Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice

Acasa » scoala » matematica
Legi de compozitie

Legi de compozitie

Lege de compozitie

Definitia produsului cartezian :

Fie o multime nevida ;

- Prin produsul cartezian intelegem multimea tuturor perechilor de elemente

unde : prima componenta este iar cea de-a doua este , cand , adica :

Definitia legii de compozitie :

Fie o multime nevida ;

- Se numeste operatie algebrica binara sau lege de compozitie interna sau simplu lege

de compozitie definita pe o aplicatie :

care asociaza fiecarei perechi unicul element .

- Elementul se numeste compusul lui cu .

Observatii :

La orice pereche (cuplu) = , aceasta operatie face sa corespunda in

mod unic elementul din aceeasi multime .

Uneori in loc de se poate scrie : .

Pentru elementul , numit compusul lui , se

pot folosi diferite notatii :

, , , , , , , , , etc.

Se intelege ca in majoritatea cazurilor aceste denumiri sunt conventionale .

In general pe se pot defini mai multe operatii diferite .

Cand dorim sa punem in evidenta una dintre ele vom utiliza parantezele :

si vom spune ca operatia confera multimii o structura algebrica sau ca

este un sistem algebric .

Definitia legii de compozitie ADITIVA :

- Aplicatia : , cu :

desemneaza o lege de compozitie aditiva .

Definitia legii de compozitie MULTIPLICATIVA :

- Aplicatia : , cu :

desemneaza o lege de compozitie multiplicativa .

Concluzie :

- Fie o multime nevida ;

- Numim lege de compozitie interna ( operatie algebrica ) pe multimea orice functie

definita pe cu valori in :

care asociaza fiecarui cuplu un unic element .

- Elementul se citeste : ( sau ) in aceasta

ordine .

Important :

Fie o multime nevida si legea ;

- Cuplul este un sistem algebric sau vom spune ca operatia confera multimii o structura algebrica

daca si numai daca

pentru aplicatia : ,

avem :

, .

Introducere :

- Fie o structura algebrica ;

- Si o submultime nevida a lui , ;

- Este posibil ca pentru elementul sa fie :

In multimea , adica ;

Sau sa fie in afara ei , adica .

Definitie parte stabila :

- Pentru orice , compusul apartine tot lui , adica , atunci putem spune ca este parte stabila a lui in raport cu operatia .

Concluzie :

- Daca este o parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie

atunci pe putem defini legea de compzitie :

punand :

, .

- Vom spune ca este legea de compozitie pe de catre .

P - Fie o multime finita , ;

P - O lege de compozitie pe , , poate fi data prin ceea ce este

cunoscut sub numele de tabla operatiei , care consta dintr-un tabel cu linii si coloane

afectate celor elemente ale lui .

P - Tabla legii de compozitie contine la intersectia liniei lui cu coloana elementul .

Observatii :

Din tabla unei operatii pe o multime finita putem deduce urmatoarele proprietati :

1). Daca multimea este parte stabila in raport cu legea este o lege de compozitie pe

( constatand ca toate rezultatele compunerilor sunt din ) .

2). - comutativitatea ;

- elementul neutru , (daca exista ) ;

- simetricul fiecarui element , (daca are ) .

Exercitiul nr. 1 : ( Schneider )

Sa se arate in fiecare din urmatoarele cazuri ca multimea este parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie specificata :

1). , , ;

2). , , ;

3). , , ;

4). , , ;

5). , , ;

6). , , ;

7). , , ;

8). , , ;

9). , , ;

10). , , ;

11). , , ;

12). , , inmultirea matricilor ;

13). , , adunarea matricilor ;

14). , , inmultirea numerelor reale .

Exercitiul nr. 2 : ( Mircea Ganga )

Sa se arate ca : este parte stabila a lui ia raport cu operatia de inmultire .

Exercitiul nr. 3 : (Mircea Ganga )

Pe se considera legea de compozitie : .

Sa se arate ca este parte stabila a lui in raport cu legea .

Exercitiul nr. 4 : (Mircea Ganga )

Pe se considera legea .

Sa se arata ca este parte stabila a lui in raport cu legea .

Exercitiul nr. 5 : (Mircea Ganga )

Pe consideram legea de compozitie : . Aratati ca este o parte stabila a lui ia raport cu legea .

