Absorbtia datorata tranzitiilor in interiorul aceleiasi benzi

ABSORBTIA DATORATA TRANZITIILOR IN INTERIORUL ACELEIASI BENZI

1.ABSORBTIA PE PURTATORI LIBERI

Pentru a studia acest tip de absorbtie se vor analiza pe scurt fenomenele de dispersie in semiconductori.

Teoria dispersiei explica spectrele constantelor optice pe baza unui model al fenomenelor microfazice de interactiune lumina-materie. Modelul teoriei clasice a dispersiei (Lorenz) porneste de la miscarea unei particule de masa m si sarcina e in campul unei luminoase. Cu exceptia cazului vibratiilor retelei cristaline particula care interactioneaza cu unda luminoasa este electronul.

Pentru electronii de valenta ,teoria clasica a dispersiei pleaca de la idea ca acestia se afla sub actiunea unei forte elastice (de legatura) proportionala cu deplasarea din pozitia de echilibru, a unei forte de amortizare proportionala cu viteza si a fortei Lorentz in campul electromagnetic al undei luminoase .Deoarece ( fiind viteza particulei ),forta Lorentz devine ;Rezulta deci ca electronul se afla practice doar sub actiunea campului electric. Ecuatia de miscare este ecuatia unui oscilator armonic amortizat cu frecventa proprie care executa oscilatii fortate in campul electric sinusoidal:

, (65)

Solutia acestei ecuatii este de forma sinusoidala cu frecventa campului, avand amplitudinea:

, (66)

Daca densitatea electronica de valenta este N, polarizabilitatea se va putea scrie astfel:

, (67)

Iar constanta dielectrica:

(68)

Din relatia(68) se pot deduce cu usurinta expresiile:

, (69)

, (70)

In functie de frecventa undei luminoase se intalnesc urmatuoarele cazuri:

a). La frecvente mici ale undei incidente ,cand ,relatiile (69) si (70) devin:

; , . (71)

Se poate observa ca in aceste conditii nu exista absorbtie datorata electronilor de valenta iar indicele de refractie este real si mai mare decat 1.

b).La o frecventa egala cu frecventa de rezonanta, adica , se vede ca marimea atinge o valoare maxima , deci conductivitatea electrica este

18

maxima

, . (72)

c).La frecventa , relatiile(69) si (70) devin:

, , (73)

avand dimensiunile unei frecvente , reprezinta semilargimea maximului conductivitatii.

Maximul idicelui de absorbtie, la absorbtie puternica se afla la frecventa:

. (74)

Forma mai generala a ecuatiei (69) este:

, (75)

in care se pune E=1 cand se are in vedere banda de absorbtie de frecventa cea mai mare (banda fundamentala) si , unde , este valoarea constanta a indicelui de refractie, la frecvente mult mai mici decat a benzii fundametale, adica in domeniul de transparenta.In acest domeniu indicele de absorbtie χ este neglijabil fata de n si (69) devine:

, (76)

care este expresia dispersiei normale.

Rezultatele unui tratament cuantic privind teoria dispersiei sunt in concordanta foarte buna cu cele aratate mai sus.

La semiconductorii elementari , unde exista o singura banda puternica de absorbtie corespunzatoare tranzitiilor din banda de valenta in banda de conductie , la frecvente mai mici decat cea a pragului principal de absorbtie , dispersia merge dupa relatia (76) corespunzatoare cazului (a) discutat. Expresia este proportionala cu . La Ge datele experimentale se aseaza pe o dreapta din care panta se scoate :

. (77)

La semiconductorii compusi, unde fortele de legatura ala retelei cristaline au si un caracter ionic pronuntat, mai exista inca o banda de absorbtie situata la frecvente mici care se datoreaza vibratiilor retelei. In acest caz, in regiunea cuprinsa intre cele doua benzi de absorbtie, dispersia

19

este data de o ecuatie aproximativa cu doi termini:

. (78)

