Circuite rezistiv-inductive serie. Impedanta.

Circuite rezistiv-inductive serie. Impedanta.

In sectiunile precedente, am vazut ce se intampla intr-un circuit electric de curent alternativ simplu pur rezistiv, respectiv pur inductiv.

Circuit rezistiv-inductiv serie

Acum vom considera ambele componente legate in serie si vom studia efectele lor. Luam asadar ca si exemplu un circuit rezistiv-inductiv (format din rezistori, bobine si surse de putere), caz in care curentul este defazat in urma tensiunii cu un unghi cuprins intre 0^o si 90^o.

Impedanta

Rezistorul impune o rezistenta de 5 Ω fata de curent, indiferent de valoarea frecventei, iar bobina va oferi o reactanta de 3,7699 Ω fata de curentul alternativ la o valoare a frecventei de 60 Hz. Deoarece rezistenta rezistorului este un numar real (5 Ω 0^o, sau 5 + j0 Ω), iar reactanta bobinei este un numar imaginar (3.7699 Ω 90^o, sau 0 + j3.7699 Ω), efectul total (combinat) al celor doua componente va crea o opozitie fata de curent egala cu suma complexa a celor doua numere. Aceasta opozitie combinata va fi un vector. Pentru a putea exprima mai clar aceasta opozitie, avem nevoie de un nou termen pentru opozitia fata de curent pe langa rezistenta si reactanta. Acest termen poarta numele de impedanta, iar simbolul lui este "Z"; unitatea de masura este de asemenea ohm-ul, la fel ca si a rezistentei si a reactantei.

In exemplul de mai sus, impedanta totala a circuitului este:

Legea lui Ohm pentru circuite in curent alternativ

Relatia dintre impedanta, curent si tensiune este similara rezistentei din legea lui Ohm:

De fapt, aceasta expresie este o forma a legii lui Ohm mult mai cuprinzatoarea (mai generala) decat cea considerata in curent continuu (E = IR), la fel precum impedanta este o expresie mult mai cuprinzatoare a opozitiei fata de deplasarea electronilor decat rezistenta. Orice rezistenta si orice reactanta, separate sau in combinatii serie/paralel, pot fi si trebuie exprimate ca si o singura impedanta intr-un circuit de curent alternativ.

Rezolvarea circuitului

Curentul total

Pentru aflarea valorii curentului in circuitul de mai sus, trebuie mai intai sa impunem o referinta pentru unghiul de faza a sursei de tensiune, iar in mod normal, aceasta se presupune a fi zero:

La fel ca si in cazul circuitelor pur inductive, curentul este defazat in urma tensiunii (sursei), cu toate ca de data aceasta defazajul nu este atat de mare, doar 37 , fata de 90⁰ in cazul circuitului pur inductive.

Tensiunea pe rezistor

Relatiile de faza pentru rezistor si bobina, luate individual, nu s-au modificat. Caderea de tensiune la bornele rezistorului si curentul prin acesta sunt in faza (defazaj de 0⁰), iar defazajul dintre tensiune si curent in cazul bobinei este de +90⁰.

Putem verifica matematic acest lucru (unghiul de faza al lui E_R este egal cu unghiul de faza al curentului):

In formula de mai sus Z_R semnifica impedanta rezistiva, si este acelasi lucru cu rezistenta. Tensiunea si curentul prin rezistor sunt in faza, adica au acelasi unghi de faza.

Tensiunea pe bobina

Tensiunea la bornele bobinei are un unghi de faza de 52,984^o (fata de unghiul de faza de referinta, 0^o), iar curentul prin bobina are un unghiu de faza de -37,016^o, o diferenta de exact 90^o intre cele doua. Acest lucru ne spune ca E si I sunt defazate intre ele tot cu 90^o (doar in cazul bobinei):

Putem observa ca unghiul de faza a lui E_L este mai mare cu exact 90⁰ decat cel al curentului.

Tensiunea totala

Putem de asemenea sa demonstram matematic ca rezultatul sumei acestor valori complexe este tensiunea totala, asa cum rezulta din aplicarea legii lui Kirchhoff:

Aplicarea metodei tabelului

Cu toate aceste valori rezultate, chiar si pentru un circuit simplu precum este acesta, este mai usor sa aplicam metoda tabelului.

