Functii reale de mai multe variabile reale

Functii reale de mai multe variabile reale

§.1.Functii reale de mai multe variabile reale

Structura topologica a spatiului Rⁿ

Fie X . Se numeste distanta (metrica) pe X, o functie d:X X R, cu proprietatile:

x,yIX  d(x,y) 0 si d(x,y)=0 x=y ;

x,yIX  d(x,y) = d(y,x) ;

x,y,zIX  d(x,z)d(x,y) + d(y,z).

Perechea (X,d), cu X si d metrica pe X se numeste spatiu metric.

Pe aceeasi multimea X se pot defini diverse metrice, deci mai multe structuri de spatiu metric.

Fie (X,d) un spatiu metric, x₀IX si numarul real, oarecare, r>0. Multimea

B_r(x₀)=

se numeste bila deschisa cu centrul x₀ si raza r.

Se numeste bila inchisa cu centrul in x₀ si raza r, multimea notata B_r[x₀] si definita prin:

B_r[x₀] = .

In Rⁿ distanta dintre doua puncte x=(x₁,x₂,.,x_n) si y=(y₁,y₂,..,y_n) se poate defini ca fiind numarul real d(x,y) = . Aceasta se numeste distanta euclidiana dintre cele doua puncte. Se poate verifica usor ca d este o metrica pe Rⁿ. Pentru n=1 distanta euclidiana este d(x,y)=, iar pentru n=2, d(x,y)=

Fie (X,d) spatiu metric si x₀IX.Se numeste vecinatate a lui x₀, orice submultime V X, pentru care exista r >0, astfel incat B_r(x₀) V.

Definitia 1.6. O submultime D X se numeste deschisa daca x₀ID, r > 0 astfel incat B_r(x₀) D ( D este vecinatate pentru fiecare punct al sau).

Pentru Rⁿ, cu n=1, o bila deschisa cu centrul in x₀IR este un interval deschis simetric fata de x₀, de forma (x₀-r, x₀+r) ; o bila inchisa este intervalul inchis [x₀-r, x₀+r].

Pentru n=2, bila deschisa este un disc circular cu centrul in x₀ si raza r, iar bila inchisa contine si circumferinta impreuna cu discul.

Pentru n=3, bila deschisa cu centrul in x₀IR si raza r este interiorul sferei cu centrul in x₀ si raza r, bila inchisa este formata din sfera si interiorul ei.

Fie (X,d) spatiu metric si A X. Un punct xIA se numeste punct interior multimii A, daca r >0 astfel incat B_r(x) A.

Toate punctele interioare multimii A formeaza interiorul lui A , care se noteaza .

Fie (X,d) spatiu metric si A X. Un punct xIX se numeste punct aderent multimii A, daca r > B_r(x) A

Toate punctele aderente multimii A formeaza inchiderea lui A, notata .

Multimea notata se numeste frontiera ( bordul) lui A.

Un punct xIX, aderent multimii A, cu proprietatea

r > B_r(x) A

se numeste punct de acumulare al lui A.

Multimea punctelor de acumulare pentru A se noteaza A' si se numeste multimea derivata a lui A.

O submultime A a spatiului metric (X,d) se numeste marginita daca r >0 si x₀IX, astfel incat A B_r(x₀).

O clasa importanta de spatii metrice sunt spatiile vectoriale normate.

Fie X/K spatiu vectorial. Functia :X R, cu proprietatile:

, xIX si x q_V

lIK, xIX ;

, x,yIX.

se numeste norma pe X.

Un spatiu vectorial X impreuna cu o norma definita pe X se numeste spatiu normat.

Un spatiu vectorial normat este un spatiu metric cu distanta indusa de norma sa astfel: d(x,y)= , x,yIX.

Daca X= Rⁿ, n 1, , x=(x₁,x₂,.,x_n)IRⁿ ; iar pentru n=1, , xIR; astfel Rⁿ este un spatiu vectorial normat.

Exemple.

1.f:Rⁿ R , f(x₁,x₂,.,x_n)=a₁x₁+a₂x₂+.+a_nx_n, cu a₁,a₂,.., a_nIR se numeste functie liniara de n variabile reale sau functionala liniara.