In formulele de dispersie date mai sus este cuprins si cazul particular al electronilor liberi, pentru care , deoarece in ecuatia lor de miscare nu intervin forte elastice de legatura ; se poate spune ca electronii liberi au frecventa de rezonanta zero. Membrul doi al ecuatiei (69) devine negativ. Electronii liberi produc o micsorare a polarizarii, intrucat la amortizare mica, din cauza inertiei ei oscileaza defazat fata de campul electric. Relatiile (70) si (75) devin:

; (79)

. (80)

Din punctual de vedere al mecanicii cuantice, electronii ce se misca in campul perfect periodic al retelei cristaline ideale nu pot absorbi radiatie. Interdictia dispare in prezenta pertubarii produse de vibratiile retelei; in aceste conditii exista absorbtie. Ecuatia de miscare a electronului liber in campul electric este :

; (81)

, (82)

unde μ este mobilitatea electronului la frecventa respective. Inlocuind (82) in (81), se obtine:

. (83)

Ecuatia (80) devine:

. (84)

Daca se foloseste (13) precum si relatia , unde este conductivitatea semiconductorului, (84) va capata forma:

. (85)

Absorbtia pe purtatorii liberi incepe sa conteze la lungimi de unda mari, dincolo de pragul principal de absorbtie. Pentru un singur tip de purtatori

20

liberi, de exemplu electroni, (tinand seama de faptul ca la lungimi de unda la care absorbtia datorata acestora, indicele de refractie este practice constant), se poate scrie pentru coeficientul de absorbtie α :

, . (86)

Se poate urmari experimental proportionalitatea absorbtiei pe purtatori liberi cu concentratia acestora, modificand concentratia prin injectie, prin extractie sau efect fotoelectric. Daca , rezulta ca absorbtia creste proportional cu patratul lungimii de unda , ceea ce s-a gasit si experimental, prin masurarea absorbtiei pe purtatori liberi la lungimi de unda mai mici ca aceea corespunzatoare absorbtiei fundamentae (aceste lungimi de unda cad in infrarosu).

In calculul semiclasic exact al lui α trebuie sa tina seama si de mecanismul de imprastiere al purtatorilr de sarcina. In acest caz relatia (86) este multiplicata in final cu un factor de corectie , unde este timpul de relaxare.

Daca exista ambele tipuri de purtatori, electroni si goluri, conform teoriei clasice a absorbtiei, coeficientul de absorbtie α se va putea scrie sub forma:

. (87)

In expresia (87) intramasele efective ale electronului si golului, respective si , care pot fi determinate prim masurarea coeficientului de absorbtie. Metoda a fost folosita de Moss, Spitzer si Fan.

Din punctual de vedere al mecanici cuantice, fenomenu care sta la baza absorbtiei pe purtatori liberi este interactiunea unui purtator liber cu un fonon, prin care electronul executa o tranzitie indirecta in interiorul aceleiasi benzi. Rezultatul teoriei cunatice arata ca intensitatea oscilatorului este indentica cu raportul dintre masa electronului liber si masa lui efectiva, astfel ca teoria cunatica poate fi redusa la teoria clasica Drude-Zener.

2. TRANZITII INTRABANDA

In cazul in cand banda de valenta sau banda de conductie sunt formate din mai multe subbenzi , la iluminare, purtatorii liberi pot efectua tranzitii intre aceste subbenzi sau tranzitii intrabanda.

Tranzitiile intrabanda se produc prin ineractiunea electron-foton, a carei probabilitati este mai mare decat cea a tranzatiilor electron-foton-fonon de la absorbtia pe purtatorii liberi, determinanad un coeficient de absorbtie mai mare. Absorbtia datorita tranzatiilor intrabanda este insa mult mai slaba decat cea a tranzatiilor banda-banda, deoarece numarul purtatorilor liberi este mult mai mic decat numarul electronilor din banda de valenta. Din acest motiv tranzatiile intrabanda se pot observa doar la lungimi de unda mai mici decat pragul principal de absorbtie.

