Statica grinzilor continue

STATICA GRINZILOR CONTINUE

1         Elemente si ansambluri structurale

Elementul de grinda continua (obisnuit, component al grinzilor continue plane) este elementul structural cu o dimensiune geometrica mult mai mare decat celelalte doua, lungimea L, cu momentul de inertie la incovoiere al sectiunii transversale, constant, I, constituit dintr-un material caracterizat de modulul de elasticitate, constant, E, la care deplasarile extremitatilor se produc, sub actiunea fortelor corespunzatoare, intr-un plan ce contine axa longitudinala (figura 1

Comportarea la deformare a elementului de grinda continua poate fi studiata prin raportarea parametrilor proprii, d₁, d₂, d_3, d_4, f₁, f₂, f₃, f₄ la un reper propriu, definit de axa x, dispusa longitudinal elementului si axa y, dispusa normal la axa longitudinala a acestuia (figura 1

Figura 1 Element de grinda continua in sistemul de axe propriu xy

Ecuatia de echilibru static a elementului de grinda continua aflata intr-un spatiu bidimensional (figura 1), stabilita prin metodele staticii structurilor, este data de relatia 1.1

 

sau in exprimare matriceala compacta, de forma (1.1)

 

unde: este matricea de rigiditate a elementului de grinda continua plana raportata la parametrii proprii d₁, d₂, d₃, d₄, f₁, f₂, f₃, f₄;

- vectorul deplasarilor extremitatilor elementului de grinda continua plana sau al parametrilor proprii principali d₁, d₂, d₃, d₄;

- vectorul fortelor ce actioneaza la extremitatile elementului de grinda continua plana sau al parametrilor proprii secundari f₁, f₂, f₃, f

Structurile tip grinda continua se organizeaza dupa o directie, obisnuit deformandu-se intr-un plan (figura 2); se pot imagina si grinzi continue care se pot deforma in spatiu.

Figrura 2 Grinda continua plana in sistemul de axe structural XY

Pentru fiecare nod i al unei grinzi continue plane se definesc cate doi parametri principali D_2i-1 si D_2i, primul diind definit ca translatie dupa a doua axa a reperului structurii (obisniut Y) si al doilea ca rotire in planul reperului structurii (obisnuit XY); pentru o structura cu n noduri se definesc 2n parametri principali. Parametrii secundari corespunzatori sunt fortele nodale F_2i-1 si F_2i; pentru o structura cu n noduri se definesc 2n parametri secundari. Parametrii sunt pozitivi daca vectorii ce ii definesc au acelasi sens cu sensul pozitiv al axei cu care sunt paraleli sau rotesc in sens antiorar. Din aceste considerente se poate aprecia ca ecuatia de echilibru mecanic a structurii plane va fi constituita din 2n ecuatii.

Compatibilitatea deplasarilor extremitatilor elementului cu deplasarile nodurilor de conectare ale structurii este asigurata.

2         Statica matriceala clasica pentru analiza grinzilor continue plane

2.1     Ecuatia matriceala de echilibru static a elementului de grinda cotinua

Stabilirea ecuatiei matriceale de echilibru static, pentru elemental structural curent e al unei grinzi continue, implica parcurgerea unui proces etapizat.

Etapa 1.1. Stabilirea ecuatiei maticeale de echilibru static prin raportare la parametrii proprii, cu proiectia acestora in sistemul de referinta propriu xy, (in aceasta etapa notatiile utilizeaza minuscule si indicele p pentru sistemul de referinta propriu), relatia E1.1,

            

sau                                                        (E1.1)

Etapa 1.2. Stabilirea ecuatiei matriceale de echilibru static prin raportare la parametrii structurali aferenti, cu proiectia acestora in sistemul de referinta unic XY (in aceasta etapa notatiile utilizeaza majuscule si indicele S pentru sistemul de referinta structural , relatia E1.2,

sau                                                        (E1.2)

unde, indicele inferior e arata apartenenta parametrului la elementul curent, iar indicele superior e cota parte corespunzand elementului curent.

Parametrii proprii ai extremitatilor elementului plan de grinda continua sunt proiectati pe directiile parametrilor structurali aferenti ai nodurilor de conectare cu ajutorul matricei de transformare prin rotire T, care are ca elemente componente cosinsul director al axei proprii (x) definit functie de reperul structurii (XY). In acest caz matricea de transformare prin rotire este de forma:

unde: α este unghiul masurat, in sens pozitiv, de la axa de referinta X catre axa de referinta x (antiorar).