Valorile initiale

Tabelul va contine valorile pentru tensiune (E), curent (I) si impedanta (Z) pentru fiecare component in parte. Nu vom insera valorile propriu-zise ale rezistentei si inductantei in ohm sau Henry, ci forma lor complexa.

Desi nu este neaparat necesar, este folositor sa trecem atat forma rectangulara (x + jy) cat si pe cea polara (x y) in fiecare tabel. Daca folosim un calculator pentru a realiza automat aceste calcule complexe fara a mai fi nevoiti sa facem conversia intre cele doua forme, atunci aceasta documentatie suplimentara nu este deloc necesara. Totusi, daca suntem nevoiti sa efectuam calculele "de mana", atunci scrierea ambelor forme in tabel se va dovedi intr-adevar folositoare.

Impedanta totala

Dupa ce am introdus in tabel toate datele cunoscute, putem trece la rezolvarea circuitului asemanator circuitelor de curent continuu: determinam impedanta totala din impedantele individuale. Din moment ce acesta este un circuit serie, stim ca opozitia fata de curgerea electronilor (rezistenta sau impedanta) este aditiva, iar rezultatul il reprezinta opozitia totala.

Curentul total

Acum, dupa ce tensiunea si impedanta totala ne sunt cunoscute, putem aplica legea lui Ohm (I = E / Z) pentru determinarea curentului total din circuit.

Curentii prin rezistor si bobina

La fel ca in cazul circuitelor de curent continuu, curentul total intr-un circuit de curent alternativ serie este acelasi prin oricare din componentele circuitului. Acest lucru este in continuare adevarat, deoarece intr-un circuit serie exista doar o singura cale pentru curgerea electronilor, prin urmare, rata lor de deplasare trebuie sa fie uniforma in intreg circuitul. Prin urmare, putem trece valorile curentului total pentru fiecare component in parte (rezistor si bobina) in tabel.

Caderile de tensiune pe rezistor si bobina

Acum, tot ceea ce mai avem de facut este sa completam caderea de tensiune pe rezistor si pe bobina. Aflarea acestor valori se realizeaza folosind legea lui Ohm (E = IZ), aplicata pe fiecare coloana a tabelului.

Tabelul este acum complet. De observat ca am aplicat exact aceleasi reguli ca si in analiza circuitelor electrice in curent continuu, cu diferenta ca toate valorile trebuie exprimate si calculate sub forma complexa si nu scalara precum era cazul in curent continuu. Atata timp cat diferenta de faza este reprezentata corect, nu exista nicio diferenta fundamentala intre analiza unui circuit de curent alternativ fata de unul in curent continuu.

Indicatia aparatelor de masura

Sa luam acum in considerare relatia dintre valorile calculate mai sus si indicatia tensiunii si a curentului data de instrumentele de masura. Valorile din tabel care corespund cu valorile citite de pe un instrument de masura sunt cele sub forma polara, nu rectangulara! Cu alte cuvinte, daca am conecta un voltmetru la bornele rezistorului din circuit pentru aflarea caderii de tensiune, acesta va indica 7,9847 V (valoarea sub forma polara), nu 6,3756 V (valoarea reala sub forma rectangulara) si nici 4,8071 V (valoarea imaginara sub forma rectangulara). Pentru a exprima acest lucru grafic, aparatele de masura "indica" pur si simplu lungimea vectorului (pentru tensiune sau curent). Notatia rectangulara, desi este mai usor de folosit pentru operatiile aritmetice de adunare si scadere, este o forma de notatie mai abstracta decat forma polara pentru masuratorile reale. Daca ar fi sa folosim doar o singura notatie, cea mai buna alegere ar fi cea polara, pentru ca este singura ce are legatura directa cu masuratorile reale.

Diagrama impedantei

Impedanta (Z) unui circuit serie R-L poate fi calculata cunoscand rezistenta (R) si reactanta inductiva (X_L). Din moment ce E = IR, E = IX_L si E = IZ, rezistenta, reactanta si impedanta sunt proportionale cu tensiunea. Prin urmare, diagrama fazoriala a tensiunii poate fi inlocuita cu o diagrama similara a impedantei.

Problema

Gasiti impedanta totala a circuitului format dintr-un rezistor de 40 Ω conectat in serie cu o bobina de 79.59 mH, la o frecventa a sursei de alimentare de 60 Hz.

Raspuns: Z = 40 + j30 = 50 36.87^o.