Exercitiul nr. 6 : (Mircea Ganga )

Fie . Aratati ca este parte stabila a lui in raport cu operatia de inmultire .

Exercitiul nr. 7 : (Mircea Ganga )

Fie . Sa se arate ca este parte stabila a lui in raport cu operatia de inmultire .

Exercitiul nr. 8 : (Mircea Ganga )

Fie . Aratati ca este parte stabila a lui in raport cu operatia de inmultire a matricilor .

Exercitiul nr. 9 : (Mircea Ganga )

Fie . Aratati ca este parte stabila a lui in raport inmultirea matricilor .

Exercitiul nr. 10 : (Mircea Ganga )

Pe se defineste legea de compozitie prin . Sa se determine astfel incat multimea sa fie parte stabila a lui in raport cu legea .

Exercitiul nr. 11 : (Teste grila admitere Poli )

Multimea valorilor lui , pentru care intervalul este parte stabila in raport cu operatia .

P Vom considera structura algebrica

Adica o multime nevida echipata cu o lege de compozitie :

, .

Definitie ASOCIATIVITATII :

- O lege de compozitie , se numeste asociativa daca :

Observatii Asociativitate :

1). Daca legea este asociativa , atunci se omit in scriere parantezele si se scrie simplu

2). Vom da acelasi nume structurii algebrice definita prin legea , adica vom

spune ca este o structura algebrica asociativa , sau spunem simplu ca legea este asociativa pe

3). Daca este o parte stabila a lui in raport cu legea si daca este

asociativa pe , atunci legea ramane asociativa si pe . Altfel spus devine o

structura algebrica asociativa .

4). O lege nu este asociativa daca exista pentru care :

Exercitiul nr. 1 : ( Schneider )

Sa se arate ca urmatoarele legi de compozitie sunt asociative :

1). pe ;

2). pe ;

3). pe ;

4). pe ;

5). pe ;

6). Inmultirea matricilor pe ;

7). pe ;

8). pe .

Exercitiul nr. 2 : ( Schneider )

Sa se arate ca urmatoarele legi de compozitie nu sunt asociative :

1). pe ;

2). pe ;

3). pe ;

4). pe .

Exercitiul nr. 3 : ( Ganga )

Stabiliti care din urmatoarele aplicatii sunt algebrice asociative pe submultimea :

2).

3). 4).

5). 6).

7). 8). .

Exercitiul nr. 4 : ( Ganga )

Pe se definesc urmatoarele legi de compozitie :

1). 2).

3). 4).

5). 6).

Care din aceste legi este asociativa ?

Exercitiul nr. 5 : ( Ganga )

Fie .

Aratati ca :

1). este parte stabile a lui in raport cu inmultirea matricilor .

2). este structura algebrica asociativa .

Exercitiul nr. 6 : ( Ganga )

Pe se considera legea de compozitie : , . Sa se determine

astfel incat legea sa fie asociativa .

Exercitiul nr. 7 : ( Ganga )

Pe se considera legea de compozitie : , . Determinati astfel incat legea sa fie asociativa .

Exercitiul nr. 8 : ( Ganga )

Pe definim legile de compozitie :

, ,

Determinati astfel incat operatiile sa fie asociative .

P Vom considera structura algebrica

adica o multime nevida echipata cu o lege de compozitie :

, .

Definitie COMUTATIVITATE :

- O lege de compozitie , se numeste comutativa daca :

Observatii Comutativitate :

1). Daca pentru structura algebrica definita prin avem ca este

comutativa , atunci structura algebrica este comutativa sau simplu spunem ca este

comutativa pe .

2). Daca este o parte stabila a lui in raport cu legea si daca este

comutativa pe , atunci legea ramane comutatuva si pe . Altfel spus

devine o structura algebrica comutativa .

4). O lege nu este comutativa daca exista astfel incat :

Exercitiul nr. 1 : ( Schneider )

Sa se arate ca urmatoarele legi de compozitie sunt comutative :

1). pe ;

2). pe ;

3). pe ;

4). pe .

Exercitiul nr. 2 : ( Schneider )

Sa se arate ca urmatoarele legi de compozitie nu sunt comutative :

1). Inmultirea matricilor pe multimea :

;

2). Inmultirea matricilor pe multimea :

;

3). pe ;

4). pe .

Exercitiul nr. 3 : ( Ganga )

Fie si pe legea de compozitie :

Aratati ca este structura necomutativa .

