Analiza unui semnal dreptunghiular

Analiza unui semnal dreptunghiular

Definitie

Este cunoscut faptul ca orice semnal periodic (ce se repeta in timp) ne-sinusoidal poate fi reprezentat ca si combinatie de semnale continue, sinusoidale si/sau cosinusoidale (semnal sinusoidal defazat cu 90 de grade) de frecvente si amplitudini variate. Acest lucru este perfect valabil indiferent cat de "ciudat" sau "contorsionat" ar parea semnalul analizat. Atata timp cat este periodic, se poate reduce la tipul de combinatii prezentate mai sus. Intr-un caz particular, formele de unda dreptunghiulare sunt echivalente din punct de vedere matematic cu suma unui semnal sinusoidal fundamental, de o anumita frecventa, plus o serie infinita de multiplii impari ai frecventei fundamentale cu amplitudini descrescatoare.

Exemplu

Acest adevar, perfect demonstrabil, al formelor de unda pare greu de crezut. Totusi, daca o forma de unda dreptunghiulara este de fapt o serie infinita de armonici sinusoidale adunate impreuna, ar trebui sa putem demonstra acest lucru insumand cateva armonici sinusoidale si obtinand o aproximare a semnalului dreptunghiular. Vom incerca sa facem acest lucru in continuare.

Circuitul considerat consta din cinci surse de tensiune, de amplitudini si frecvente diferite, conectate in serie. Armonicele considerate sunt: cea fundamentala (prima) la o frecventa de 50 Hz, armonica a 3-a (3*50 = 150 Hz), a 5-a, a 7-a si a 9-a (9*50 = 450 Hz). Amplitudinile semnalelor nu sunt nici ele aleatoare, ci, constau din fractia 4/π inmultita cu fractiile 1 (4/π*1 = 4/π V), 1/3, 1/5, 1/7 si 1/9 (4/π*1/9 =4/9π V) , in functie de armonica corespunzatoare.

Frecventa fundamentala

Primul grafic reprezinta tocmai frecventa fundamentala, la 50 Hz si amplitudine de 4/π, adica aproximativ 1,27 V.

Armonica a 3-a

In urmatorul grafic, vom vedea ce se intampla cu acest semnal sinusoidal pur atunci cand il combinam cu armonica a 3-a (150 Hz). Din acest moment, nu mai seamana cu un semnal sinusoidal pur (semnalul combinat este cel cu rosu). Panta formei de unda la intersectia cu axa orizontala a timpului este mult mai mare acum, semn ca forma de unda initiala se apropie de cea dreptunghiulara.

Armonica a 5-a

Sa adaugam in continuare si armonica a 5-a pe grafic.

Armonica a 5-a (250 Hz) este reprezentata pe graficul alaturat cu albastru, iar efectele combinate a celor doua armonici cu fundamentale sunt reprezentate cu rosu.

Putem observa cum varful formei de unda s-a aplatizat fata de situatia initiala, iar panta a crescut si mai mult fata de cazul precedent.

Armonica a 7-a si a 9-a

Adaugam pe rand si armonicele a 7-a,

respectiv a 9-a.

Efecte asupra circuitelor

Rezultatul insumarii celor 5 armonici, cu amplitudinile de rigoare, reprezinta o aproximare destul de buna a unui semnal dreptunghiular. Scopul acestui exemplu a fost ilustrarea modului de construire a unui semnal dreptunghiular folosind semnale sinusoidale multiple la frecvente diferite pentru a demonstra faptul ca un semnal pur dreptunghiular este intr-adevar echivalent cu o serie de semnale sinusoidale. Atunci cand se aplica un semnal dreptunghiular intr-un circuit ce contine elemente reactive (condensatoare si/sau bobine), acele componente se comporta ca si cum am fi aplicat mai multe tensiuni de frecvente diferite in acelasi timp, ceea ce de fapt am si facut.

Analiza Fourier

Faptul ca semnalele ne-sinusoidale periodice sunt echivalente cu o serie de semnale de curent continuu, sinusoidale si/sau cosinusoidale este o consecinta intrinseca a modului de "functionare" al semnalelor: o proprietate fundamentala a tuturor formelor de unda, indiferent ca sunt electrice sau mecanice. Procesul matematic de reducere a acestor forme de unda ne-sinusoildale ca suma a componentelor sale la frecvente si amplitudini diferite, poarta numele de analiza Fourier, fiind un proces destul de complicat. Analiza Fourier este in schimb usor de implementat cu ajutorul unui calculator si un algoritm numit transformata Fourier, ceea ce vom incerca sa facem in continuare.

Sa luam din nou exemplul semnalului dreptunghiular, simetric, cu amplitudinea de 1 V.

In graficul alaturat, formele de unda sunt impartite in functie de frecventele lor sinusoidale, pana la armonica a 9-a. Amplitudinile armonicilor pare sunt aproximativ zero, iar a celor impare descresc de la 1 la 9 (prima este cea mai mare, ultima cea mai mica).

Analiza spectrala

Un dispozitiv construit special pentru afisarea - nu si controlul - amplitudinii fiecarei frecvente a unui semnal format din mai multe frecvente, se numeste analizor spectral, iar procesul de analiza a unui semnal in acest mod, poarta numele de analiza spectrala

Desi poate parea ciudat, orice forma de unda periodica ne-sinusoidala este de fapt echivalenta cu suma unei serii de unde sinusoidale de frecvente si amplitudini diferite. Formele dreptunghiulare sunt doar un singur caz, dar nu unicul.