ECHILIBRUL SISTEMELOR DE CORPURI

1. GENERALITATI. DEFINITII

Un sistem de corpuri constituie un ansamblu de corpuri (puncte materiale) legate intre ele prin legaturi mecanice, transmitandu-se prin acestea actiuni sau reactiuni reciproce sub forma de forte sau momente.

O constructie de orice forma, o masina sau un mecanism pot fi considerate ca exemplu de sistem de corpuri. Acestea pot fi constructii rigide, cum ar fi o constructie civila sau industriala, un pod, etc., mobile, sau deformabile, ca de exemplu o masina sau un mecanism.

Fortele ce actioneaza asupra unui sistem de corpuri sau puncte materiale, pot fi grupate in trei categorii:

-forte exterioare efectiv aplicate;

-forte provenind din legaturi exterioare sistemului;

forte interioare de interactiune dintre punctele sau corpurile apartinand sistemului studiat.

In privinta fortelor interioare, desigur se respecta legea a treia a lui Newton, respectiv principiul actiunii si al reactiunii. In fig.1.a, s au reprezentat doua puncte si dint un sistem de interactiune reciproca, iar in fig. 1,b, doua corpuri si , facand si ele parte dintr un sistem de corpuri, legate intre ele in P (de exemplu o articulatie).

In ambele cazuri intervin si fortele interne ale interactiunii, care este reactiunea punctului , ca urmare a actiunii punctului A_j cu forta , respectiv reactiunea din legatura P, a corpului asupra corpului ca urmare a actiunii . Aceste forte sunt egale si de sensuri opuse iar ecuatiile vectoriale sunt

T

T (1)

Dar nu numai rezultanta acestor forte interioare este nula ci si momentul lor rezultant fata de un punct oarecare O. Astfel, scriind ecuatia de momente pentru fortele si in raport cu O, din fig. 1.a, rezulta

(2)

deoarece vectorii si sint coliniari.

Relatiile (1) si (2) se pot extinde la intregul sistem, adica la toate cele n puncte sau corpuri T

Pentru forte:

(3)

Pentru momente:

(4)

Aceste doua relatii exprima faptul ca vectorul rezultant si vectorul moment rezultant al tuturor fortelor interioare sunt nule.

2. TEOREME ASUPRA ECHILIBRULUI SISTEMELOR DE CORPURI

Fie un sistem de puncte materiale sau un sistem de corpuri aflate in interactiune reciproca si asupra carora actioneaza cele trei categorii de forte, exterioare sau efectiv aplicate (inclusiv momente exterioare), reactiuni provenind din legaturile exterioare (forte si momente) si forte interioare provenind din interactiunea reciproca. Intregul sistem se presupune in echilibru. Se pune problema de baza, sau fundamentala, sa se determine conditiile statice ca un astfel de sistem sa fie in echilibru.

Pentru inceput, fie un sistem de n puncte materiale (fig. 1 a), asupra caruia actioneaza, de exemplu asupra punctului rezultanta fortelor exterioare efectiv aplicate (care poate contine si fortele provenind din eventuale legaturi exterioare) precum si n-1 forte interioare de interactiune cu celelalte n-1 puncte. Daca sistemul se gaseste in echilibru este necesar ca fiecare punct sa fie in echilibru conform conditiilor stabilite la statica punctului material, conditia (1.16) sau (1.21). Deci punctul este in echilibru numai daca:

(5)

prin urmare se pot scrie n ecuatii de forma (5) precum si n ecuatii de momente in raport cu un punct O :

(6)

Daca toate cele n ecuatii (5) si (6) se aduna geometrico-vectorial, rezulta :

(7)

(8)

si, tinand cont de relatiile (3) si (4) se obtine ca

(9)

Dar, acestea sunt conditiile vectorilor de echilibru ale solidului rigid (3.1) studiate deja. Pe baza acestor expresii vectoriale se poate enunta urmatoarea teorema a solidificarii :

Sistemul de corpuri materiale pentru care torsorul fortelor interioare este nul, poate fi considerat ca un singur corp 'solidificat' asupra caruia actioneaza numai forte exterioare efectiv aplicate si forte provenind din legaturi exterioare.

Aceasta teorema este valabila si in cazul sistemelor de corpuri. Pentru aceasta se considera sistemul de corpuri rigide din fig. 2,a (pentru simplificare s-au considerat numai 3 corpuri interconectate), articulate intre ele in punctele A si B si supus la legaturile exterioare: articulatie in O si reazem simplu in D. Asupra fiecarui corp din sistem actioneaza cate un sistem de forte exterioare propriu, care pentru simplificare s-a considerat ca s-a redus, fata de centrul de masa al fiecarui corp, la torsorul propriu format din vectorul forta rezultanta si vectorul moment rezultant aferent corpului respectiv.

