UTILIZAREA MATEMATICII CA INSTRUMENT DE LUCRU LA ELABORAREA MODELELOR IN VEDEREA FUNDAMENTARII METODELOR DE ANALIZA SI EVALUARE A RISCURIULOR PROFESIONALE

UTILIZAREA MATEMATICII CA INSTRUMENT DE LUCRU LA ELABORAREA MODELELOR IN VEDEREA FUNDAMENTARII METODELOR DE ANALIZA SI EVALUARE A RISCURIULOR PROFESIONALE

1. Notiuni de matematica fuzzy

Teoria spatiilor fuzzy este de data relativ recenta si conceptul de "multimi fuzzy" (multimi vagi, imprecise) a fost introdus in 1965 de L. A. Zadeh (Univ. Berkley California SUA) pentru a defini o clasa de fenomene descrise imprecis sau vag.

Spre deosebire de teoria probabilitatilor si statistica matematica care se ocupa cu studiul incertitudinii aleatoare obiective, multimile fuzzy sunt generate de incertitudinea aleatoare subiectiva, care opereaza cu notiuni imprecise ca nuante ce descriu starea unui sistem.

Fenomenul aleator la multimile fuzzy, rezulta din nesiguranta in ceea ce priveste apartenenta sau neapartenenta unui obiect sau eveniment la o clasa, in timp ce la fenomenele fuzzy exista "grade de apartenenta" intre apartenenta completa si nonapartenenta.

In teoria si aplicatiile multimilor fuzzy mai sunt intalnite si definite alte tipuri de relatii de tip grad de apartenenta, dintre un element si multimea din care face parte, cum ar fi: "gradul de atractivitate", "gradul de utilitate", "gradul de importanta".

In general matematica fuzzy este o disciplina legata de stiintele despre om si mediul sau si constituie un pas important ca metoda, de abordare a subiectivismului in cunoasterea noastra si in aprecierea interdependentelor cu mediul.

Numim multime FUZZY (vaga), o multime de elemente X caracterizate printr-o proprietate A si unde un element oarecare x I X, are un anumit grad de apartenenta la proprietatea A.

Folosind un limbaj imprecis, putem spune ca, pentru o multime fuzzy (vaga), nu exista o tranzitie de la apartenenta la nonapartenenta unui element la o proprietate.

Modelul teoriei multimilor vagi este gasit in logica continua, spre deosebire de teoriile clasice care au drept model logica bivalenta.

Daca m_A (x) reprezinta functia ce exprima gradul de apartenenta la proprietatea A si poate fi apreciata cu valori x I 0 si 1 , atunci perechile de valori aflate in corespondenta bijectiva, reprezinta o multime fuzzy, iar functia de apartenenta poate fi definita matematic printr-o functie algebrica, formula sau algoritm.

Deci :

m_A(x) = 1 x I A (1)

m_A(x) = 0 x A (2)

Exemplu Fie multimea nuantelor de gri (ca un amestec de alb cu negru), o proprietate, iar multimea obiectelor gri o multime de elemente, fiecarui obiect x din aceasta multime, i se poate asocia un anumit "grad de negru" sau "grad de gri" ca o functie de apartenenta la proprietatea multimii respective.

Aceasta asociere se poate face subiectiv, in functie de gradul de percepere a nuantelor de gri de catre un subiect, si poate fi exprimata individual printr-o valoare cuprinsa intre 0 si 1, unde valoarea 1 defineste negrul absolut si 0 defineste lipsa negrului sau albul absolut.

Se supune in acest caz ca multimea obiectelor gri si multimea valorilor atribuite nuantelor, reprezinta un set fuzzy

Tabel nr. 1

In principiu daca apreciem limbajul ca sursa de informatii, orice afirmatie cu caracter imprecis (in sens clasic) se poate asocia cu o multime fuzzy.

Este convenabil sa se opereze cu multimi fuzzy normale, care au proprietatea:

max_x m_A(x) = 1, x I A (3)

Daca aceasta conditie nu poate fi satisfacuta, atunci se normalizeaza gradele de apartenenta prin raportarea fiecarui grad de apartenenta m_A(x) la max_x m_A (x).