Primele masuratori experimentale au fost efectuate asupra Ge de tip p; in acest caz s-a pus in evidenta proportionalitatea absorbtiei intrabanda cu concetratia golurilor libere. La variatia concentratiei golurilor prin dopare, tot astfel s-ar comporta si absorbtia produsa de acceptori. Mai tarziu s-au facut experiente in care s-a modificat doar concentratia golurilor (prin injrctie si prin efect fotoelectric) fara modificare paralela a concentratiei acceptorilor, dovedindu-se in acest mod ca absorbtia se datoreaza intr-adevar golurilor libere.

Experientele de rezonanta ciclotron au aratat existenta a doua subbenzi de valenta, cu mase efective diferite, cu maximul in centrul zonei Brillouin

; cele doua maxime coincid (degenerare). Cu ajutorul acestui tip de experiente se poate pune in evidenta o subbanda numai daca o extrema a ei coincide cu limita benzii, adica numai daca exista degenerare. Astfel, la temperaturi scazute la care se fac experientele de rezonanta, subbanda nu este suficient ocupata. Cum numai aceste doua subbenzi nu puteau explica forma spectrului de absorbtie, Kane a presupus pe baza unui rationament teoretic ca exista si o a treia subbanda, al carei maxim se afla, pentru potrivirea cu experienta, la cu 0 eV sub marginea benzii.Kane a calculate ca aceasta a treia banda rezulta si din dezvoltarea benzilor din functiile de unda atomice, tinand seama de interactiunea spin-orbita.

Calculul absorbtiei datorat tranzatiilor intrabanda se poate face ca pentru tranzatiile banda-banda, cu deosebire ca in cazul subbenzilor starile finale nu sunt toate libere, si nici starile initiale nu sunt toate ocupate, distantele energetice fiind mici; starile finale sunt partial ocupate prin excitarea termica, iar cele initiale partial libere. In aceasta situatie, probabilitatea emisiei induse este considerabila si din numarul cuantelor absorbite trebuie scazute cele emise.

In cazul simplu al benzilor parabolice, coeficientul de absorbtie este proportional cu concentratia totala a purtatorilor din banda.

La tranzatiile premise la , coeficientul de absorbtie variaza proportional cu , iar la tranzatiile interzise (cazul tranzatiilor intre subbenzi 1-2 in Ge de tip p), α .Variaza proportional cu .

Absorbtia creste exponential cu temperatura (mai creste si prin intermediul concentratiei N, dar aceasta variatie este neglijabila).

ABSORBTIA PE NIVELE DE IMPURITATI

Radiatia incidenta de o anumita frecventa poate provoca tranzitii optice pe si de pe centrale de impuritate dintr-un semiconductor ; ca urmare vor apare spectre continue si largi, care se intind pana la limita principala de absorbtie.

Deoarece centrii de impuritate au stari excitate (impuritatile din grupele III si V in Si si Ge), au serii asemanatoare cu acelea ale hidrogenului, tranzitia purtatorilor din starea fundamentala in una din starile excitate ale unui centru de impuritate, sub actiunea unui fonon, conduce la o linie spectrala de absorbtie.

In majoritatea semiconductorilor starile donoare si acceptoare se asaza foarte aproape de benzile de conductie si valenta, asa incat absorbtia corespunzatoare acestor stari, trebuie sa aiba loc in infrarosu foarte indepartat. In Ge , de exemplu, starile fundamentale corespunzatoare donorilor din grupa III se gasesc la 0,01 eV sub marginea benzii de conductie, ceea ce inseamna ca limita de ionizare trebuie sa fie de aproximativ 100 μm . In cazul Si, starile fundamentale pentru donorii din grupa III se gasesc la aproximativ 0 eV sub banda de conductie, absorbtia intinzandu-se in acest fel pe o mare parte accesibila a spectrului.