2.f:A R² R , f(x,y)= este o functie reala de doua variabile reale. Multimea maxima de definitie este A= R² .

3.Functia Cobb-Douglas f:D R² R,f(x,y)=Ax^by^1-b definita pe D= cu constantele A>0, bI(0,1).Ea reprezinta legatura dintre doi factori de productie x si y si volumul eficientei productiei f(x,y) pentru diferite valori ale acestor factori. De obicei, x reprezinta suma de bani cheltuita pentru forta de munca, iar y este suma de bani cheltuita pentru mijloace fixe cladiri, utilaje si mijloace de productie). Functia f masoara produsul final si de aceea se numeste functie de productie.

Limite si continuitate pentru functiile reale

Fie functia reala de n variabile reale f:A Rⁿ R si fie a un punct de acumulare pentru A.

Fie functia f:A Rⁿ R, aIA un punct de acumulare pentru A si lIR. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

Numarul l este limita functiei f in punctul a

Pentru e> d>0, astfel incat xIA, x a cu proprietatea <d T f(x) - l < e

Pentru orice sir (x_n)_nIN de puncte din A, x_n a cu T .

Consecinta. Daca exista doua siruri (x_n) si (x_n') cu aceeasi limita a, astfel incat sirurile de valori ale functiei f, (f(x_n))_n si (f(x_n'))_n au limite distincte sau cel putin unul dintre aceste siruri nu este convergent, atunci functia f nu are limita in punctul a.

Exemple.1. Fie functia f :R² R prin f(x,y) =3x-2y. Punctul a=(-1,2) este punct de acumulare pentru R². Vom considera un sir x_n= (x_n¹, x_n²) R² convergent catre a. El este format din sirurile de numere (x_n¹) si (x_n²) 2. Calculam limita sirului = = -7, folosind operatiile cu siruri de numere reale. .

Continuitatea functiilor reale

Functia f:A Rⁿ R se numeste continua pe multimea A daca este continua in orice punct al multimii A.

Un punct xIA, in care functia f nu este continua se numeste punct de discontinuitate al functiei f.

Fie functia f:A Rⁿ R si a IA.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente

1. Functia f este continua in a IA

2. Pentru e> d>0, astfel incat xIA, x a cu proprietatea <d T f(x) - f(a) < e

3.Pentru orice sir (x_n)_nIN de puncte din A, x_n a cu , sirul de valori (f(x_n))_n este convergent si are .

Daca aIA, este in plus si punct de acumulare pentru A, atunci definitia continuitatii coincide cu definitia limitei si deci f este continua in a .

Derivabilitatea functiilor reale

Reamintim, pentru inceput, cateva notiuni legate de derivabilitatea functiilor reale de o variabila reala, cunoscute din liceu.

Aceasta limita se numeste derivata functiei f in x₀. Daca derivata f '(x₀) este finita, atunci spunem ca functia f este derivabila in punctul x₀. Functia f:D R R se numeste derivabila pe A D, daca este derivabila in orice punct xIA.

Daca functia f este devabila pe A D, se poate defini functia f :A R, x f (x), numita derivata functiei f.

Fie I,J R, intervale de numere reale, f:I J, g:J R. Daca f este derivabila in x₀ si g este derivabila in y₀=f(x₀)IJ,atunci g f:I R este derivabila in x₀ si

(gf)(x₀)=g (f(x₀)) f (x₀).

Un punct x₀ID se numeste punct de extrem local, daca este punct de minim local sau maxim local.

Fie f:I R R, I interval. Un punct x₀I, in care f este derivabila si f (x₀)=0 se numeste punct critic (sau stationar) pentru f.

Reciproca teoremei lui Fermat nu este in general adevarata.

Fie f:I R R, I interval, f continua pe I, x₀II astfel incat f este derivabila pe I si si este finita. Atunci f este derivabila in x₀ si

f (x₀) =.

Derivate de ordin superior ale functiilor reale de o variabila reala

Fie functia f:I R R , I este un interval deschis, f derivabila pe I si x₀II.