Matricea T este o matrice ortogonala si are proprietatea ca inversa este identica cu transpusa:

Relatiile de legatura dintre parametrii proprii si parametrii structurali aferenti  sunt:

                     

care, inlocuite in relatia E1.1 si operat corespnzator, conduc la stabilirea matricei de rigiditate a elementului de grinda continua raportata la parametrii structurali aferenti:

Unghiul α poate fi ales totdeauna egal cu zero, prin faptul ca totdeauna poate fi gasit un sistem de referinta al structurii unic (XY) care sa coincida cu sistemul propriu al fiecarui element de grinda continua (xy).

Etapa 1.3. Stabilirea ecuatiei matriceale de echilbru static prin raportare la parametrii structurii, obtinuta prin completarea cu ecuatii fictive corespunzatoare parametrilor structurii ce nu sunt aferenti sau nu apartin elementului de grinda continua (in aceasta etapa notatiile utilizeaza majuscule sau indici referitori la apartenenta la elementul curent):

sau                                          (E1.3)

unde: [K] este matricea de rigiditatea a elementului de grinda continua raportata la parametrii structurali.

2.1     Analiza statica a grinzii continue plane

Enuntarea problemei: Sa se efecteze analiza statica a grinzii continue plane (determinarea deplasarilor, fortelor din reazeme si eforturilor din elemente), schema statica, caracteristicile geometrice si mecanice, precum si incarcarile fiind precizate pe figura 3.

Figura 3 Structura de grinda continua si modelul discret corespunzator

Rezolvarea problemei

Aplicatia utilizeaza notatii pentru variabile si operatori corespunzand programului de calcul matematic Mathcad (simbolul := are intelesul de atribuire).

Etapa 1, stabilirea ecuatiei maticeale de echilibru static pentru fiecare element de grinda continua

Element de grinda continua 1 (figura 1)

Figura 1 Parametri si sisteme de referinta pentru elementul de grinda continua 1

Etapa 1.1 - prin raportare la parametrii proprii:

Etapa 1.2 - prin raportare la parametrii structurali aferenti:

Etapa 1.3 - prin raportare la parametrii structurali:

Element de grinda continua 2 (figura 2)

Figura 2 Parametri si sisteme de referinta pentru elementul de grinda continua 2

Etapa 1.1 - prin raportare la parametrii proprii:

Etapa 1.2 - prin raportare la parametrii structurali aferenti:

Etapa 1.3 - prin raportare la parametrii structurali:

Element de grinda continua 3 (figura 3)

Figura 3 Parametri si sisteme de referinta pentru elementul de grinda continua 3

Etapa 1.1 - prin raportare la parametrii proprii:

Etapa 1.2 - prin raportare la parametrii structurali aferenti:

Etapa 1.3 - prin raportare la parametrii structurali:

Etapa 2 stabilirea ecuatiei matriceale de echilibru static a structurii:

Etapa 3 introducerea conditiilor la limita (cl):

                  

Etapa 4, determinarea deplasarilor necunoscute (nec):

- generarea vectorului deplasarilor:

Etapa 5 (auxiliara), determinarea fortelor din reazeme:

- generarea vectorului fortelor:

Etapa 6 (auxiliara), determinarea eforturilor din bare:

Element de grinda continua 1

Element de grinda continua 2

Element de grinda continua 3

3         Stabilirea prin MEF a ecuatiei matriceale de echilibru static

a elementului de grinda continua plan cu raportare la parametrii proprii

In MEF, stabilirea ecuatiei matriceale de echilibru static raportata la parametrii proprii, pentru elementul de grinda continua, implica un proces de calcul etapizat.

Etapa 1.1.1. Identificarea problemei.

Fie elementul plan de grinda continua de lungime L, caracterizata de momentul de inertie al sectiuni transversale, constanta I, si modulul de elasticitate, constant E, cu axa proprie x orientata pozitiv de la extremitatea 1 catre extremitatea 2, deplasarile si fortele actionand la extremitatile sale (figura 5).

Figura 5 Definirea elementului de grinda continua ca element finit

Problema consta in gasirea, in sistemul propriu de referinta, a unei relatii de legatura, intre parametrii principali, deplasarile extremitatilor barei continue d₁, d₂, d₃, d₄ si parametrii secundari, fortele corespunzatoare f₁, f₂, f₃, f₄, de forma data de relatia E1.1.1.