Operatiile uzuale din teoria clasica a multimilor (reuniune, intersectie, imagine, complementarietate, produs algebric etc.) se pot reface in cazul multimilor fuzzy, cu termenii functiilor de apartenenta.

Relatii intre multimile vagi

(1) Egalitatea in sens nevag a doua multimi vagi - Doua multimi vagi A si B sunt egale daca:

m_A(x) = m_B(x) (4)

(2) Egalitatea in sens vag a doua multimi vagi - Doua multimi vagi sunt egale daca este satisfacuta relatia:

m_A(x) - m_B(x) e ) x I E (5)

unde:

e - reprezinta o abatere admisibila din punct de vedere practic.

E - reprezinta o proprietate comuna multimilor A si B.

(3) Incluziunea nevaga a doua multimi vagi o multime vaga A este inclusa intr-o multime B, daca A B, daca:

m_A(x) m_B(x), ( ) x I E (6)

(4) Incluziunea vaga a doua multimi vagi o multime vaga A este inclusa in sens vag intr-o multime B, daca este satisfacuta relatia:

m_A(x) < m_B(x), ( ) x I E (7)

(5) Multime complementara a unei multimi vagi - o multime A* este complementara lui A, daca este satisfacuta relatia :

m_A*(x) = 1 - m_A(x) (8)

(6) Intersectia in sens nevag a doua multimi vagi intersectia nevaga a doua multimi vagi A B, este o submultime C inclusa in sens nevag in A si B la care gradul de apartenenta al unui element x este egal cu gradul de apartenenta maxim posibil.

Sunt satisfacute restrictiile:

A B = C

m_C(x) m_A(x)

m_C(x) m_B(x)

m_C(x) m_{A B}(x) = min m_A(x), m_B(x) (8)

(7) Intersectia in sens vag a doua multimi vagi intersectia vaga a doua multimi vagi A si B, este o submultime inclusa in sens vag in cele doua, la care un element are gradul de apartenenta egal, cu gradul de apartenenta in sens vag maxim.

m_C(x) m_{A B}(x) min m_A(x), m_B(x) (9)

(8) Reuniunea nevaga a doua multimi vagi - Reuniunea nevaga a doua multimi A si B vagi, este o multime M care prezinta sau proprietatea descrisa de multimea A sau proprietatea descrisa de multimea B, si unde gradul de apartenenta al unui element x este egal cu cel mai mic grad de apartenenta posibil.

m_M(x) = m_{A B}(x) = max m_A(x), m_B(x)] (10)

(9) Reuniunea vaga a doua multimi vagi - Reuniunea vaga a doua multimi vagi este o multime M, care prezinta sau o parte din proprietatea multimii A sau o parte din proprietatea multimii B , si unde un element x are un grad de apartenenta egal cu cel mai mic grad de apartenenta posibil.

m_m (x) = m_{a b} (x) max m_A(x), m_B(x)], deci

m_{A B}(x) - max m_A(x), m_B(x) e (11)

unde:

e - este o abatere acceptabila.

(10) Produsul algebric nevag a doua multimi vagi - Produsul algebric nevag AxB , a doua multimi vagi A si B , este o multime vaga a carei caracteristici provin din produsul caracteristicilor multimilor A si B, iar gradul de apartenenta al unui element x la aceasta multime este definit de relatia:

m_{A B}(x) = m_A(x) m_B(x) (12)

(11) Produsul algebric vag a doua multimi vagi - Produsul algebric nevag AxB, a doua multimi vagi A si B, este o multime vaga a carei caracteristici provin din produsul caracteristicilor multimilor A si B, iar gradul de apartenenta al unui element x la aceasta multime este definit de relatia:

m_{A B}(x) m_A(x) m_B(x) (13)