Daca intregul sistem prezentat in fig. 2.a se gaseste in echilibru, inseamna ca, prin izolarea (se elibereaza de legaturi) fiecarui corp (fig.2,b), acesta se va gasi in echilibru sub actiunea fortelor aferente.

Prin urmare, se vor putea scrie ecuatiile vectoriale:

- pentru forte :

(10)

care prin insumare conduc la :

Generalizand pentru un sistem format din n corpuri si supus la q legaturi exterioare, si tinand cont ca fortele interioare prin insumare conduc la rezultat nul se obtine:

(11)

Relatia (11) este identica in forma si expresie cu prima ecuatie (3.11) adica valabila pentru echilibrul unui solid rigid supus la legaturi.

O relatie asemanatoare se poate scrie si pentru momente, in final obtinand:

(12)

identica ca forma cu cea de-a doua ecuatie din (3.8)

Ecuatiile (11) si (12) constituie conditiile de echilibru ale unui solid ipotetic rezultat prin solidificarea (inghetarea) intregului sistem intr-un singur corp solid supus numai la forte (si momente) exterioare. De aici rezulta terorema solidificarii pentru cazul sistemului de corpuri.

Conditiile de echilibru ale solidului rigid sunt necesare si in cazul sistemelor de corpuri (solide sau puncte).

Dar aceste conditii sunt necesare dar nu sunt intotdeauna si suficiente. Conditiile de echilibru ale solidului

(13)

sunt necesare si, in general, suficiente numai in cazul sistemelor nedeformabile; pentru sistemele deformabile (mecanisme) aceste conditii desi sunt necesare nu sunt si suficiente.

Spre exemplificare se considera sistemul de bare articulate din fig. 3,b, un sistem de corpuri nedeformabil, simplu rezemat pe o suprafata neteda orizontala. Se observa ca intregul sistem poate fi tratat ca un solid intrucat prin aplicarea celor doua forte orizontale si nu se distruge echilibrul sistemului, deci conditiile (13), si respectiv cele date de ecuatiile vectoriale (11) si (12) sunt nu numai necesare dar sunt si sufiente.

Nu aceeasi este situatia din fig. 3,a, (unde sunt respectate conditiile de echilibru (11) si (12), deci si (13)), pentru ca sistemul nu poate fi in echilibru el fiind deformabil; reazemul este fara frecare si cele doua forte orizontale si vor conduce la apropierea capetelor A si B ale celor doua bare AC si BC, deci la imposibilitatea echilibrului.

In cazul sistemelor de corpuri aflate in echilibru si constituind sisteme nedeformabile, conditiile de echilibru generale (13) nu sunt suficiente. Atunci cand legaturile exterioare introduc mai multe necunoscute decat numarul de ecuatii scalare care se pot scrie din conditiile vectoriale (11) si (12) teorema solidificarii mai trebuie completata si cu o a doua teorema si anume teorema echilibrului partilor, adica

Daca un sistem de corpuri se afla in echilibru sub actiunea unui sistem de forte exterioare efectiv aplicate precum si a celor provenind din legaturile exterioare atunci orice parte din acest sistem va fi de asemenea in echilibru sub actiunea fortelor aferente acestei parti

Reciproca acestei teoreme nu este adevarata.

Pentru exemplificare se considera sistem de bare articulate, nedeformabil, reprezentat in fig. 3.c, cu legaturile exterioare formate din doua articulatii cilindrice in A si B care introduc fiecare cate doua necunoscute, in total 4, pentru care conditiile de echilibru ale solidului, conform teoremei solidificarii, dau doar trei ecuatii scalare, insuficiente pentru rezolvare.

Daca in decursul rezolvarii anumitor probleme de echilibru de sisteme de corpuri apar mai multe necunoscute decat numarul de ecuatii scrise atunci sunt necesare si ecuatii sau conditii suplimentare independente intre ele de natura geometrica sau chiar cinematica astfel incat problema sa devina static determinata.

SISTEME DE BARE ARTICULATE. GRINZI CU ZABRELE

Definitii. Ipoteze

Se numeste sistem articulat, un sistem de bare rigide legate intre ele prin articulatii, care mai poarta si numele de noduri.

Un sistem tipic de astfel de corpuri il reprezinta grinziile cu zabrele. Acest tip de constructie reprezinta una din cele mai practice solutii tehnice cat si economice in proiectarea podurilor, fermelor pentru acoperisuri, macaralelor, podurilor rulante, stalpilor pentru linii de inalta tensiune etc.

