Determinarea solutiei aproximative a ecuatiei diferentiale dupa conditia initiala

Determinarea solutiei aproximative a ecuatiei diferentiale dupa conditia initiala

Pe baza interpretarii geometrice data mai sus vom arata cum putem construi o solutie aproximativa a curbei integrale, asociata ecuatiei diferentiale (1.3'), care trece prin punctul initial dat . Pentru construirea aproximativa a solutiei utilizam metoda lui Euler sau metoda liniilor poligonale. In acest sens consideram un domeniu din , de forma , acoperit de o retea de mici patrate formate din drepte paralele cu axele de coordinate. Pe axa alegem punctul situat in stanga originii, avand lungimea egala cu unitatea. Fie o solutie a ecuatiei diferentiale (1.3'), care verifica conditia initiala . Inlocuind valorile si in expresia functiei , care apare in ecuatia diferentiala (1.3'), determinam valoarea numerica , pe care o reprezentam pe axa prin segmentul . Segmentul are coeficientul unghiular egal cu si deci, potrivit ecuatiei (1.13), va fi paralel cu tangenta dusa la curba integrala in punctul . Prin punctul ducem o dreapta paralela cu segmentul . Fie primul punct de intersectie al acestei drepte cu o latura a retelei patratice paralela axei . Determinam valoarea si reprezentam pe axa segmentul , egal cu . Prin punctul ducem dreapta paralela cu deci, care are coeficientul unghiular egal cu si fie primul ei punct de intersectie cu o latura a retelei patratice, paralela cu , etc.. Linia poligonala construita prin punctele , reprezinta aproximativ curba integrala cautata.

Vom observa ca pentru construirea segmentelor si , se poate alege unitati de masura diferite de unitatile de masura folosite pentru constructia ochiurilor retelei patratice, deci a coordonatelor si , deoarece pantele segmentelor , nu depind de alegerea unitatii de masura.

O problema importanta in teoria generala a ecuatiilor diferentiale o constitue existenta si unicitatea solutiei unei ecuatii diferentiale.

Fie , si .

1.6. Definitie. Functia se numeste local lipschitziana in raport cu in daca exista o vecinatate compacta continuta in , exista o constanta a.i.

,. (1.14)

Existenta si unicitatea solutiei problemei initiale de forma

,

unde este o functie continua pe , este un punct oarecare, dar fixat, este asigurata de

1.7. Teorema lui Cauchy-Lipschitz. (Teorema de existenta si unicitate a solutiilor locale).

Fie si , o functie continua in raport cu ambele argumente si local lipschitziana in raport cu . Atunci problema Cauchy

,, (1.15)

oricare ar fi , admite o unica solutie. Altfel spus, , exista o vecinatate compacta a lui , (), si solutie a problemei Cauchy, unde, , si aceasta solutie este unica.

Demonstratie

Inainte de a demonstra aceasta teorema vom face doua precizari:

(a). Teorema lui Cauchy-Lipschitz are caracter local deoarece se refera la existenta solutiei pe un anumit interval si care contine punctul , ramanand deschisa problema prelungirii solutiei pe un interval cat mai mare continut in .

Fie si . Atunci putem garanta ca graficele solutiilor (adica curbele integrale) nu pot fi in daca nu apartine intervalului , definit de conditiile:

.

(b). Conditia ca sa fie lipschitziana poate fi inlocuita cu o cerinta mai restrictiva, anume ca sa fie continuu diferentiabila in raport cu . Atunci, din teorema lui Lagrange, admitand ca in , exista apartinand segmentului a. i. sa avem

.

Asadar, in teorema, se poate presupune ca si sunt functii continue pe .

Pentru demonstrarea teoremei vom considera multimea . Pentru orice apartinand acestei multimi construim sirul aproximatiilor succesive (sirul lui E. Picard) generat de conditia initiala si de ecuatia diferentiala data , definit prin:

(1.16)

Sirul de functii este bine definit oricare ar fi cu si aceste functii sunt continue. Intr-adevar, avem

.

Presupunand proprietatea adevarata pentru , deci , atunci se demonstreaza si pentru

.

Asadar, , deci pentru orice .

Aratam ca sirul de functii astfel construit, converge uniform pe multimea . Intr-adevar, avem

;

Presupunand relatia adevarata pentru , atunci putem demonstra ca pentru avem:

Deci, si pentru orice cu .

Vom observa ca seria de functii este convergenta deoarece este majorata de seria numerica convergenta . In consecinta, aplicand criteriul lui Weierstrass, deducem ca seria de functii este absolut si uniform convergenta in multimea .

De aici rezulta ca sirul sumelor partiale asociat acestei serii este uniform convergent, si avem

,

si pentru orice cu .

Asadar, exista limita uniforma a sirului de functii si notam

pentru orice apartinand multimii . (1.17)

Aratam ca functia , definita in (1.17), este solutie a problemei Cauchy considerate. Intr-adevar, deoarece sirul numeric , obtinem ca functia limita verifica conditia initiala, adica .

