Analogia ca metoda de cercetare

Analogia ca metoda de cercetare

Similitudinea e o metoda prin care se cerceteaza un fenomen prin altul avand aceeasi natura fizica, dar la o scara geometrica mai convenabila. De exemplu, se fac machete pentru profilul aripei de avion in tunel aerodinamic, machete pentru baraje, dar si pentru schimbatoare de caldura, etc.

Analogia modeleaza un fenomen prin altul, care are natura fizica diferita, dar comportarea lor e descrisa prin ecuatii integro-diferentiale similare. Este larg utilizata modelarea prin circuite electrice a unor fenomene de curgere a fluidelor, de transfer al caldurii, la care analogia e evidenta: diferenta de potential (tensiunea) corespunde diferentei de presiune, respectiv diferentei de temperatura, iar curentul corespunde debitului de fluid, respectiv fluxului termic. Se si definesc rezistente hidraulice, respectiv termice.

Pentru a se recurge la modele de alta natura fizica, trebuie sa existe argumente. Modelele electrice sunt ieftine, permit masurari si inregistrari simple si de mare precizie, se preteaza la transmiterea la distanta a informatiei.

Mai putin evidente sunt analogiile electromecanice. Sistemul mecanic din figura 8.24a are un corp de masa m care, sub actiunea fortei F(t), culiseaza cu coeficientul de frecare vascoasa (forta de frecare e considerata proportionala cu viteza ). Corpul e retinut de un resort cu constanta elastica k.

Fig. 8.24

Rezultanta fortelor accelereaza corpul dupa ecuatia:

. (8.50)

O ecuatie integro-diferentiala similara descrie functionarea circuitului R, L, C serie din figura 8.24b:

, (8.51)

cu conditia proportionalitatii coeficientilor:

(8.52)

Fiind necunoscuta evolutia vitezei v(t), etapele cercetarii sunt urmatoarele:

a) se alege in mod convenabil raportul si se realizeaza circuitul R, L, C serie avand:

b) cu ajutorul unui generator special, se aplica o tensiune, in general valabila in timp, proportionala cu forta:

;

c) se inregistreaza variatia curentului i(t) si se trag concluzii asupra variatiei vitezei:

,

caci ecuatiile integro-diferentiale (8.50) si (8.51) au solutii proportionale.

Observatii

a) Daca se dispune de o sursa de curent corespunzatoare, circuitul R, L, C paralel poate reprezenta o optiune duala, caci ecuatia de functionare e similara:

.

O concluzie e ca si functionarea circuitului R, L, C paralel poate fi cercetata experimental pe schema sa duala din figura 8.24b.

b) Analogia nu e o simpla speculatie matematica asupra proportionalitatii solutiilor unor ecuatii similare. Intre ecuatiile (8.50) si (8.51) exista profunde asemanari, tradand unitatea fizica dintre doua fenomene atat de diferite:

- masa m, respectiv inductivitatea L, cauzeaza inertia in mecanica, respectiv in circuite electrice;

- frecarea cu coeficientul si rezistenta R sunt elementele care disipa caldura;

- resortul cu constanta elastica k, respectiv condensatorul de capacitate C, acumuleaza static energie.

Aplicatii

Aplicatia 1

Intrerupatorul aflat in circuitul din figura 8.25a se inchide la si se deschide la Cunoscand , se cere variatia curentului i(t).

Fig. 8.25

Sunt de rezolvat doua regimuri tranzitorii:

a) Pentru , conditia initiala este , iar schema operationala e in figura 8.25b, cu scoasa din circuit.

Constanta de timp este .

b) Pentru , conditia initiala a bobinei este . Dupa comutarea de la , in schema operationala intra (fig. 8.25c).

In acest regim tranzitoriu, timpul masurat de la momentul comutatiei este

.

Curentul prin bobina, potrivit primei teoreme a comutatiei (8.1), este functie continua , iar. In a doua etapa, constanta de timp este

Graficul e prezentat in figura 8.26.

Fig. 2.26

Aplicatia 2

Sa se afle variatia tensiunilor si a curentilor in circuitul din figura 8.27a, la inchiderea intrerupatorului, daca: .

Tensiunile initiale pe condensatoare sunt:

Schema operationala din figura 8.27b are sursele fictive corespunzatoare acestor tensiuni initiale. Rezolvarea apeleaza la metoda potentialelor la noduri, luand ca potential de referinta .

Fig. 8.27

Analiza nodurilor se rezuma la noduri:

Cu solutia , se scrie legea lui Ohm pentru latura pentru a afla curentul prin latura:

Succesiv, se calculeaza si celelalte marimi cerute, iar pentru o parte se traseaza graficele din figura 8.28.

, caci

Se verifica a doua teorema a comutatiei (8.2), tensiunile pe condensatoare fiind functii continue.

Fig. 8.28

Aplicatia 3

Se cere variatia curentului , la deschiderea intrerupatorului in circuitul din figura 8.29. Se dau :

Schema operationala din figura 8.29b include doua surse fictive, corespunzand conditiilor initiale respectiv

Fig. 8.29

Coreland relatiile (8.21) si (8.29), se obtine functia original:

Graficul din fig. 8.30 respecta, pe abscisa, constanta de timp si perioada Curentul trece printr-o bobina, deci e o functie continua, conform relatiei (8.1).

Energia acumulata la in bobina si condensator:

e disipata in cele doua rezistoare:

Fig. 8.30

Aplicatia 4

In circuitul din figura 8.31a, comutatorul basculeaza la . Se cer curentii din circuit, daca E=12V, .

