Stabilitatea sistemelor

1. Stabilitatea sistemelor continue

Sistemele pot fi modelate in spatiul starilor si prin functie de transfer.

Modelarea in spatiul starilor:

Modelarea prin functie de transfer (intrare-iesire):

Stabilitatea sistemelor este de doua feluri: stabilitate interna si stabilitate externa.

1.1. Stabilitatea interna a sistemelor continue

Stabilitatea interna se verifica pe baza valorilor proprii ale matricii caracteristice (A). Valorile proprii ale matricii A sunt solutiile ecuatiei:

Un sistem continuu este stabil intern daca toate valorile proprii ale matricii caracteristice au parte reala < 0.

- conditia de stabilitate interna

La reprezentarea in planul complex C, pentru a se indeplini conditia de stabilitate interna a sistemelor continue, valorile proprii trebuie sa se gaseasca in semiplanul negativ (cadranul 3 si 4) - domeniu de stabilitate pentru sistemele continue.

Obs.:

stabilitatea interna se verifica pe valorile proprii ale matricii caracteristice A, iar matricile B, C sau D nu intervin sub nici o forma.

pentru a verifica stabilitatea interna a unui sistem este nevoie de matricea A, ceea ce implicit necesita ca sistemul sa fie modelat in spatiul starilor.

1.2. Stabilitatea externa a sistemelor continue

Stabilitatea externa se verifica pe polii functiei de transfer. Se numesc poli ai functiei de transfer acele puncte in care functia nu este definita si anume punctele in care numitorul functiei de transfer se anuleaza (radacinile numitorului).

Un sistem continuu este stabil extern daca toti polii sistemului au partea reala < 0, adica polii se afla in domeniul de stabilitate al sistemelor continue.

Stabilitatea sistemelor discrete

O importanta deosebita o reprezinta punctele de pe axa imaginara din spatiul , axa corespunzatoare limitei de stabilitate a sistemului corespunde la , , iar in spatiul , .

Ultima ecuatie reprezinta in spatiul ecuatia unui cerc cu raza 1. Zona de stabilitate corespunzatoare planului stang din spatiul este echivalenta interiorului cercului de raza unitate.

Proprietatea de stabilitate a unui sistem dinamic este o proprietate interna si confera anumite proprietati sistemului respectiv (in realitate proprietatea de stabilitate este aferenta solutiei unei ecuatii diferentiale ce caracterizeaza functionarea unui sistem).

Exista doua tipuri de stabilitate: stabilitate interna si stabilitate externa (intrare marginita pe iesire marginita).

Un sistem liniar neted (cu timp continuu) descris in spatiul starilor de (A,B,C) este intern stabil daca si numai daca valorile proprii ale matricii A au toate partea reala mai mica sau egala cu zero.

Pentru un sistem discret descris in spatiul starilor (Ad, Bd, Cd) este intern stabil daca si numai daca valorile proprii ale matricii Ad au modulul mai mic decat 1. Conditia de stabilitate interna se reduce la:

sau

unde reprezinta spectrul matricii A_d.

Un sistem continuu este extern stabil daca si numai daca polii functiei de transfer H(s) au partea reala mai mica sau egala cu zero (poli = radacinile numitorului functiei de transfer).

Un sistem discret este extern stabil daca polii functiei de transfer H(z) au modulul mai mic decat zero (sunt in cercul unitate).

Fig. 1.3. Domeniul de stabilitate pentru sisteme continue si sisteme discrete

Stabilitatea interna se verifica pe valorile proprii ale matricii A, valorile proprii reprezinta radacinile determinantului:

iar matricile B si C nu implica in nici un fel stabilitatea interna. Stabilitatea externa se verifica pe polii functiei de transfer H(z). Stabilitatea interna implica stabilitatea externa intotdeauna, reciproca nu este valabila doar daca functia de transfer este ireductibila, sau prin operatia de simplificare se reduc doar termeni care au radacini < 0. Un sistem poate sa fie extern stabil si sa nu fie intern stabil, ideal ar fi sa testam si stabilitatea interna pentru a ne asigura ca toate marimile interne sunt controlabile.

Stabilitatea externa si stabilitatea externa sunt evidentiate de locatia radacinilor unui polinom (polinomul minimal al matricii A).

Aplicatii stabilitate:

1. Se da sistemul liniar neted descris in spatiul starilor de matricile:

a) sa se studieze stabilitatea interna si stabilitatea externa;

b) sa se discretizeze sistemul continuu cu un pas de discretizare h=0.2 si sa se studieze stabilitatea interna si stabilitatea externa a sistemului discretizat;

c) sa se vizualizeze raspunsul sistemului discretizat la intrare treapta unitate;

2. Se da sistemul liniar neted (continuu) descris de functia de transfer

a) sa se studieze stabilitatea externa si stabilitatea interna;

b) sa se vizualizeze raspunsul sistemului la intrare treapta unitate;