Daca f este functie derivabila intr-o vecinatate VIV(x₀) si functia derivata f este derivabila in x₀, atunci derivata functiei f in punctul x₀ se numeste derivata de ordinul doi a functiei f in x₀ si se noteaza:

f "(x₀) = (x₀) (1)

Recursiv, se obtine derivata de ordinul n 2 : daca exista functia derivata de ordinul n-1 a functiei f intr-o vecinatate VIV(x₀), notata f^(n-1), si este derivabila in x₀, atunci derivata sa in x₀ se numeste derivata de ordin n a functiei f in punctul x₀ si se noteaza

f ⁽ⁿ⁾(x₀) = [f ^{(n -1)}] '(x₀) = = (x₀) (2)

Fie f,g :I R R, doua functii reale. Daca f si g sunt functii derivabile de ordinul n I N^* in x₀ II si a bIR, atunci:

i) functia af + bg:I R R este derivabila de ordinul n in x₀ si are loc egalitatea:

(af + bg)⁽ⁿ⁾(x₀) = af ⁽ⁿ⁾(x₀) + bg ⁽ⁿ⁾(x₀)  (3)

ii) functia f g:I R R este derivabila de ordinul n in x₀ si

(f g)⁽ⁿ⁾(x₀)= (4)

Daca f :I R R este derivabila pana la ordinul n+1 pe I, iar aII este un punct pentru care:

f ^'(a) = f ^'(a) =.= f ^(n-1)(a) = 0 si f ⁽ⁿ⁾(a) (5)

i)daca n este par T a este punct de extrem local pentru f si anume:

a)daca f ⁽ⁿ⁾(a) > 0 T a este punct de minim local pentru f;

b)daca f ⁽ⁿ⁾(a) < 0 T a este punct de maxim local pentru f;

ii)daca n este impar atunci a nu este punct de extrem local pentru f.

Derivate partiale de ordinul I ale functiilor reale de mai multe variabile

Fie f : D R^k R, k 2, x⁰ = (, , ., )I D un punct fixat in D si x = (x₁, x₂, ., x_k)ID un punct curent. Pentru k 2, notiunea de derivata nu mai poate fi introdusa ca in cazul k = 1.

Derivatele functiilor reale de mai multe variabile reale (derivatele partiale) se introduc cu ajutorul derivatei dupa directia unui versor.

Fie s = (s₁, s₂, ., s_k) I R^k cu ||s|| = 1. Construim o functie g : R R

g(t) = f(x⁰ + ts) = f(x₁⁰ + ts₁, x₂⁰ + ts₂, ., x_k⁰ + ts_k), t I R, astfel incat x⁰ + ts I D si s I R^k. (6)

Deoarece, D R^k si x⁰ I R^k rezulta ca r > 0 astfel incat B_r(x⁰) D si pentru acest r > 0 T functia g din (6) este bine definita pe intervalul (- r, r)

g: (- r, r) R, g(t) = f(x⁰+ts), ( ) t I (- r, r).

Functia f :D R^k R se numeste derivabila in x⁰ID, dupa directia versorului sIR^k daca functia g : (- r, r) R, g(t) = f(x⁰ + ts), t I (- r, r)

este derivabila in t = 0, iar numarul

g ^'(0) = = (7)

se numeste derivata functiei f in punctul x⁰ dupa directia versorului s.

Daca notam x = x⁰ + tsID, t I (- r, r), x⁰ I D, s I R^k vectorul curent, atunci t x x⁰ si (10) devine:

, x - x⁰ = ts. (8)

Fie D R^k, x⁰ID. Functia f :D R^k R se numeste derivabila partial in punctul x⁰ ID in raport cu variabila x_i, i = , daca f este derivabila in punctul x⁰ I D dupa directia versorului unitar e_i = I R^k .

In acest caz, numarul notat:

(x⁰) = (x⁰) =(x⁰), i =

se numeste derivata partiala a functiei f in punctul x⁰, in raport x_i, i = .

Rezulta: (x⁰) =(x⁰) =

si daca notam x_i = x_i⁰ + t, i = , daca t T x_i x_i⁰, i = si deci:

(x⁰) = =(x⁰), i = (9)

Functia f : D R^k R derivabila partial in raport cu variabila x_i in fiecare punct din multimea D se numeste derivabila partial in raport cu variabila x_i, i = pe multimea D.