(12) Suma algebrica nevaga a doua multimi vagi - Suma algebrica A+B a doua multimi vagi A si B, este o multime vaga a carei grade de apartenenta satisfac relatia:

m_A+B(x) = m_A(x) + m_B(x) - m_A(x) m_B(x) (14)

Suma algebrica vaga a doua multimi vagi - Suma algebrica A+B a doua multimi vagi A si B, este o multime vaga a carei grade de apartenenta satisfac relatia:

m_A+B(x) m_A(x) + m_B(x) - m_A(x) m_B(x) (15)

Operatiile cu multimi fuzzy (vagi) pot fi combinate si cu operatii cu multimi nevagi, cu algebre Boolene, cu remarca: de a fi pastrat sensul conceptual al rezultatului;

VAG cu VAG = VAG, NEVAG cu VAG = VAG (16)

In concluzie, o multime fuzzy poate fi precis definita daca fiecarui element x i se asociaza o functie de apartenenta m_A(x) la o proprietate ce caracterizeaza multimea , care are valori cuprinse intre 0 si 1 si care reprezinta gradul sau de apartenenta la acea proprietate.

Preocuparile teoretice si practice s-au concentrat pentru definirea gradului de apartenenta, astfel:

Gradul de apartenenta poate fi definit:

- cu ajutorul unor formule matematice

- printr-un tabel de valori

- printr-un algoritm recursiv

- prin functii de alte functii de apartenenta etc.

In functie de modul de aplicare al teoriilor matematicii fuzzy, functiile care reprezinta gradul de apartenenta au fost alese in concordanta cu o proprietate a sistemului analizat, de exemplu:

Pentru probleme de risc literatura de specialitate propune o functie exponentiala de tipul:

EXP(-x) sau e^(-x) (17)

Pentru probleme de repartitie se utilizeaza functii lineare crescatoare sau descrescatoare sau algoritmi recursivi de programare dinamica

Sisteme informationale si decizii de tip fuzzy

Abordarea sistemica a problemelor complexe este o metoda utilizata pentru atingerea unor parametrii sau scopuri dorite si se realizeaza in principal prin doua metode: analiza (cand este necesar sa se prevada comportarea unui sistem specificat) si sinteza (cand este necesar sa se construiasca un sistem cu o comportare specificata).

In cazul real sistemele sunt insuficient de bine definite, sau au o structura complexa, cand este dificil sa se faca o analiza precisa, acesta este cazul sistemelor din stiintele economice, stiintele sociale, sau denumite in general 'soft sciences'.

Motivul ineficientei metodelor matematice clasice, in analiza si sinteza sistemelor de 'soft sciences' este legat de nereusita in a manevra conceptele imprecise, vagi, care apar din lipsa de tranzitie clara de la apartenenta la o anumita clasa, la nonapartenenta la aceeasi clasa.

Imprecizia este legata de complexitatea sistemului, care atunci cand depaseste un anumit prag, nu se mai pot face afirmatii precise despre comportarea acestuia.

Spre exemplificare in legatura cu preocuparile din cadrul tezei: sistemul de munca si legat de acesta sistemul securitatii si sanatatii in munca, este un sistem de tip 'soft science', complex, care din punct de vedere conceptual are toate caracteristicile unui sistem fuzzy, imprecizia fiind prezenta datorita imposibilitatii modelarii lui astfel incat sa poata fi caracterizat pentru toate starile interne.

In concluzie un proces de decizie fuzzy, tine seama de multimea scopurilor, multimea restrictiilor si multimea alternativelor (variantelor), care pot fi de natura fuzzy sau nonfuzzy, la care se asociaza un criteriu de optim, pentru alegerea variantei preferate

In cazul existentei mai multor criterii de optim se poate stabili gradul de apartenenta al variantelor analizate la fiecare criteriu de optim luat independent si in final se alege varianta cu gradul de apartenenta maxim la valorile de optim.

Particularizand demersul teoretic, la problemele de analiza si evaluare a riscului, este usor de imaginat situatia in care sunt necunoscute precis starea de securitatea muncii, cat si probabilitatea de aparitie a situatiilor de risc, iar in acest caz se disting trei categorii de parametrii care intervin la procesul de decizie, si anume:

parametrii cunoscuti

parametrii necunoscuti

parametrii imprecisi (cu valori intr-un anumit interval).