Absorbtia pe impuritati ar trebui de asemenea sa aiba loc in urma tranzatiilor de la banda de valenta la nivelele donoare goale aflate langa banda de conductie; in mod similar, ar trebui sa aiba loc absorbtia corespunzatoare excitarii purtarilor de pe nivelele acceptoare ocupate, care se afla langa banda de valenta, in banda de conductie. In general, absorbtia de acest tip este foarte slaba in afara de cazul cand concetratia impuritatilor este ridicata si va fi aproape intotdeauna mascata de absorbtia pe purtatorii liberi. Experientele pentru determinarea formei marginii absorbtiei fundamentale se fac in general in cristale de inalta puritate unde absorbtia discutata mai sus nu apare.

De notat faptul ca spectrul absorbtiei pe impuritati va contine o serie de linii in aproximativ aceeasi pozitie in care ar trebui sa se aseze liniile excitonice.

Pentru a gasi adancimea nivelelor de impuritate, experientele de absorbtie se fac la temperature joase, pentru ca nivelele sa mai fie inca neionizate; se obtin in acest fel linii de absorbtie a caror pozitie spectrala corespunde asancimii nivelelor respective in banda interzisa si a caror intensitate este proportionala cu concentratia impuritatilor. Ordinul de marime al absorbtiei pe nivele de impuritate este de 10^-16 n .

ABSORBTIA PE VIBRATIILE RETELEI

In spectrul continuu de vibratie al retelei cristaline ies din evidenta anumite frecvente proprii.Evolutia constantelor optice in domeniulunor astfel de benzi selective poate fi reprezentata pe baza modelului oscilatorilor clasici. In asa-numita banda de absorbtie Restrahlen intervine ramura optica transversala a vibratiilor retelei (fononi) cu λ= adica cu vectorul de unda al fononului egal cu zero. Numai aceasta poate interactiona direct cu electronul. Celalalte vibratii iau parte la absorbtie in procese cu doi fononi, care au loc cu o probabilitate mult mai mica. Absorbtia puternica a benzii Restrahlen se datoreste si faptului ca densitatea de stari a energiei vibratiilor retelei este foarte mare la .

Banda Restrahlen nu este tipica pentru semiconductori ci pentru cristalele ionice. Vibratiile retelei sunt optoc active numai atunci cand in legatura cristalina intra momente dipolare de ordinal I. Semiconductorii elementary tipici din grupa a patra (Ge, Si, si diamantul) au legatura cristalina homopolara. Vibratiile retelei sunt activate optic numai prin anumite perturbari ale retelei sau prin momente electrice de ordin superior. Indicele de absorbtie datorat vibratiilor retelei este pentru Ge de ≈ 6x10^-3 cm^-1 .

O absorbtie atat de slaba a putut fi observata numai datorita faptului ca la lungimile de unda respective (15-35 μm) ea nu este mascata de absorbtia produsa de vreun alt mechanism. Indicele de refractie nu este deloc influentat de o absorbtie atat de slaba ; in domeniul spectral considerat, el are valoare corespunzatoare constantei dielectrice statice, deoarece la lungimi de unda mai mari nu mai apare o alta absorbtie. Corespunzator, factorul de reflexive este si el constant in acest domeniu.

Mai interesanti din punctual de vedere al constantelor optice in domeniul interactiunii cu vibratiile retelei sunt compusii semiconductori unde reteaua are o legatura partiala polara (ionica). Vibratia principala a retelei (oscilatia traversala relativa a celor doi atomi vecini diferiti) care are un moment dipolar relative mare, duce la o absorbtie puternica (, valoarea care depaseste pe cea din domeniul absorbtiei fundamentale).

Indicele de refractie variaza si el conform teoriei dispersiei cu o frecventa de rezonanta precisa. Factorul de reflexie variaza de asemenea puternic , dand un maxim ascutit de frecventa de rezonanta. Fenomenul este cunoscut de la halogenurile alcaline, care se folosesc in practica pentru realizarea unor filtre de reflexie.