Functia f se numeste derivabila partial in x⁰ID, daca este derivabila partial in raport cu toate variabilele sale in punctul x⁰.

Daca pentru fiecare i =, consideram functiile partiale f_i : x_i a f(x₁, ., x_k), in care sunt fixate componentele x₁, ., x_i-1, x_i+1,., x_k ale vectorului x=(x₁,.,x_i,., x_k)ID, atunci definitia derivatei partiale a functiei f in raport cu componenta x_i, i =, este aceeasi cu definitia derivatei functiei partiale f_i, functie reala de variabila reala x_i .

Pe baza aceste observatii, regulile de derivare de la functii de variabila reala se aplica si pentru derivatele partiale ale functiilor de mai multe variabile reale, cu mentiunea ca, pentru acestea din urma, atunci cand se calculeaza derivata partiala in raport cu variabila x_i aceste reguli se aplica pentru aceasta variabila x_i si se considera constante celelalte k-1 variabile.

Functia f : D R^k R, k 2, se numeste derivabila partial (de ordinul I) pe multimea D daca este derivabila partial in fiecare punct din D (in raport cu toate componentele vectorului x = (x₁, ., x_k) I D).

Aceasta inseamna ca ( )x = (x₁, ., x_k) I D si ( i = , exista derivatele partiale de ordinul intai (x), i = .

Se pot construi k functii, notate : D R, i = , prin x a (x), x I D, numite functiile derivate partiale de ordinul I ale functiei f .

Daca D R^k, k 2, atunci f:D R se numeste de clasa C¹ pe multimea D (se noteaza fIC¹(D)), daca f este derivabila partial pe multimea D si toate functiile derivate partiale (de ordinul I), ,., :D R, sunt functii continue pe D.

Exemplu. Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul I ale functiei

f(x,y)=.

Derivatele partiale de ordinul I sunt:

; =.

Diferentiala de ordinul I a unei functii reale

Functia f : D R^k R se numeste diferentiabila in x⁰ID daca exista A=(A₁,A₂,.,A_k)IR^k si o functie h:D R cu proprietatea ca: , astfel incat:

f(x) - f(x₀) = <A, x-x₀> + ||x - x₀|| h(x), x I D.  (20)

Functia f se numeste diferentiabila pe multimea D daca este diferentiabila in fiecare punct din multimea D.

Se poate demonstra ca diferentiala unei functii intr-un punct x⁰ID este unica si depinde numai de punct si de functie.

Daca f : D R^k R este diferentiabila in x⁰ I D, atunci:

I) f este continua in x⁰;

II) f este derivabila partial in x⁰ .

Daca f :D R^k R este diferentiabila pe multimea D, atunci f este derivabila partial pe multimea D.

Fie f :D R^k R, x⁰ID. Daca f este derivabila partial pe o vecinatate VIV(x⁰), V D si toate functiile derivate partiale (de ordinul I) ,. sunt continue in x⁰ ID, atunci f este diferentiabila in x⁰ ID.

Orice functie elementara este diferentiabila pe orice deschis din multimea ei de definitie.

Diferentiala functiei f este forma liniara

df(x⁰)(h) = (h₁+ h₂ + . + h_k, h=( h₁, h₂,.,h_n)IR^k

Orice aplicatie liniara L:R^k R este diferentiabila pe R^k si pentru x⁰IR^k, dL(x⁰)=L.

In particular, proiectiile pr_i: R^k R, (x₁,x₂,..,x_k) x_i ,1 i n, sunt diferentiabile si

d pr_i (x⁰)= pr_i, x⁰IR^k

Vom nota diferentialele acestor proiectii cu dx_i , 1 i n.

Daca interpretam, in mod formal, functia derivata partiala, ,( i=) ca un produs intre si f, atunci formula (23) a diferentialei functiei f in x⁰ se scrie:

df(x⁰) = (dx₁ + dx₂ + . + dx_k) f(x⁰). (24)

Exemplu. Sa se stabileasca expresia diferentialei de ordinul I a functiei f definita prin f(x,y)=ln(x²+y²), (x,y) intr-un punct oarecare din domeniul de definitie si in punctul x⁰=(1,2).