Procesul de luare a unei decizii in aceasta situatie, care este mai aproape de realitatea practica, este un proces subiectiv, iar alegerea variantelor optime de decizie se face cu ajutorul unor criterii subiective.

Fazele tipice ale algoritmului de modelare fuzzy sunt urmatoarele:

Descrierea bazei euristice a problemei

Alegerea variabilelor de intrare-iesire

Stabilirea multimilor fuzzy si a valorilor lingvistice asociate acestora

Intocmirea bazelor de reguli pentru inferente fuzzy

Stabilirea procedeelor de fuzificare, realizarea interferentelor logice si de defuzificare a iesirilor

Baza de reguli pentru inferente Fuzzy (Baza de Reguli Fuzzy-BRF) se deduce din datele privind punctele de functionare ale sistemului analizat. Aceste date sunt accesibile prin monitorizarea sistemului existent in functiune, a unuia similar sau pe baza unui model analitic. Sistemele fuzzy prezinta o stransa interdependenta intre functiile de apartenenta ale variabilelor din sistem si BRF. In esenta, regulile fuzzy se definesc in functie de gradul de suprapunere a domeniilor fuzzy intrare-iesire peste campul punctelor de functionare a sistemului. Prin urmare, o BRF se construieste prin punerea in legatura (corelare) logica a marimilor fuzzy asociate variabilelor de iesire, cu multimile fuzzy ale variabilelor de intrare.

Sistemele fuzzy prelucreaza informatia dupa o filozofie proprie, care in principial se desfasoara conform fluxului urmator:

T (fuzificare) T (inferente) T T (compunere) T (defuzificare) T (18)

Fiecare veriga a lantului de prelucrare poate fi realizata prin diferite tehnici si procedee. Unele metode dau rezultate mai bune decat altele, fapt confirmat in aplicatii, calitatea rezultatelor fiind in functie de experienta si flerul cercetatorului.

Caracterul fuzzy al evaluarilor si al valorilor utilizate

Criteriile si metodele de evaluare s-au dezvoltat in paralel cu conceptia generala despre risc si securitate in munca, precum si cu teoriile privind geneza accidentelor de munca si a bolilor profesionale.

Caracteristica generala comuna a metodelor de evaluare sau estimare a securitatii in munca, indiferent de momentul in care se face evaluarea (preaccident sau postaccident), este aceea ca se scoate in evidenta ca o modalitate de apreciere a situatiei, aspectul calitativ si mai difuz cel cantitativ.

Din punct de vedere al modului de exprimare a rezultatului final, neexistand o unitate de masura cantitativa a securitatii in munca, metodele de evaluare dau o apreciere bazata pe nuante, deci un caracter vag, imprecis (fuzzy), ca mod de cuantificare a nivelului de risc / securitatea muncii.

Din punct de vedere al naturii datelor si informatiilor, care intra intr-o metoda de evaluare, se pune in evidenta o inconsecventa matematica privind modul de tratare a acestor variabile, prezentata in tabelul 2.

Tabel nr. 2

Modul de tratare matematica al tipului de informatii

Variabilele care apar in tabelul 6 constituie datele de intrare, (lNPUT) pentru procesul de evaluare si procesul de decizie, iar problemele care apar sunt cele de agregare si tratare matematica in functie de obiectivul si restrictiile impuse deciziei.

Daca se trateaza ca exemplu procesul de evaluare a riscului securitatii in munca, din punct de vedere sistematic, se disting urmatoarele etape prezentate in figura 1.

			METODA DE EVALUARE

INPUT OUTPUT

Fig. 1 Procesul de evaluare a riscului/securitatii in munca

Din analiza modelului prezentat in figura 10 - rezulta ca oricat de riguroasa ar fi metoda de evaluare a riscului/securitatii in munca, datele de intrare in ansamblul lor au un caracter predominant subiectiv, fiind apreciate, colectate si introduse in sistem de catre om, iar decizia finala este pur subiectiva, ea apartinand omului, deci caracterul subiectiv predomina, iar imprecizia ca incertitudine subiectiva, determina caracterul vag (fuzzy) al acestor evaluari.

