Stabilitatea in sens Lyapunov a sistemelor stohastice inversate

Stabilitatea in sens Lyapunov a sistemelor stohastice inversate

Introducere

In aceasta lucrare trei teoreme referitoare la stabilitatea sistemelor stohastice inversate sunt enuntate si demonstrate. Tehnica Lyapunov este folosita pentru a deriva conditiile suficiente ale sistemelor deosebindu-se cazul functiilor Lyapunov simple si functiile Lyapunov multiple.

Consideratii teoretice

Stabilitatea stohastica Lyapunov

Consideram urmatorul sistem stochastic :

dX(t) = b (X(t)) dt +G(X(t))d(t) (1)

X(0) = X₀

unde X(t) este un proces dimensional n intamplator , b (X(t)) dt, G(X(t)) - este un vector si o matrice de ordinul doi intamplatoare , respectiv de dimensiuni apropiate, (t) - este un n standard - proces dimensional "Winer" si X₀ un vector de ordinal doi intamplator independent de - algebric F ( , Tt).

Ecuatia stohastica diferentiala (1) admite solutia unica X(t) daca exista constantele K₁,K₂ > 0 , astfel incat si .

Vom analiza stabilitatea solutiei X(t) =0 a ecuatiei (1), de aceea vom face urmatoarea presupunerea : b(0) = 0, G(0) = 0. Solutia X(t) a ecuatiei (1) se spune ca este stabila cu probabilitatea t daca pentru orice s si >0.

,

unde Xeste drumul catre solutia ecuatiei (1) incepand din punctul x la momentul de timp s.

Teorema 1. Daca U este un domeniu care contine originea si presupunem ca exista o functie pozitiva definita V : U , continua diferentiabila cu exceptia originii care satisface pentru x :

LV x) = +

in care a= [GG]unde * denota conjugata complexa transformata.

Sisteme stohastice inversate

In aceasta lucrare analizam proprietatile stabilitatii a sistemelor stohastice inversate de forma :

dX(t) = b(X(t))dt + G(X(t))d(t) (2)

X(0) = x

unde i = este un set de indici al sistemului inversat.

Functii Lyapunov simple

Vom face urmatoarea presupunere pentru fiecare subsistem : b(0) = 0; G(0) = 0 , . O functie Lyapunov simpla pentru sistemul (2) este o functie V : R de doua ori continua diferentiabila cu exceptia originii care este definita pozitiv V(x) > 0 , si V(0) = 0 si proprietatea lim astfel incat:

LV x) = +

Teorema 2

Daca exista o functie Lyapunov simpla pentru sistemul 2 si toate presupunerile anterioare sunt adevarate atunci sistemul (2) este stabil .

Demonstratie : Pentru fiecare t rezulta:

V(t_j) = V(t_j - 1) +

unde q este subsistemul care este activ in intervalul [t_j-1, t_j].

Folosind faptul ca EV(t_j) EV(0) = V(x₀) in final obtinem :

P ,

Functii Lyapunov multiple

Facem urmatoarea presupunere pentru fiecare subsistem (a) b(0) = 0, G(0) = 0, , (b) exista o functie V de doua ori continua diferentiabila cu exceptia originii care este definita pozitiv astefel incat V si proprietatea lim si (c) , b si G satisface conditia unica (2).

Teorema 3 Daca presupunerile (a), (b) si (c) sunt adevarate , S este setul de secvente inversate a sistemului. Daca si urmatoarele conditii sunt indeplinite:

LV

EV

EV

Aplicatie la descentralizarea traficului aerian

Fiecare aeronava poate sa aiba informatii estimative cu privire la pozitia curenta a altei aeronave a centrului sau, sau a razei sale, numita "zona de protectie".Principalul motiv al incertitudinii este vantul.

Aeronava i si zona sa de protectie de raza R

Oricand o aeronava intra in zona de protectie a aeronavei i legile de control sunt inversate astfel incat sa intalneasca urmatoarele specificatii:

destinatie convergenta (DC) si evitarea coliziunii (CA).De aici inainte strategia de control inversat este data de:

daca N(i) = 0, si N(i) 0

unde q_i - este configuratie lui i si N(i) este numarul de aeronave din zona de protectia a lui i.

Strategia de control este data in figura de mai jos:

Concluzii :

In aceasta lucrare am demonstrat trei teoreme de stabilitate a sistemelor stohastice inversate . Aceste teoreme sunt extensiile unor rezultate existente din ultimul deceniu . Teoremele dovedite in aceasta lucrare furnizeaza conditii suficiente pentru stabilitatea sistemelor stohastice hibride.

Bibliografie

[1] M.S. Branicky,"Multiple Lyapunov Functions and Other Analysis Tools

for Switched and Hybrid Systems', IEEE Transactions on Automatic

Control,vol.43,No.4,pp.475-482, 1998.

[2] G. Chen, G. Chen and S.H. Hsu,"Linear Stochastic Control Systems', CRC Press, 1995.

[3] M.H.A. Davis,"Markov Models and Optimization',Chapman & Hall 1993.