Subspatii invariante ale unui endomorfism

Subspatii invariante ale unui endomorfism

Fie E un K - spatiu vectorial.

DEFINITIA 1. Fie F I L (E, E) un endomorfism si E un subspatiu vectorial al lui E. Se spune ca este un subspatiu invariant al lui F (sau fata de F ) daca

I, atunci F () I,

TEOREMA 1. Fie subspatiul / K E / K si o baza a lui.

Subspatiul este invariant fata de F I L (E, E) daca si numai daca F () .

Demonstratie. Daca este invariant fata de F si , atunci

F () = (F (),F (), , F ()) deoarece, conform cu D.1.4.1, pentru orice ,

atunci F () I.

Reciproc, fie arbitrar care, raportat la baza , se scrie

x + x + + x^p _.

F este o transformare liniara

F () = x F () + x F () + + x^p F () ,

adica F () este o combinatie liniara formata din vectorii F () din subspatiul ,

, deci F () I, I .

Observatii 1. (a) Cunoasterea unor subspatii invariante ale unui endomorfism F I L (E, E) permite alegerea unei baze convenabile in care matricea lui F are o forma mai simpla.

(b) Multimea este un subspatiu invariant fata de orice endomorfism F , dar nu prezinta interes deoarece dimensiunea acesteia este zero.

(c) Fie /K E/K, cu dim =1. Orice sistem , cu I , este o baza in . Conform cu T.1.4.1, este invariant fata de F I L (E) daca si numai daca F () I , adica l I K astfel incat F () = l. Vectorii cu aceasta proprietate prezinta un interes deosebit in cele ce urmeaza.