Fig. 8.31

In schema operationala (fig. 8.31b), se introduce sursa fictiva care corespunde conditiei initiale . Impedantele operationale R si sL sunt in paralel, iar rezultanta in serie cu , deci:

astfel ca relatiile (8.29) si (8.21) conduc la:

.

Curentul se afla cu relatia divizorului de curent:

Dintre cei trei, curentul prin bobina e fara discontinuitati, respectand prima teorema a comutatiei (8.1). Toti trei curentii au perioada si constanta de timp .

Energia acumulata la in campul electric al condensatorului, , se disipa in rezistor: .

Cei trei curenti sunt reprezentati in graficul din figura 8.32.

Fig. 8.32

Aplicatia 5

La inchiderea intrerupatorului in figura 8.33a, tensiunea pe condensator este . Care este expresia u(t) a acestei tensiuni si dupa cat timp devine 150V? Se dau

Fig. 8.33

Metoda I. Se aplica teniunea-test dipolului A-B (fig. 8.33b):

,

obtinandu-se rezistenta echivalenta a dipolului la borne:

,

negativa, fiindca dipolul e activ, datorita sursei comandate.

Buclei echivalente din figura 8.33c i se aplica teorema a doua a lui Kirchhoff:

Tensiunea u(t) creste nelimitat, daca nu intervin aparate de decuplare. Atinge valoarea de 150V dupa timpul

Metoda a II-a. Schema operationala din figura 8.33d, avand doar doua noduri, se rezolva cel mai avantajos printr-o singura ecuatie, teorema intai a lui Kirchhoff in nodul A:

,

primul termen, curentul in latura cu condensatorul, rezultand din legea lui Ohm.

Se obtine aceeasi solutie:

Variatia se prezinta in figura 8.34. Fig. 8.34

Aplicatia 6

In circuitul din figura 8.35a, comutatorul se inchide la momentul . Sa se calculeze curentii fiind cunoscute valorile:

.

Fig. 8.35

Circuitul are nod independent () si bucle independente (). Curentii anteriori comutatiei sunt:

Fluxurile totale prin bobine, anterior comutatiei (8.37):

permit intocmirea schemei operationale din figura 8.35b. S-au respectat concluziile paragrafului 8.5.3, figura 8.16b.

Teoremele lui Kirchhoff, date de relatiile (8.42) si (8.43), formeaza sistemul:

Solutiile numerice ale sistemului sunt:

Aplicand transformata Laplace inversa curentilor obtinuti, rezulta:

.

Cei doi curenti sunt reprezentati grafic in figura 8.36.

Fig. 8.36

Comutatia e fortata, curentii prezinta salturi la , astfel ca . Se verifica insa conditia continuitatii sumei fluxurilor bobinelor pentru bucle, potrivit relatiei (8.48):

Aplicatia 7

Se reia aplicatia 2 (fig. 8.27a), schimband locul intrerupatorului astfel ca la inchiderea acestuia sa aiba loc o comutatie fortata. In figura 8.37a, se dau . Se cer variatiile tensiunilor si .

Fig. 8.37

Inainte de comutatie:

Comutatia este fortata, deoarece:

deci condensatoarele incarcate se pun in paralel cu o sursa avand t.e.m. diferita de tensiunea la care sunt incarcate.

Schema operationala din figura 8.37b se intocmeste dupa precizarile de la paragraful 8.5.4. Se aplica metoda potentialelor nodurilor:

Cu valori numerice, se obtin tensiunile:

care dau functiile originale in timp:

Fig. 8.38

Reprezentarile grafice ale tensiunilor sunt in figura 8.38. Discontinuitatile (salturile) tensiunilor trebuie, la comutatia fortata, sa respecte relatia (8.49):

.

Intr-adevar:

Aplicatia 8

Doua experiente mai importante au permis lui M. Faraday formularea, in 1831, a legii inductiei electromagnetice. La una dintre ele, a infasurat doua bobine pe acelasi suport, intuind ca prin alimentarea uneia (in curent continuu) ar obtine o t.e.m. si un curent in circuitul bobinei a doua. A descoperit ca simpla prezenta a fluxului magnetic nu induce t.e.m. in bobina secundara, ci doar variatia acestuia (transformatorul nu functioneaza in curent continuu). Practic, aparatul de masura A din figurile 8.39a si 8.41a indica impulsuri (de semne contrare) numai la inchiderea, respectiv deschiderea intrerupatorului k.

a) Inchiderea intrerupatorului. Se cer variatiile celor doi curenti.

Fig. 8.39

Se dau: .

Conditii initiale nule: .

La comutatia fortata (fig. 8.40) trebuie sa se conserve fluxul total in bucle, (8.48):

Fig. 8.40

b) Deschiderea intrerupatorului. Schema operationala din figura 8.41b se bazeaza pe principiile de la paragraful 8.5.3, relatia (8.37).

Conditiile initiale fiind nenule:

in schema operationala apar doua surse fictive:

Fig. 8.41

Comutatia este fortata: curentii au salturi la , respectiv (fig. 8.42). Relatia (8.48), privind continuitatea fluxului magnetic total in bucle, se verifica:

Variatia brusca a curentului induce o t.e.m. infinita in bobina. In realitate, la o anumita valoare a t.e.m., spatiul dintre contactele intreruptorului k se strapunge. Arcul electric mai mentine circuitul inchis, curentul fiind functia continua desenata in figura 8.42 cu linie intrerupta.

Fig. 8.42