Lungimea arcelor de meridian si paralel ale elipsoidului

Latitudinile si longitudinile geodezice B si L se definesc la fel, cu deosebirea ca se definesc pe elipsoid si nu pe geoid. Astfel, latitudinea geodezica B a unui punct se defineste ca fiind unghiul format de perpendiculara la elipsoid, in punctul respectiv, cu planul ecuatorului.

In literatura mai veche si chiar si azi unii autori noteaza cu si marimile pe elipsoid.

Coordonatele astronomice si cele geodezice difera foarte putin intre ele ; adeseori sunt egale. Diferenta se numeste deviatia verticalei.

Intre coordonatele geografice si cele plane (x, y) exista o corespondenta matematica precisa.

O determinare completa a pozitiei punctelor de pe suprafata terestra necesita cunoasterea si a cotelor punctelor adica a inaltimii lor fata de suprafata de echilibru a geoidului.

Variatia razei de curbura

Lungimea arcelor de meridian si paralel ale elipsoidului

Lungimea arcului de meridian se obtine cu ajutorul relatiei :

unde :

- B₁ si B₂ sunt latitudinile punctelor extreme ale arcului.

Pentru arcele de median cu o lungime mai mica de 45 km se poate utiliza si formula simplificata :

in care :

M₀ se ia pentru latitudinea .

Lungimea arcului de paralel pentru o latitudine se obtine cu relatia :

unde :

r = raza paralelului elipsoidului ;

L₂ - L₁ = diferenta longitudinilor punctelor extreme ale arcului

dar :

Aria unei portiuni de elipsoid

Aria trapezului de pe suprafata elipsoidului de rotatie, marginita meridianele cu longitudinile L si L+dL si de paralele cu latitudinile B si B+dB este data de relatia :

In lucrarile practice de cartografie se lucreaza cu trapeze elipsoidelor cu dimensiuni stabilite. Pentru harta la scara 1:1.000.000 se lucreaza cu trapezul cu laturile dupa meridian egale cu , iar dupa paralel , iar pentru harta la scara 1:100.000 laturile trapezului sunt si .

Sfera terestra

In unele situatii se considera suprafata terestra echivalenta cu sfera de raza R, unul din diametrele sferei se considera comun cu axa de rotatie a Pamantului, numit si axa sferei terestre.

Sectiunile sferei terestre cu plane ce trec prin axa formeaza curbe care sunt cercuri mari denumite meridiane, iar sectiunile plane perpendiculare pe axa, dau curbe, care sunt cercuri mici, numite paralele. Paralelul cel mai mare poarta numele de ecuator. Punctele de intersectie ale axei cu suprafata sferei poarta numele de poli geografici (polul nord si polul sud).

Toate razele de curbura ale suprafetei sferei sunt egale cu raza . Evident, raza sferei echivalente difera de semiaxele elipsei si creste de la ecuator spre poli de la R_e la R_P (fig.10).

Considerand arcul de elipsa AB pe linia cC se gasesc curbele razelor de curbura ale sferelor respective.

Orientativ, precum si pentru nevoi cu totul generale, se poate calcula o singura raza medie pentru intregul glob terestru, fie prin integrarea relatiei lui Gauss , fie prin calculul unei medii a semiaxelor , fie prin calculul sferei de aceeasi suprafata sau de acelasi volum cu elipsoidul. Prin oricare din aceste cai se obtine : km.

Raza de curbura medie, la latitudinea medie a tarii noastre calculata cu relatia lui Gauss este de km.

Ecuatia sferei in coordonate rectangulare, raportate la centrul sau are forma :

unde :

x, y, z sunt coordonate rectangulare, axa 2 coincide cu axa de rotatie a sferei, iar axele x si y sunt in planul ecuatorului.

Pentru determinarea pozitiei punctelor de pe suprafata sferei terestre se folosesc coordonatele geografice, latitudinea si longitudinea .

Intre coordonatele geografice si si cele rectangulare x, y, z ale unui punct de pe sfera exista relatiile de legatura.

unde :

este egal cu diferenta longitudinilor meridianului al carui plan trece prin axa x-lor si a meridianului punctului dat.

Lungimea arcului de meridian pe sfera este :

Lungimea arcului de paralel pe sfera este :

.

Aria trapezului de pe suprafata sferei, format de meridianele cu longitudinile ₂ si ₁ si de paralele cu latitudinile si este :

Aria zonei sferice dintre paralele cu latitudinile si este:

Aria zonei sferice dintre ecuator si paralelul cu latitudinea este :

.

Geometria sferei in comparatie cu aceea a elipsoidului fiind mult mai simpla, de cate ori precizia ceruta poate fi satisfacuta prin calcule pe sfera, se va proceda pe aceasta cale. Ca raza de curbura a sferei echivalente utilizata, potrivit scopului urmarit, va fi 6371 sau 6379, eventual o valoare calculata mai precis in functie de latitudinea medie a locului respectiv. Cand distantele sunt foarte mici, de ordinul sutelor de metri, eventual de ordinul a catorva kilometri, corespunzator cu precizia ce se urmareste, elipsoidul, respectiv sfera, poate fi substituita cu planul.