In general tipurile de informatii si de variabile utilizate in analiza si evaluarea riscului, se pot incadra in urmatoarele categorii:

EXACTE - rezultat al masurarii unor parametrii sau caracteristici fizico-chimice, (CERTITUDINE)

PROBABIEISTICE - rezultate din statistica datelor exacte sau prin estimarea unor situatii prin probabilitati, (INCERTITUDINE)

FUZZY - prin cuantificarea subiectivismului uman (IMPRECIZIE)

HIBRIDE - prin combinarea tipurilor de mai sus

Exista metode care dau posibilitatea ca tipurile de informatii si de variabile, utilizate la o evaluare, sa fie prelucrate intr-un model matematic sau cu o metoda de evaluare, sansa succesului unor astfel de prelucrari fiind prezentata in tabelul

Tabel nr.3

Succesul prelucrarii datelor de diferite proveniente

Din studiul datelor prezentate in tabelul 3 se remarca posibilitatea combinarii variabilelor hibride, cu cele exacte, probabilistice sau fuzzy, care intr-un model matematic adecvat, ales corespunzator tipului de variabile, pot fi apoi prelucrate si interpretate.

In general metodele de evaluare folosite in analiza de risc, fie ca evaluarea se face direct sau indirect, nu utilizeza decat modele matematice de tip statistic si algebric pentru selectarea datelor si agregarea lor.

Metodele bazate pe teoria fiabilitatii sunt acele care utilizeaza instrumente matematice specifice, cum ar fi: programarea liniara, teoria grafurilor s.a., dar nici acestea nu lucreaza cu date de natura hibrida sau fuzzy.

Orice problema de evaluare prezinta un set de rezultate, care implica abordarea unei conduite decizionale, deci este necesara adoptarea unei decizii.

Figura 2 prezinta posibilitatile de adoptare a unei decizii, tinand cont de tipul de date prelucrate si de tipul de obiective, de restrictiile specifice problemei de rezolvat.

Pentru exemplificarea caracterului evaluarilor utilizate in analiza de risc, se observa ca datorita datelor de intrare introduse in model, cu un caracter care este predominant fuzzy, conditiile in care se adopta o decizie in acest domeniu sunt cele de incertitudine vaga sau fuzzy (imprecizie).

De ce metode de evaluare cu variabile fuzzy ?

Daca la utilizarea practica a unei metode de analiza si evaluare a riscului intr-un sistem de munca, aportul evaluarilor si al grupului de decizie finala, introduc in metoda imprecizia ca o manifestare a incertitudinii, atunci se impune cuantificarea si tratarea matematica unitara a subiectivismului uman.

Fig. 2 Conditii pentru adoptarea unor decizii

Matematica fuzzy ofera instrumentul care face posibila cuantificarea incertitudinii subiective, utilizand un set de posibilitati de cuantificare vagi, care sa exprime gradul de imprecizie.

Figura 3 prezinta o modalitate de tratare matematica si de masurare a impreciziei, de asemenea fiind prezentate de asemenea si posibilitatile de cuantificare fuzzy, utilizand niste functii de apartenenta, denumite gradul de apartenenta la o proprietate, gradul de importanta, gradul de atractivitate, ca un set de caracteristici ce pot fi evaluate si apreciate de catre subiectul uman. Continutul acestui set de caracteristici nu este strict delimitat, el depinde de experienta, cunostintele profesionale, modul de perceptie a realitatii inconjuratoare, astfel incat fiecare subiect uman are o alta parere.