Grinziile cu zabrele sunt bare rigide drepte, legate intre ele prin imbinari nituite, sudate sau chiar monolit, cum este cazul grinzilor cu zabrele din beton armat. Grinzile cu zabrele pot fi plane sau spatiale, dupa cum nodurile de conexiune sunt situate in acelasi plan sau au o distributie spatiala.

Pentru a permite analiza practica si rezolvarea problemelor statice implicate pentru o grinda cu zabrele sunt necesare introducerea unor ipoteze simplificatoare:

a)     Legaturile rigide dintre diferite bare, (nodurile) se asimileaza cu articulatii cilindrice fara frecare, pentru grinzi plane, sau articulatii sferice fara frecare, pentru grinzi cu zabrele spatiale.

b)     Daca o grinda cu zabrele este plana atunci si fortele exterioare care o solicita, sunt coplanare cu grinda.

c)     Greutatile proprii ale barelor si nodurilor, in general, se considera neglijabile in comparatie cu sarcinile exterioare efectiv aplicate.

d)     Sarcinile exterioare se aplica numai nodurilor. In cazul in care greutatile proprii ale barelor care alcatuiesc grinda nu pot fi neglijate, acestea se repartizeaza tot in noduri, jumatate din greutatea barei in fiecare nod.

Consecinta ipotezei d), este ca in barele grinzii cu zabrele nu pot lua nastere decat eforturi axiale (de intindere sau de compresiune).

Intr-adevar, daca se considera bara AB izolata dintr-o grinda cu zabrele aflata in echilibru (fig. 4) si daca se presupune ca in cele doua articulatii actioneaza reactiunile si , ca rezultante ale tuturor fortelor concurente din aceste noduri, din ecuatiile de echilibru rezulta:

(14)

Rezulta ca , adica orice componenta perpendiculara pe bara AB este nula si deci ramane numai . Se obtin astfel doua forte egale si direct opuse ce actioneaza de-a lungul axei barei si care pot fi eforturi de intindere sau de compresiune (fig. 5,a).

La operatiile de determinare a eforturilor in barele unei grinzi cu zabrele se lucreza de obicei cu reactiunile din noduri (fig. 5,b), fiind mai comod sa se faca echilibrul nodurilor si nu echilibrul barelor.

Cele mai multe aplicatii practice se intalnesc la grinzile plane, solicitate de forte situate in planul acestora.

Pentru a-si indeplini functiile lor constructive, grinziile cu zabrele trebuie sa satisfaca si conditiile de indeformabilitate geometrica atat fata de grinda propriu-zisa cat si fata de corpurile exterioare de rezemare si sa fie in acelasi timp din punct de vedere static determinate.

Determinarea eforturilor in barele grinzii cu zabrele plane

Determinarea eforturilor in bare se compune din doua parti: determinarea reactiunilor din legaturile exterioare si apoi deterninarea eforturilor din bare.

Prima parte nu prezinta dificultati deoarece se presupune grinda ca un singur solid rigid, actionat de fortele exterioare efectiv aplicate si supus la legaturi.

Spre exemplu, grinda din fig. 6,a poate fi tratata ca si cand ar fi un singur solid rigid (fig. 6,b) solicitat de fortele si si avand ca legaturi exterioare articulatia din A si o simpla rezemare in B. Inlocuind legaturile cu forte de legatura, in virtutea axiomei legaturilor, si scriind ecuatiile de echilibru ale solidului, se vor putea determina reactiunile de legatura din A si B.

Determinarea eforturilor in bare se face dupa mai multe metode din care cele mai cunoscute sunt:

-metoda izolarii nodurilor;

-metoda grafica a planului Cremina;

-metoda sectiunilor a lui Ritter.

3.2.1. Metoda izolarii nodurilor

Daca sistemul articulat care constituie grinda cu zabrele este considerat ca un sistem de corpuri in echilibru inseamna ca fiecare parte care alcatuieste sistemul trebuie sa se gaseasca in echilibru sub actiunea fortelor aferente acelei parti, deci nodurile pot fi considerate ca parti apartinand solidului rigid.

Pentru a studia echilibrul unui astfel de nod se va proceda conform metodei generale, adica se va elibera de legaturi prin retezarea tuturor barelor si inlocuirea lor cu eforturi, care sunt de directii cunoscute dar de sensuri si marimi necunoscute. Pentru inceput se va considera ca toate aceste eforturi sunt de intindere, avand sensul de la nod spre mijlocul barei.

Fortele care actioneaza in nod fiind coplanare si concurente, rezulta ca pentru fiecare nod se vor scrie numai doua ecuatii de echilibru, putand determina numai doua necunoscute.