Exercitiul nr. 4 : ( Ganga )

Pe se considera legea de compozitie : . Fie . Aratati ca este o structura algebrica comutativa .

Exercitiul nr. 5 : ( Ganga )

Fie . Aratati ca este structura algebrica comutativa , unde este inmultirea obisnuita a matricilor .

Exercitiul nr. 6 : ( Ganga )

Fie si aplicatia . Sa se arate ca este o

structura algebrica comutativa .

Exercitiul nr. 7 : ( Ganga )

Pe se defineste legea de compozitie : . Aratati ca este o lege necomutativa .

Exercitiul nr. 8 : ( Ganga )

Pe multimea se considera aplicatia : . Aratati ca este structura algebrica comutativa .

Exercitiul nr. 9 : ( Ganga )

Pe multimea se considera aplicatia : . Demonstrati ca este structura algebrica comutativa .

Exercitiul nr. 10 : ( Ganga )

Se considera . Demonstrati ca structura algebrica este structura algebrica comutativa , unde este inmultirea obisnuita a matricilor .

Exercitiul nr. 11 : ( Ganga )

Fie . Aratati ca este structura algebrica comutativa .

Exercitiul nr. 12 : ( Ganga )

Se considera si aplicatia . Sa se arate ca este o

structura algebrica comutativa .

Exercitiul nr. 13 : ( Ganga )

Pe se defineste legea de compozitie definita prin : , .

Determinati pentru care legea este asociativa si comutativa .

P Vom considera structura algebrica

adica o multime nevida echipata cu o lege de compozitie :

, .

Definitie ELEMENT NEUTRU :

Un element se numeste element neutru pentru o lege de compozitie

, daca :

Teorema :

- Daca o lege de compozitie admite element neutru , atunci acesta este unic .

Observatii Element neutru :

1). Daca este o parte stabila a lui in raport cu legea si daca este

element neutru pentru legea , atunci daca . acesta ete element neutru al legii

induse de pe multimea .

Definitie ELEMENT NEUTRU la stanga :

Un element se numeste element neutru la stanga pentru o lege de compozitie :

, , daca :

, .

Definitie ELEMENT NEUTRU la dreapta :

Un element se numeste element neutru la dreapta pentru o lege de compozitie :

, , daca :

Important :

- Daca un element este element neutru pentru legea daca si numai daca

este element neutru atat la stanga cat si la dreapta .

Exercitiul nr. 1 : ( Ganga )

Pe multimea definim aplicatia : .

Sa se arate ca este o lege de compozitie pe . cu element neutru .

Exercitiul nr. 2 : ( Ganga )

Pe multimea se considera aplicatia : . Aratati ca este o structura algebrica fara element neutru .

Exercitiul nr. 3 : ( Ganga )

Pe multimea definim aplicatia : .

Aratati ca este o structura algebrica avand elementul neutru .

Exercitiul nr. 4 : ( Ganga )

Fie o submultime a lui . Definim pe legea de compozitie :

Aratati ca este o structura algebrica cu elementul neutru .

Exercitiul nr. 5 : ( Schneider )

Sa se calculeze elementul neutru fata de legea :

a). pe ;

b). pe ;

c). pe ;

d). pe

e). pe .

Exercitiul nr. 6 : ( Schneider )

Sa se arate ca nu exista element neutru fata de legea :

a). pe ;

b). pe .

P Vom considera structura algebrica

adica o multime nevida echipata cu o lege de compozitie :

, .

P Vom presupune in plus ca aceasta lege de compozitie este asociativa si ca admite element neutru , fie acesta .

Definitie ELEMENT SIMETRIZABIL :

Un element se numeste simetrizabil in raport cu o lege de compozitie

, , asociativa si cu element neutru , daca exista un element :

astfel incat ,

Observatii Element Simetrizabil :

1). Daca este simetrizabil , atunci unicul element cu proprietatea :

se numeste simetricul lui ( in raport cu operatia ) .

2). Facem precizarea si in acest caz ca simetricul lui , elementul trebuie sa

apartina multimii .

Definitie ELEMENT SIMETRIC la stanga :

- Fie o operatie algebrica avand element neutru la stanga si .

Spunem ca este un simetric al lui la stanga in raport cu legea daca :

Se mai spune ca este simetrizabil la stanga in raport cu daca exista

pentru care :

Definitie ELEMENT SIMETRIC la dreapta :

- Fie o operatie algebrica avand element neutru la stanga si .

