Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice

Acasa » scoala » matematica
Functii reale de mai multe variabile reale. Limite, continuitate, uniform continuitate

Functii reale de mai multe variabile reale. Limite, continuitate, uniform continuitate

Functii reale de mai multe variabile reale. Limite, continuitate, uniform continuitate

1. Definitie. Fie o multime si un punct de acumulare pentru si o functie reala de - variabile reale, . Numarul real este limita functiei in punctul si scriem , daca pentru orice vecinatate exista o vecinatate a.i. .

2. Observatie. (1). Fie si . Atunci si uneori scriem .

Se observa ca in punctul functia nu este neaparat definita si daca este definita atunci in definitia limitei se ia .

Daca se tine seama de definitia vecinatatii unui punct, atunci este limita functiei in punctul daca si numai daca pentru orice vecinatate exista o vecinatate a.i. oricare ar fi si sa avem .

Numarul este limita functiei in punctul daca si numai daca oricare ar fi sirul de puncte din , cu si sa avem .

Limita exista si este finita daca si numai daca astfel incat oricare ar fi , si sa avem .

Limita functiei in punctul este egala cu (respectiv cu ) si scriem , daca si numai daca astfel ca, oricare ar fi , cu sa avem (respectiv ) sau echivalent pentru orice interval exista sfera a.i. oricare ar fi , , sa avem .

3. Propozitie. Fie o multime, si un punct de acumulare pentru si . Presupunem ca functiile si au limite finite in punctul . Atunci

functiile au limita in punctul si avem

daca pentru orice si , atunci functia are limita in si avem

4. Definitie. Fie o multime, si un punct de acumulare pentru , atunci functia este continua in daca si numai daca are limita in punctul .

Altfel spus, functia este continua in punctul daca si numai daca a.i. oricare ar fi cu sa avem .

5. Definitie. Fie o multime, . Functia este uniform continua pe daca si numai daca a.i. pentru orice cu .

Limite iterate

6. Definitie. Fie o multime deschisa si functia , si fie punctul . Daca este punct de acumulare al multimii

atunci putem considera limita functiei ,

ca in cazul unei singure variabile. Aceasta limita este un numar ce depinde de celelalte - variabile reale, diferite de .

Se poate considera limita

care este un numar ce depinde de celelalte - variabile reale, diferite de si . Analog, putem considera limita functiei in raport cu toate variabilele luate pe rand. Aceasta limita este un numar care nu mai depinde de nici una din variabilele . Aceasta limita se numeste limita iterata a functiei .

De exemplu, pentru functiile de doua variabile, , putem scrie limitele iterate

si . (1)

Asadar, pentru o functiie de doua variabile, , putem considera limitele:

si . (2)

Urmatoarea propozitie arata legatura intre limita si limitele iterate:

Propozitie. Fie , . Daca exista limita functiei intr-un punct si limitele iterate in acel punct, atunci ele sunt egale.

Demonstratie. Fara a restrange generalitatea, vom considera cazul functiilor de doua variabile, , . Fie un punct de acumulare pentru . Presupunem ca exista limita si limita iterata si dunt finite. Aratam ca .

Notam cu , proiectia multimii pe axa si presupunem ca este punct de acumulare pentru . Fie oarecare. Atunci, pentru orice , exista limita simpla in raport cu , . Prin ipoteza, functia are limita in si putem scrie . Fie oarecare, dar fixat. Deoarece , atunci exista o vecinatate a.i. sa avem , oricare ar fi , cu . Cum pentru fiecare , fixat, exista , atunci pentru a.i. , prin trecerea la limita in inegalitatea , avem , pentru orice cu .

Asadar, putem scrie , si cum este oarecare, .

8. Observatie. (1). Daca exista numai una din cele trei limite

sau ,

nu rezulta ca si celelalte doua limite exista (este posibil ca numai una sau doua din aceste limite sa existe).

De exemplu, functia definita prin , are limita in punctul ; . Exista limita iterata si este egala cu zero insa limita iterata nu exista.

Solutie. Pentru , putem scrie

, cand ;

si avem , care evident nu exista si ;

Asadar, nu exista, insa .

(2). Functiile definite prin

si respectiv ,

au in origine numai una din cele trei limite.