Se noteaza cu b numarul barelor si cu n numarul nodurilor sistemului articulat. Necunoscute sunt reactiunile din legaturile exterioare (trei pentru grinda plana) si eforturile din cele b bare, adica b 3 necunoscute. Se pot scrie 2 ecuatii de echilibru pentru fiecare nod, in total 2n ecuatii pentru n noduri.Conditia ca sistemul sa fie static determinat este ca numarul necunoscutelor sa fie egal cu numarul ecuatiilor:

sau

Ca aplicatie a metodei izolarii nodurilor se va considera grinda cu zabrele din fig. 7, care este articulata in A, simplu rezemata in B, siactionata de doua forte P si 4P.

Determinarea eforturior in barele grinzii prin metoda izolarii nodurilor parcurge urmatoarele etape:

Se verifica conditia de compatibilitate:

Se determina reactiunile din legaturile exterioare prin aplicarea teoremei solidificarii:

Se izoleaza fiecare nod, introducand eforturi necunoscute in locul barelor. Eforturile, pentru inceput vor fi presupuse pozitive, adica de intindere (fig. 8). Se scriu ecuatiile de echilibru pentru fiecare nod in parte, dupa ce se alege un sistem de referinta general.

Apar trei ecuatii suplimentare, care nu contin eforturi necunoscute, lucru ce se datoreste aplicarii teoremei solidificarii pentru determinarea reactiunilor din legaturile exterioare. Aceste trei ecuatii suplimentare se utilizeaza pentru verificare. In fig. 9 sunt reprezentate sensurile reale ale eforturilor din barele grinzii. Se observa ca bara 7, al carui efort este nul, poate fi suprimata, grinda ramanand in continuare static determinata.

3.2.2. Metoda sectiunilor a lui Ritter

Metoda se bazeaza pe teorema echilibrului partilor; de data aceasta grinda cu zabrele se divide in doua parti. Fiecare din aceste parti trebuie sa fie in echilibru sub actiunea fortelor exterioare efectiv aplicate partii respective precum si a eforturilor din barele sectionate.

Deoarece, pentru o grinda plana solicitata de forte coplanare cu grinda, se pot scrie numai trei ecuatii de echilibru, sectiunea nu trebuie sa traverseze mai mult de trei bare, care sa nu fie toate paralele si nici toate concurente.

Ca aplicatie se va considera grinda analizatala care se cere sa se determine eforturile din barele 4,5 si 6, prin care trece sectiunea Z - Z. Se scriu ecuatiile de echilibru pentru partea dreapta de grinda (care a fost aleator aleasa) asupra careia actioneaza fortele precum si eforturile si , care, se considera pentru inceput de intindere, fig, 110, obtinandu-se:

Prin rezolvarea acestui sistem se vor obtine aceleasi rezultate cunoscute deja, adica :

Aceasta metoda, utilizata in special pentru verificare, permite determinarea eforturilor intr-o anumita zona a grinzii sau chiar dintr-o anumita bara fara a fi necesara determinarea eforturilor din toate barele grinzii.

TESTUL 4

Grinzile cn zabrele sunt:

a)     bare curbe, legate intre ele prin imbinari nituite sau chiar monolit;

b)     bare curbe, legate intre ele prin imbinari nituite, sudate sau chiar monolit, numite noduri;

c)     bare rigide drepte, legate intre ele prin imbinari nituite, sudate sau chiar monolit, numite noduri;

d)     barefrante, legate intre ele prin imbinari nituite, sudate sau chiar monolit, numite noduri;

e)     bare rigide frante, curbe sau drepte, legate intre ele prin imbinari nituite, sudate sau chiar monolit, numite noduri;

Sarcinile exterioare actioneaza:

a)     pe toata lungimea barei, ca forte uniform distribuite;

b)     oriunde pe lungimea barei ca forte concentrate;

c)     numai la mijlocul barei, ca forte concentrate;

d)     numai in noduri ca forte concentrate;

e)     numai in noduri ca forte distribuite.

Barele grinzi cu zabrele sunt solicitate la:

a)     numai la incovoiere;

b)     numai la rasucire;

c)     incovoiere si rasucire;

d)     incovoiere si axial;

e)     numai axial (intindere sau compresiune).

Metoda sectiunilor se bazeaza pe:

a)     teorema echilibrului partilor;

b)     teorema momentelor;

c)     teorema solidificarii;

d)     teorema momentelor statice;

e)     teorema izolarii nodurilor.

Conditia ca o grinda cu zabrele plana sa fie static determinata este ca intre numarul barelor b si numarul nodurilor n sa existe relatia:

a)     b = 2n + 3;

b)     b = 2n - 3;

c)     b = 3 - 2n;

d)     2b = n - 3;

e)     2b = 3n - 1.