Calculul punctelor geodezice se poate face fie pe suprafata elipsoidului, cand se obtin coordonatele geodezice B si L, fie in plan, cand se obtin coordonatele plane x si y. Calculul punctelor, oricare ar fi suprafetele considerate, trebuie sa fie precedate de reducerea marimilor masurate pe suprafata fizica a pamantului la suprafata geoidului si apoi la suprafata elipsoidului de referinta, dupa care se face trecerea pe sfera si, in continuare, in plan, pentru calculul coordonatelor x si y necesare ridicarilor topografice.

1.5. Reducerea observatiilor geodezice la suprafata de referinta

1.5.1. Generalitati

Marimile masurate pe suprafata fizica a Pamantului se reduc, inainte de a fi folosite, la suprafata de referinta, respectiv la geoid, la elipsoid pe sfera, eventual in planul de proiectie. In acest scop se aplica o serie de corectii calculate cu relatii riguroase sau aproximative, in functie de ordinul retelei.

Aceasta operatie de reducere este necesara deoarece observatiile de teren sunt raportate la geoid, dupa care se realizeaza calarea instrumentelor geodezice, adica aducerea lor in pozitie de lucru, in timp ce calculele efectuate in geodezie sunt dirijate dupa normala la elipsoidul de referinta.

Pentru reducerea pe elipsoid a observatiilor geodezice este necesara determinarea prealabila a componentelor deviatiei verticale si in meridian, respectiv in paralel.

este deviatia verticalei pe latitudine, iar este deviatia verticalei pe longitudine.

Majoritatea calculelor se desfasoara in planul de proiectie, in care scop observatiile sunt corectate suplimentar prin procedee specifice sistemului de proiectie folosit. La randul lor, coordonatele de pe elipsoid, respectiv de pe sfera, pot fi transcalculate in planul de proiectie.

Fig. 11. Deviatia verticalei

Transpunerea retelelor geodezice de sprijin, existente pe suprafata fizica a Pamantului, pe suprafata elipsoidului de referinta, se poate realiza prin mai multe metode, dintre care amintim :

metoda desfasurarii ;

metoda proiectarii, cu variantele ;

metoda Pizzetti ;

metoda Bruns-Helment.

Metoda desfasurarii. Elementele masurate pe suprafata fizica a Pamantului se reduc la suprafata geoidului, la nivelul marii, urmand sa fie compensate in functie de geometria retelei de triangulatie.

Se alege un punct fundamental, in care se considera ca elipsoidul de referinta este tangent la geoid, punct in care se accepta identitatea dintre coordonatele astronomice si cele geodezice, precum si coincidenta normalei la elipsoid cu verticala la geoid, rezultand datele initiale ale triangulatiei : coordonatele geodezice ale punctului fundamental, lungimea si azimutul unei laturi care uneste acest punct cu un punct oarecare al retelei de triangulatie. Calculele se efectueaza in continuare prin desfasurare, pornind din punctul fundamental se determina coordonatele tuturor punctelor retelei, folosindu-se elementele reduse la suprafata geoidului, fara a nai realiza trecerea lor la suprafata elipsoidului de referinta.

Aceasta metoda introduce erori sistematice de calcul, care se amplifica pe masura indepartarii de punctul fundamental si, deci, poate fi utilizata doar pentru teritorii relativ mici, pentru care se poate admite ca elipsoidul de referinta infasoara optim suprafata geoidului. In acest mod a fost calculata triangulatia de ordinul I de la noi din tara, inaintea celui de al doilea razboi mondial, pe elipsoidul Hayford.

Metoda proiectarii. Aceasta metoda presupune adunarea elementelor masurate (unghiuri, directii, lungimi) pe suprafata elipsoidului, prin aplicarea unor corectii. Se cunosc doua variante ale acestei metode :

metoda Pizzetti

metoda Bruns-Helment.

Metoda Pizzetti. Presupune proiectarea punctului P de pe suprafata fizica a Pamantului mai intai, cu ajutorul verticalei, pe suprafata geoidului in P₀ , urmand ca apoi, cu ajutorul normalei la elipsoid, sa fie proiectat in , pe suprafata elipsoidului de referinta. Metoda se complica prin faptul ca presupune cunoasterea curburilor verticalelor, necesare la stabilirea corectiilor in prima etapa a proiectarii, motiv pentru care nu a cunoscut pana in prezent o aplicabilitate practica deosebita.

Metoda Bruns-Helment. Punctul P de pe suprafata fizica a Pamantului este proiectat in P"₀ pe suprafata elipsoidului cu ajutorul normalei la aceasta suprafata.

Coordonatele tuturor punctelor triangulatiei de stat din tara noastra se determina prin aceasta varianta a metodei proiectarii.