; ;

df(x,y)= +; iar df(1,2)=+.

Derivate partiale si diferentiale de ordin superior ale functiilor

Fie f :D R^k R, k 2. Presupunem ca f este derivabila partial pe multimea D si exista : D R, functiile derivate partiale de ordinul I ale functiei f in raport cu toate componenetele x_i, in fiecare x = (x₁, ., x_k)ID.

Daca toate functiile derivate partiale de ordinul I ale functiei f, , ., sunt functii derivabile partial pe multimea D, atunci functiile derivate partiale ale acestora se numesc derivatele partiale de ordinul doi ale functiei f pe D si se noteaza:

= i = , numite functiile derivate partiale de ordinul doi in raport cu x_i de doua ori;

= ;= , i, j = , i j, numite derivatele partiale de ordinul doi mixte ale functiei f in raport cu x_i, x_j si respectiv x_j, x_i.

Recursiv, se definesc derivatele partiale de ordinul n 2 ale functiei f, ca fiind derivatele partiale de ordinul I ale functiilor derivate partiale de ordinul n - 1.

Exemplu.Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul al doilea ale functiei

f(x.y)=3x²y + 5, (x,y)IR², y si sa se verifice teorema lui Scwartz.

; .

Calculam derivatele de ordinul al doilea:

=6y ; =6x -;

=; =6x -.

Fie f:D Rⁿ R , derivabila partial de doua ori in punctul x⁰ID. Matricea H(x⁰)=IM_n(R) se numeste matricea hessiana a functiei f in punctul x⁰.

Exemplu. Sa se scrie Hessiana functiei f:D R² R, f(x,y)=ln in punctul x⁰=(2,1).

Vom calcula derivatele partiale de ordinul I si II ale acestei functii.

; =;;= -1

= ; = 0;

=;;0; 1.

Hessiana in x⁰ este  H(x⁰)==.

Functia f :D R^k R se numeste diferentiabila de ordinul n 2 in x⁰ID daca toate functiile derivate partiale de ordinul n-1 exista intr-o vecinatate VIV(x⁰) si acestea sunt diferentiabile in x⁰.

Daca f :D R^k R este diferentiabila de ordinul n in x⁰I D, atunci derivatele partiale de ordinul n in x⁰ exista si ordinea de derivare pana la ordinul n in x⁰ este indiferenta.

Daca f:D R^k R este derivabila partial de ordinul n intr-o vecinatate VIV(x⁰) si toate functiile derivate partiale de ordinul n sunt continue in x⁰, atunci f este diferentiabila de ordinul n in x⁰.

Diferentiala de ordinul n a functiei f :D R R se defineste recursiv prin egalitatea:

dⁿf(x₀, y₀) = d(d^{n -1}(f))(x₀, y₀) = f(x₀, y₀) undereprezinta puterea simbolica a n-a pentru operatorul de diferentiere.

Exemplu.  d²f(x₀,y₀)=f(x₀,y₀)=

=.

In general, daca f : D R^k R, k 2, este diferentiabila de ordinul n in x⁰ID, atunci diferentiala de ordinul n a functiei f in x⁰ se defineste prin :

dⁿf(x⁰)=f(x⁰) =.

Formula lui Taylor pentru functii de doua variabile

Fie f:D R² R si (a,b) un punct interior din D. Presupunem ca f este de n ori diferentiabila in punctul (a,b), deci exista toate derivatele de ordin n in (a,b) si sunt continue.

Polinomul :

T_n(x,y)=f(a,b)++ ++

+..+

se numeste polinomul Taylor de gradul n atasat functiei f in (a,b).

R_n(x,y)= f(x,y)-T_n(x,y) se numeste restul de ordinul n al formulei lui Taylor.

Restul R_n(x) estimeaza eroarea aproximarii functiei f(x,y) prin polinomul lui Taylor de ordin n, T_n(x,y).