Fig.3 Cuantificarea gradului de incertitudine subiectiva (imprecizie)

Din analiza mai atenta a figurii 3 se mai pot desprinde urmatoarele aspecte:

• Incertitudinea subiectiva, exprimata prin gradul de apartenenta la o proprietate a sistemului, poate fi tratata matematic
• Procedeele de tratare matematica sunt diferite in functie de scopul urmarit, astfel:

operatorii de compunere se utilizeaza la probleme de agregare directa a datelor imprecise sau in cadrul unor modele matematice, si pot fi formule matematice sau functii;

algoritmii matematici se utilizeaza la modelarea unor fenomene cu caracter imprecis, datorat necunoasterii efectelor cu influenta asupra datelor finale.

In situatia unor probleme care utilizeaza 'patternuri' sau puncte de identificare, care pot fi apreciate subiectiv prin valori imprecise (fuzzy), pentru obtinerea formei si caracterului unei suprafete compusa dintr-o multime de puncte de identificare, se utilizeaza integrala fuzzy

Orice model matematic care utilizeaza date imprecise, duce la un rezultat care este definit ca masura impreciziei

2. Elemente probabilistice de baza utilizate in securitatea sistemelor

In securitatea sistemelor, probabilitatile sunt utilizate pentru a evalua riscurile direct asociate unui pericol identificat si riscurile reziduale rezultate in urma aplicarii unei actiuni de diminuare a riscului. Desi aceste probabilitati sunt in general punctuale, evaluarea lor necesita cunoasterea, totala sau in parte, a distributiei de probabilitate din care au rezultat.

Dupa natura variabilei aleatoare - discreta sau continua - care intervine in modelarea fenomenului periculos sau a actiunii de diminuare a riscului, se va avea de-a face cu distributii de probabilitate discrete sau continue.

Legea de probabilitate a unei variabile aleatoare X este definita global prin densitatea sa sau prin functia de repartitie notate respectiv f(x) sau F(x) astfel ca:

Pr(X = x) = f (x)dx (19)

(20)

unde x este o valoare data a variabilei aleatorii X, numita de asemenea realizare sau quantila de X care apartine intervalului D de definire a lui X.

In acest sens:

- F (x) este numita functie de repartitie la nedepasire

- Functia complementara la 1 notata G(x) =1 - F(x) = Pr (X>x) este numita functie de repartitie la depasire.

Statisticile de ordine

Fie un esantion de n observatii independente (x₁,x₂,,x_n), corespunzatoare celor n realizari ale variabilei aleatoare X reprezentand un parametru de risc.

Pentru un numar infinit de esantioane de aceeasi dimensiune n, cu valorile de observatii ordonate crescator, valorile de rang i au o distributie statistica a quantilei x_i care este a priori functie de marimea esantionului si se numeste functie de repartitie empirica a quantilei x_i, utilizata pentru ajustarea esantionului la o lege de probabilitate teoretica a priori si reciproc.

Legea de probabilitate a quantilei de un anumit ordin

Fie o valoare x a variabilei aleatoare, astfel incat in codul de esantion sa existe:

(i-1) valori independente, inferioare lui x (evenimentul E₁)

(n-i) valori independente superioare lui x (evenimentul E₂)

1 valoare x_i cuprinsa in intervalul [x-dx, x+dx], unde dx este infinit de mic (evenimentul E₃)

Plecand de la aceste consideratii, vom determina legea de distributie a quantilei de ordin (rang) i din intervalul [x-dx, x+dx].

Consideram urmatoarele ipoteze:

cele n realizari independente x_i ale variabilei aleatoare x sunt echivalente cu o realizare x_i de n variabile aleatoare X₁

a priori, cele n realizari x_i sunt echiprobabile, altfel spus, functia de repartitie a priori F_i corespunzatoare fiecarei variabile aleatoare independente X_i este o lege continua si uniforma pe intervalul [01] notata cu F

Pentru n si i fixate, evenimentele E₁, E₂ si E₃ precizate anterior sunt bine identificate iar probabilitatile lor P₁, P₂ si P₃ sunt usor calculabile.

Intr-adevar:

P₁ = P_r (E₁) = P_r (X<x) = P_r ( ∩(X_j<x)) 

j = 1,i-1