Tetraedre regulate

Tetraedre regulate

Definitie : Se numeste tetraedrul regulat un tetraedru cu toate fetele triunghiuri echilaterale.

Evident toate muchiile unim tetraedru regulat au aceeasi lungime ce o vom nota cu "a", toate unghiurile diedre sunt congruente.

Teorema 54:

Un tetraedru regulat [ABCD] este:

1^o ortocentric; 2^o echifacial; 3^o Crelle ; 4^o izodinamic(izofacial)

Demonstratie :

1^o Se verifica imediat formula

AB² + CD² =AC² +BD²=AD² +BC² T [ABCD] ortocentric.

2^o DABCsDACDsDABDsDBCD T

S_ABC= S_ACD=S_ABD=S_BCDT [ABCD] echifacial

3^o AB + CD =2a, AC +BD= 2a, AD + BC = 2a T AB + CD = AC +BD= AD + BC T [ABCD] este Crelle.

4^o DABCsDACDsDABD si DABC echilateral T [ABCD] izofacial.

Teorema 55:

Un tetraedru regulat [ABCD] are un centru V care este simultan-centru de greutate G

-centru O al sferei circumscrise

-centru I al sferei inscrise

-anticentrul tetraedrului K

-ortocentrul H al tetraedrului

-centrul J al sferei hexagonului ( sfera Crelle).

Demonstratie :

Tetraedru  [ABCD] fiind regulat este ortocentric, fetele sunt triunghiuri echilaterale , atunci G₁=H₁ si G₂=H₂ T(AH₁)=(AG₂), AH₁ identic cu AG₁ si BH₂ = GH₂, atunci G=H.

Cum GH₁ (BCD) T(GB)s(GC)s(GD) si GH₂ (ACD) T (GA)s(GC)s(GD). Rezulta

(GA)s (GB)s(GC)s(GD) deci G=O.

Cum K este simetricul lui O fata de G, adica (OG)s(GK) si OG=0 rezulta GK=0. Deci G=K.

Inaltimile tetraedrului fiind concurente si GG₁ T (GH₁)s (GH₂)s (GH₃)s (GH₄) T G este centrul sferei inscrise, deci G=I.

Tetraedrul fiind ortocentric cu muchiile opuse congruente se poate trage concluzia ca bimedianele sunt congruente. Mijlocul lor comun G este deci la aceeasi distanta de cele sase muchii, deci G=J.

Teorema 56:

Pentru tetraedrul echifacial[ABCD] fiecare din urmatoarele trei conditii este suficienta ca [ABCD] sa fie regulat:

1^o sa fie ortocentric

2^o sa fie tetraedru Crelle

3^o sa fie izodinamic.

Demonstratie :

Deoarece [ABCD] este echifacial, putem nota :

(AD)s(BC); AD=a; (AB)s(CD); AB=b; (AC)s(BD).

Conditia 1^o devine prin formula

AB² +CD² =AC² +BD²=AD² +BC²  2a²=2b²=2c²T

a=b=c , atunci [ABCD] este regulat.

Conditia 2^o asigura in baza teoremei lui Crelle ca

2a²=2b²=2c² T a=b=c

Conditia 3^o devine a²=b²=c² deci a=b=c T [ABCD] regulat.