Functia de gradul al II-lea

Functia de gradul al II-lea

     Avand date numerele reale a,b,c cu a nenul , functia f:R→R definita prin f(x)=ax²+bx+c se numeste functie de gradul al II-lea cu coeficienti a,b,c.

     Forma canonica a functiei :f(x)=a

     Puncte de extrem ale functiei de gradul al II-lea :

1)Daca a>0 atunci f are un punct de minim m

2) Daca a<0 atunci f are un punct de maxim M

     Monotonia functiei de gradul al II-lea

1) Daca a >0 atunci

2) Daca a<0 atunci

     Graficul functiei de gradul al II-lea -este o parabola

Etapele construirii graficului functiei de gradul al II-lea:

1) Intersectia cu axa Ox : este data de semnul lui ∆

Daca ∆>0 atunci graficul intersecteaza axa Ox in 2 puncte A(x₁;0) si B(x₂;0) unde x₁si x₂ sunt radacinile ecuatiei ax²+bx+c=0

Daca ∆=0 atunci graficul intersecteaza axa Ox intr-un singur punct V() .Graficul este tangent axei Ox .

Daca ∆<0 atunci graficul nu intersecteaza axa Ox.

Intersectia cu axa Oy : graficul functiei intersecteaza axa Oy in punctul C(0;c)

2) Varful parabobolei V

3)Axa de simetrie dreapta x=

4) Tabelul de variatie ( din care rezulta punctele prin care trece graficul si monotonia functiei)

5) Trasarea graficului.

     Semnul functiei de gradul al II-lea

1) Daca ∆<0 functia pastreaza semn constant - semnul lui a

2) Daca ∆=0 functia pastreaza semn constant - semnul lui a si se anuleaza intr-un punct

3) Daca ∆>0 atunci functia prezinta alternanta de semn

     Inecuatiile de gradul al II-lea se rezolva cu ajutorul semnului functiei de gradul al II-lea intocmind un tabel de semn.

     Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul al II-lea in raport cu un numar real α

Fie f(x)=ax²+bx+c avand radacinile x₁si x₂

1) x₁<x₂<α daca sunt indeplinite conditiile :

2) α<x₁<x₂ daca sunt indeplinite conditiile :

3)x₁<α<x₂ daca sunt indeplinite conditiile :

Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul al II-lea fata de un numar real α se putea aborda si notand cu y₁=x₁-α cu y₂=x₂-α ( adica se face transformarea y=x-α → x=y+α) caz in care semnul radacinilor ecuatiei in y da pozitia radacinilor ecuatiei in x fata de numarul α.

     Alte aplicatii ale functiei de gradul al II-lea :-conditii ca o expresie de gradul al II-lea sa aiba acelasi semn pe un interval

-familii de parabole :-determinarea curbei descrisa de varfurile unei familii de parabole

-determinarea punctului fix al unei familii de parabole

-determinarea imaginii sau multimii valorilor unei functii

     Sisteme de ecuatii neliniare

1) Sisteme formate dintr-o ecuatie de gradul I si o ecuatie de gradul al II-lea :

Procedeu : se substituie x sau y din prima ecuatie si se introduce in a doua ecuatie obtinandu-se o ecuatie de gradul al II-lea numai in x sau numai in y

2) Sisteme omogene

Procedeu : Daca d₁≠0 si d₂≠0 , se inmulteste ecuatia (1) cu d₂ si ecuatia (2) cu (-d₁), se aduna si se obtine o ecuatie omogena de gradul al II-lea cu termenul liber 0.Impartind ecuatia omogena la y² (y=0 nu este solutie a sistemului ), obtinem o ecuatie de gradul al II-lea cu necunoscuta t = . Sistemul se reduce astfel la doua sisteme de tipul 1.Daca d₁≠0 si d₂=0 ,se imparte ecuatia (2) prin y² si se formeaza ecuatia de gradul al II-lea cu necunoscuta t=

3) Sisteme simetrice (sistemele care nu se schimba daca inlocuim pe x cu y si pe y cu x)

Procedeu : se introduc necunoscutele auxiliare s si p date de relatiile x+y=s si xy=p. Sunt utile identitatile :

x²+y²=(x+y)²-2xy=s²-2p

x³+y³= (x+y)³-3xy(x+y)=s³-3sp

x⁴+y⁴=(x²+y²)-2x²y²=(s²-2p)²-2p²

     In rezolvarea ecuatiilor sau inecuatiilor daca apar module se expliciteaza modulele si se analizeaza cazurile care apar.De multe ori este util sa se tina cont de proprietatile modulului.

     Ecuatiile in care necunoscuta apare sub radicali se numesc ecuatii irationale.In rezolvarea lor este bine sa se parcurga etapele:1)conditii de existenta si de compatibilitate(conditiile de compatibilitate se pot adauga si pe parcursul rezolvarii ecuatiei)

2)eliminarea radicalilor prin -ridicare la putere

-amplificare cu expresia conjugata

-utilizarea diferitelor substitutii

3)rezolvarea ecuatiei obtinute

4)verificarea solutiilor obtinute in ecuatia initiala.