Spunem ca este un simetric al lui la dreapta in raport cu legea daca :

- Se mai spune ca este simetrizabil la dreapta in raport cu daca exista pentru care :

TEOREMA :

- Fie o operatie algebrica asociativa si cu element neutru . Daca are un element simetric , atunci acesta este unic .

TEOREMA :

- Fie o operatie algebrica asociativa si cu element neutru . Atunci :

1). Daca elementele sunt simetrizabile , atunci compusul lui cu este simetrizabil si mai mult :

2). Daca elemntul este simetrizabil , simetricul sau , , este de asemenea

simetrizabil si :

3). Daca este simetrizabil , iar nu este simetrizabil , atunci :

nu sunt simetrizabile .

Exercitiul nr. 1 : ( Schneider )

Sa se studieze simetrizabilitatea elementelor urmatoarelor multimi in raport cu legile de compozitie specificate :

a). ; ;

b). ; ;

c). ; ;

d). ; ;

e). ; ;

f). ; ;

g). ; .

Exercitiul nr. 2 : ( Ganga )

Pe multimea definim aplicatia : .

Sa se arate ca este o lege de compozitie pe . cu element neutru . Determinati

elementele simetrizabile din in raport cu legea .

Exercitiul nr. 3 : ( Ganga )

Pe multimea definim aplicatia : .

Aratati ca este o structura algebrica avand elementul neutru . Determinati

elementele simetrizabile din in raport cu legea .

P Fie un numar intreg ;

P Daca am definit :

Definitie Suma modulo n :

- Definim suma modulo a lui cu , notata cu : ca fiind restul impartirii prin al numarului :

Definitie Produsul modulo n :

- Definim produsul modulo a lui cu , notata cu : ca fiind restul impartirii prin al numarului :

P S-au obtinut astfel doua legi de compozitie pe :

1). ,

2). ,

numite adunarea modulo , respectiv inmultirea modulo .

Observatii :

1). Vom nota cu multimea claselor modulo :

Exemplu : sau etc.

Lema :

- Fie ;

- Atunci oricare ar fi avem : 1).

2). .

TEOREMA :

Operatiile de adunare si inmultire modulo au proprietatile :

1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5).

oricare ar fi .

Observatii :

Operatia " " are prioritate fata de " " si de aceea intr-o expresie ca :

parantezele pot fi omise , scriind simplu :

Exercitiul nr. 1 : ( Manual )

Sa se alcatuiasca tablele operatiilor induse pe , , , , , de adunarea si inmultirea modulo .

Exercitiul nr. 2 : ( Manual )

Pe definim legea de compozitie , , unde :

. Aratati ca aceasta lege de compozitie este asociativa , comutativa si cu element neutru . Intervalul este parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie ?

Exercitiul nr. 3 : ( Manual )

Pe definim legea de compozitie . Fie . Aratati ca este o structura algebrica comutativa , cu element neutru si ca orice element din este simetrizabil in raport cu legea .

Exercitiul nr. 4 : ( Manual )

Fie si aplicatia : . Aratati ca este o structura algebrica asociativa , comutativa , cu element neutru si orice element din este simetrizabil in raport cu .

Exercitiul nr. 5 : ( Manual )

Se considera si aplicatia : . Aratati ca este o

structura algebrica asociativa , comutativa , cu element neutru si ca orice element din

este simetrizabil in raport cu legea data .

Exercitiul nr. 6 : ( Manual )

Fie si aplicatia : . Aratati ca este o

structura algebrica asociativa , comutativa , cu element neutru si ca orice element din

este simetrizabil in raport cu legea data .

Exercitiul nr. 7 : ( Manual )

Gasiti toate solutiile din ale sistemului de ecuatii liniare :

Exercitiul nr. 8 : ( Manual )

Pe definim legea de compozitie , , unde :

. Aratati ca aceasta lege de compozitie este asociativa , comutativa si cu element neutru . Sa se determine elementele simetrizabile .

Exercitiul nr. 9 : ( Nastasescu )

Pe multimea a numerelor reale definim legea de compozitie astfel :

, oricare ar fi . Sa se arate ca aceasta lege de compozitie este asociativa , comutativa si cu element neutru . Sa se determine elementele simetrizabile .