Subspatiu vectorial

Subspatiu vectorial

Fie spatiul vectorial si multimea , cu

DEFINITIA 1.1.2 V₁ se numeste subspatiu vectorial al lui V daca V₁ este spatiu vectorial peste K fata de operatiile de adunare a vectorilor si de inmultire cu scalari induse in V₁ de operatiile din V. Se noteaza

TEOREMA 1.1.2 sunt indeplinite conditiile

K,

Demonstratie. Conditia este necesara. V₁ fiind o parte stabila a lui V fata de adunarea vectorilor si de inmultirea cu scalari a vectorilor, avem

si K si

Conditia este si suficienta. Daca sunt indeplinite conditiile 1) si 2) din teorema se verifica usor pentru V₁ cele opt axiome din Definitia 1.1.1. □

Aceasta teorema se poate exprima si sub forma

Observatia 1.1.1 V₁ este subspatiu vectorial al lui V

, K, .

Exemple.

1. Multimea matricelor patratice simetrice cu elemente din K

unde M este transpusa matricei M .

2. Multimea matricelor patratice antisimetrice cu elemente din K

3. Multimea matricelor superior triunghiulare

T(n,K)=.

DEFINITIA 1.1.3 Fie si , Se numeste combinatie liniara finita de elemente din S o expresie de forma , unde , K,

Observatia 1.1.2 Daca V este K-spatiu vectorial si S V , atunci

Notatie. Multimea tuturor combinatiilor liniare finite de elemente din S se noteaza .

TEOREMA 1.1.3 Daca .

Demonstratie. Fie este o combinatie liniara finita de vectorii Analog si conditiile Teoremei 1.1.2 sunt indeplinite. □

DEFINITIA 1.1.4 se numeste subspatiul generat de S sau acoperirea liniara a lui S

Daca atunci prin definitie

TEOREMA 1.1.4 Daca V₁ si V₂ sunt subspatii vectoriale pentru V , atunci

Multimea este subspatiu vectorial al lui V (se numeste suma dintre V₁ si V₂)

Intersectia subspatiilor vectoriale este un subspatiu vectorial al lui V

Reuniunea subspatiilor vectoriale nu este un subspatiu vectorial al lui V.

Demonstratie.

. Sa aratam ca

Dar

atunci  

. Fie si . Cum

. Sa aratam ca si

Din consideram si

Din consideram si Rezulta si □