata din vectorii proprii, atunci

D = C^-1 M(F ; B) C