(3). Daca nu exista limita atunci limitele iterate pot exista si sa fie diferite.

De exemplu, pentru functia definita prin , exista limitele iterate in origine si acestea sunt diferite; si .

(4). Este posibil ca punctul sa fie punct de acumulare pentru insa, multimea proiectia a multimii pe axa , sa nu aiba pe ca punct de acumulare oricare ar fi si, atunci nu are sens . De exemplu, daca este formata dintr-un segment de dreapta paralel cu axa , atunci proiectia pe axa se reduce la un punct.

(5). Exista functii pentru care limita exista uniforma in raport cu , limita exista uniforma in raport cu si avem dar nu exista ; de exemplu, pentru functia definita prin , exista uniforma in raport cu si .

Limite si continuitatea functiilor vectoriale de variabile vectoriale

Fie si un punct de acumulare pentru si fie functiile reale , . Atunci functia vectoriala este definita si complet determinata prin componentele sale reale .

.9. Definitie. Functia are limita in punctul , daca exista cu proprietatea ca

pentru a.i. oricare ar fi cu sa avem .

Este evident ca daca limita exista atunci ea este unica.

In cazul functiilor reale de variabile vectoriale, , limita poate fi si .

10. Definitie. Functia vectoriala este continua in punctul de acumulare daca si numai daca functia are in punctul limita egala cu .

Altfel spus, functia este continua in punctul daca si numai daca a.i. oricare ar fi cu sa avem .

Daca functia este continua in orice punct atunci spunem ca functia este continua pe

11. Propozitie. Functia vectoriala este continua intr-un punct daca si numai daca fiecare din componentele sale reale este functie continua in .

Demonstratie. Deoarece au loc inegalitatile

, ,

atunci aplicand, de exemplu, definitia cu si rezulta ca afirmatia propozitiei este adevarata.

12. Definitie. Functia vectoriala este uniform continua pe daca si numai daca a.i. oricare ar fi cu sa avem .

13. Propozitie. Functia vectoriala este uniform continua pe daca si numai daca fiecare din componentele sale reale este uniform contiua continua pe .

14. Propozitie. Daca functia vectoriala este uniform continua pe atunci este contiua continua pe .

15. Propozitie. Fie o multime compacta. Daca functia vectoriala este continua pe atunci este uniform contiua continua pe .

Demonstratie. Prin ipoteza, multimea este compacta, deci este inchisa si marginita. Presupunem ca nu este uniform continua pe . Atunci, negand definitia uniform continuitatii, putem scrie:

a. i. pentru orice (suficient de mic) in particular, putem alege , , exista sirurile cu proprietatea sa avem .

Deoarece, multimea este marginita atunci sirul este marginit, deci contine un subsir convergent. Fie acesta si . Cum este inchisa si este punct limita pentru multimea termenilor subsirului considerat, deci pentru , rezulta ca . Analog gasim . Din inegalitatile , trecand la limita rexulta ca . Folosind continuitatea lui deducem ca si .

Din evaluarile

deducem ca diferenta , incepand de la un anumit rang, ramane mai mica decat , ceea ce contrazice presupunerea facuta.

Continuitatea partiala a functiilor vectoriale de variabile vectoriale

16. Definitie. Functia vectoriala , este continua partial in raport cu punctul in punctul de acumulare daca si numai daca pentru orice , exista a.i. oricare ar fi cu si sa avem

Propozitie. Daca functia este continua intr-un punct (deci este continua in ansamblul variabilelor), atunci ea este continua in acest punct in raport cu fiecare variabila.

Exemple. (1). Fie si functia , definita prin . Aratati ca .

Solutie. Fie , oarecare, fixat. Daca alegem , atunci pentru si , putem avea (de exemplu, pentru orice ) si atunci deducem

Aratati ca .

Solutie. Fie oarecare. Deoarece , putem alege si pentru avem

in orice vecinatate a punctului , de forma .

Aratati ca functia , nu are limita in punctul .

Solutie. Consideram sirul de puncte , cand . Atunci sirul valorilor , . Alegand un alt sir de puncte, de exemplu, sirul , cand atunci sirul valorilor , . Asadar, observam ca pentru doua siruri diferite, care tind catre punctul , atunci se obtin limite diferite, ceea ce contrazice unicitatea limitei functiei intr-un punct.