Fie . Atunci pentru orice si pentru suficient de mare, avem

,

de unde deducem ca functia limita este bine definita.

Deoarece sirul de functii continue , este uniform convergent, rezulta ca functia limita este continua.

Sirul converge uniform catre functia continua :

, cand , pentru orice cu .

Asadar, in relatiile (1.16) putem trece la limita sub semnul integralei si avem:

(1.18)

Ultima integrala din (1.18), ca functie de limita superioara este derivabila si atunci rezulta ca functia este derivabila si avem:

,

care arata ca verifica ecuatia diferentiala data.

Pentru a arata unicitatea solutiei problemei Cauchy considerata vom presupune ca de obicei ca exista doua solutii si , obtinute cu teorema de existenta, si care verifica conditia initiala

.

Atunci aratam ca pentru avem , unde sunt respectiv intervalele de definitie ale acestor solutii.

Din expresiile

si ,

obtinem:

. (1.19)

Introducem notatiile:

Atunci pentru orice inegalitatea (1.19) se transcrie sub forma .

Cum , , atunci avem sau . Inmultind ultima inegalitate cu obtinem inegalitatea echivalenta

,

care arata ca functia este descrescatoare si cum deducem ca

.

Deoarece aveam , deducem ca si in consecinta obtinem identitatea .

Pentru cazul cand , definim

, si (1.20)

si demonstratia este asemanatoare ca mai inainte.

Infasuratoarea unei familii uniparametrice de curbe

Fie familia uniparametrica de curbe

si un parametru real. (1)

Definitie. O curba care in fiecare punct al sau este tangenta la una din curbele familiei uniparametrice (1) si care nu coincide pe nici-o portiune cu una din curbele familiei se numeste infasuratoare a familiei uniparametrice de curbe.

Infasuratoarei familiei de curbe , daca exista, este reprezentata de multimea punctelor din plan si , care verifica sistemul de ecuatii

(2)

unde si sunt functii derivabile, simultan nenule, si daca in lungul curbei parametrice , gradientul functiei este nenul, adica

, (3)

sau .

Observatie. Prin eliminarea parametrului intre ecuatiile sistemului (2) se obtin asa numitele curbe discriminante ale familiei. Din aceaste curbe discriminante pe langa infasuratoare pot face parte si alte curbe care au de asemenea semnificatie geometrica legata de familia de curbe (de exemplu, dreapta reprezinta locul varfurilor pentru o familie de cicloide; aceasta dreapta nu este infasuratoare).

Pentru a identifica din curbele discriminante pe acelea care sunt infasuratoare trebuie sa impunem conditia suplimentara (3).

Exemplul 1. Se considera familia tuturor cercurilor cu centrul pe axa avand raza egala cu unitatea,

.

Definim si infasuratoarele familiei de curbe se obtin prin rezolvarea sistemului

Din a doua ecuatie obtinem , care inlocuita in prima ecuatie conduce la solutiile sau . Asadar curbele plane (dreptele) si reprezinta infasuratoarele familiei de cercuri considerate. Aceste curbe sunt tangente la familia de cercuri si nu sunt continute in aceasta familie.

Exemplul 2. Se considera familia uniparametrica de curbe

.

Definim . Atunci infasuratoarele familiei de curbe se obtin prin rezolvarea sistemului

Din a doua ecuatie obtinem , care inlocuita in prima ecuatie conduce la solutia . Asadar curba plana, definita parametric prin relatiile

reprezinta infasuratoarea acestei familii de curbe. Acesta curba, tangenta la fiecare curba din familie, si nu este continuta in aceasta familie, este reprezentata de parabola , obtinuta din reprezentarea parametrica dupa eliminarea parametrului real .

Exemplul 3. Se considera cicloida ( este raza cercului si este unghiul de rostogolire)

si familia uniparametrica de cicloide

care poate fi scrisa implicit sub forma , unde .

Atunci infasuratoarele familiei de curbe se obtin prin rezolvarea sistemului

(*)

Din a doua ecuatie obtinem , care inlocuita in prima ecuatie conduce la relatia . De aici obtinem solutiile sau . Asadar curba plana, definita parametric prin relatiile

reprezinta infasuratoarea acestei familii de curbe. Acesta curba, tangenta la fiecare curba din familie, si nu este continuta in aceasta familie, este reprezentata de dreapta .

Curba plana, definita parametric prin relatiile

care verifica sistemul (*) nu este infasuratoare a familiei de cicloide insa reprezinta locul varfurilor familiei de cicloide. In figura alaturata se reprezinta o familie de cicloide care depind de parametrul si curbele discriminante (este infasuratoare), respectiv care nu este infasuratoare (ea reprezinta locul varfurilor familiei de cicloide).

Dreapta este infasuratoarea familiei de cicloide; dreapta nu este infasuratoare.