                       (E1.1.1)

Etapa 1.1.2: gasirea functiei, convenabile, de aproximare a deplasarilor d(x).

Se face ipoteza ca pe toata lungimea elementului plan de grinda continua deplasarea transversala d(x) este data de o functie cu variatie cubica (polinomiala), iar rotirea θ(x) este data de o functie obtinuta prin derivarea functiei deplasare transversala, totul putandu-se scrie simultan in forma matriceala, data de relatia E1.1.2

sau compact, de forma:                  (E1.1.2)

unde:   este matricea functiilor de aproximare;

sunt coordonatele generalizate ale deplasarilor.

Etapa 1.1.3. Stabilirea relatiei matriceale dintre deplasarile punctuale d(x) si deplasarile extremitatilor elementului plan de grinda continua d₁, d₂, d₃, d

Se face afirmatia ca relatia E1.1.2 este valabila, inclusiv in extremitatile elementului plan de grinda continua si aceasta se poate scrie simultan sub forma matriceala:

de unde rezulta:

care prin inlocuire in relatia E1.1.2 conduce la relatia E1.1.3

sau in forma compacta                   (E1.1.3)

unde N₁(x), N₂(x), N₃(x), N₄(x) sunt functiile de forma ale elementului plan de grinda continua si pentru cazul in care originea sistemului de referinta propriu se alege in prima extremitate (x₁=0, x₂=L sunt date de relatiile:

Functiile de forma sunt functii de pondere, avand proprietatea de a lua valoare maxima (unitara) in extremitatea in care actioneaza parametrul principal aferent, restul functiilor de forma, aferente celorlalati parametri principali, avand valoare minima (zero); suma tuturor functiilor de forma are valoare unitara.

In implementarea pe calculator a programelor bazate pe metoda elementului finit este importanta exprimarea functiei deplasarilor prin intermediul functiilor de forma.

Etapa 1.1. Stabilirea relatiei matriceale dintre deformatia specifica punctuala, si deplasarile extremitatilor elementului plan de grinda continua d₁, d₂, d₃, d

Se pleaca de la definitia deformatiei specifice din rezistenta materialelor aplicata elementului plan de grinda continua, relatia E1.1.4

sau in forma compacta                   (E1.1.4)

unde:

Etapa 1.1.5. Stabilirea relatiei matriceale dintre momentul sectiuniisi deplasarile extremitatilor elementului plan de grinda continua d₁, d₂, d₃, d

Se pleaca de la definirea deformarii elastice din rezistenta materialelor aplicata elementului plan de grinda continua, relatia E1.1.5

sau in forma compacta                   (E1.1.5)

Etapa 1.1.6. Stabilirea relatiei matriceale dintre deplasarile extremitatilor elementului plan de grinda continua d₁, d₂, d₃, d₄ si fortele corespunzatoare f₁, f₂, f₃, f

Se pleaca de la definitia lucrului mecanic, exprimarea in deplasari virtuale (aplicat pe toata lungimea elementului de grinda continua), pentru cel interior:

respectiv exterior:

si se impune egalitatea lor, pentru existenta echilibrului mecanic (L_int, L_ext

Dupa egalarea celor doi termeni si efectuarea simplificarilor (considerand ca nu toate deplasarile virtuale sunt egale cu zero), se obtine relatia E1.1.6

sau in forma compacta                   (E1.1.6)

                                    

ceea ce coincide cu relatia E1.1.1 si care trebuia gasita.

Integrala ce defineste matricea de rigiditate poate fi rezolvata fie aproximativ, prin integrare numerica dupa o directie, fie exact (si in aceasta situatie este posibil), prin inlocuirea termenilor si efectuarea operatiilor indicate, in final obtinandu-se:

Ecuatia de echilibru static de mai sus este identica cu cea cunoscuta din statica matriceala clasica (1.1). In felul acesta elementul structural de tip grinda plana continua devine element finit de tip grinda plana continua, din categoria elementelor finite unidimensionale (1D).

In programele de calcul bazate pe metoda elementelor finite acest tip de element se obtine prin particularizarea elementului finit de tip bara de cadru plan la care se elimina parametrii ce se manifesta pe directia longitudinala a barei.