Daca functia f:D R² R este diferentiabila de n+1 ori intr-o vecinatate a punctului interior (a,b)ID, atunci pentru orice punct (x,y) din aceasta vecinatate exista un punct x h) situat pe segmentul cu capetele (x,y) si (a,b), astfel incat

R_n(x,y)= (x h

Formula lui Taylor de ordinul n corespunzatoare lui f se va scrie

f(x,y)=f(a,b)++

+ (x h

Fie f:D R² R o functie care are derivate partiale de ordinul al doilea intr-o vecinatate a punctului (a,b). Atunci exista o functie w(x,y) continua in (a,b) si astfel incat

R₂(x,y)=.

§.3.Extremele functiilor reale de mai multe variabile reale

Multe dintre problemele care apar in practica sunt legate de determinarea valorilor extreme ale unei functii reala ce depinde de mai multe variabile. De exemplu, o functie poate reprezenta volumul productiei, care depinde de mai multe variabile reale este bine sa cunoastem pentru ce valori ale variabilelor volumul productiei este maxim.Valorile maxime sau minime ale unei functii se numesc extremele functiei. Am definit mai sus, notiunea de punct de minim si respectiv maxim local.

Fie f:D R² R si x⁰=(a,b)ID.

Punctele determinate de solutiile reale ale sistemului de ecuatii , se numesc puncte critice sau stationare.

Notam cu a₁₁=, a₁₂= si a₂₂ si putem scrie Hessiana lui f in acest punct H_f(x⁰).

Rezulta ca punctul stationar (a,b) este punct de minim local pentru f daca determinantii D a₁₁ > 0 si D₂>0 si

este punct de maxim local daca D < 0 si D >

Exemplu. Sa se determine punctele de extrem local ale functiei

f(x,y)=3x³+y²-9x²-27x+2.

Vom determina mai intai punctele stationare ale lui f, rezolvand sistemul de ecuatii

.

Exista doua puncte stationare M₁ si M₂(3,0). Pentru a vedea care dintre ele este punct de extrem local pentru f, va trebui sa calculam derivatele de ordinul al doilea ale lui f.

; ; care sunt functii continue pe R².

In punctul M₁ >0, deci nu este extrem.

In punctul M₂(3,0): -72<0 si =36>0, deci M₂ este punct de minim local al functiei f. Valoarea minima a functiei f este f(3,0)= -79.

Fie functia f:D Rⁿ R de n variabile reale, n>

Vom considera a=(a₁,a₂,.,a_n)IA un punct stationar al lui f.   Presupunem ca f admite derivate partiale de ordinul doi continue intr-o vecinatate a acestui punct si le vom nota cu a_ij, i,j.

Hessiana lui f in punctul a este matricea H=(a_ij), ale carei elemente sunt definite mai sus. Notam determinantii principali ai matricei H cu ;

D a₁₁ si D₂ D_n=det H.

Metoda aceasta de studiu a punctelor de extrem local ale unei functii reale de mai multe variabile reale consta in calculul diferentialei de ordinul al doilea a functiei in fiecare punct critic si daca este o forma patratica pozitiv definita atunci punctul critic studiat este minim local ; iar daca este negativ definita atunci este maxim local al functiei respective.

Probleme propuse

Fie functia f:D R² R, f(x,y)=arctg.Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul intai si doi si df(-1,2), df(-1,2)(3,-2); d²f(-1,2);d²f(-1,2)(3,-2).

Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul intai si doi ale functiilor:

a)      f(x,y)=xy+, definita pe multimea A=;

b)      f(x,y)=, definita pe multimea A=R²;

c)      f(x,y,z)=, definita pe multimea A=R³;

d)     f(x,y)=arctg, definita pe multimea A=;

e)      f(x,y)=ln (x+y²), definita pe multimea A=;

f)       f(x,y,z)=+zln(x+y), definita pe multimea A=.

Sa se afle extremele functiilor: f:D R

a)      f(x,y)=xy²e^x-y ;

b)      f(x,y)=xy(x+y-3) ;

c)      f(x,y)=xy+;

d)     f(x,y)=xy ln(x²+y²) ;

e)      f(x,y,z)=x³+y²+z²+12xy+2z ;

f)       f(x,y,z)=x+.

Folosind formula lui Taylor pentru functia f:D R² R f(x,y)=x^y

in jurul punctului (1,1) sa se aproximeze printr-un numar cu 3 zecimale.