Condensator in regim sinusoidal

Fie o sursa de t. e. m. sinusoidala care alimenteaza un condensator C (vezi fig. 1).

Vom nota t. e. m. sinusoidala generata de sursa cu u(t) si caderea de potential (tensiunea) pe condensator cu u_C(t).

u_C(t)

(+q) (- q)

(+) C

u(t)

Fig. 1

Conform legii a II-a a lui Kirchhoff, de-a lungul ochiului de circuit studiat, suma algebrica a variatiilor de potential (a tensiunilor la bornele elementelor de circuit) este egala cu zero.

In cazul studiat, t. e. m. generata de sursa cade numai pe condensatorul C. Deci, conform legii mentionate:

in care tensiunea de alimentare a INTREGULUII circuit:

si tensiunea la care este supus condensatorul:

.

Nota consideram ca la un moment dat t. e. m. de alimentare are polaritatea din figura 1, parcurgand circuitul in sensul pozitiv precizat in desen, remarcam ca trecand prin condensator, de la armatura din stanga (caracterizata de un anumit potential, ajungem la armatura din dreapta, aceasta avand un potential MAI MIC (scade) (in urmatoarea semiperioada polaritatea se va inversa).

Acesta este motivul pentru care atribuim sarcinii electrice a condensatorului semnul minus.

Inlocuind (3) in (1) gasim:

.

Cautam expresia dependentei de timp a sarcinii electrice de pe armaturile condensatorului ca fiind de forma:

, in care prin φ₁ am notat faza initiala a sarcinii electrice de pe armaturile condensatorului.

Inlocuind (5) si (2) in (4), dupa simplificarea cu se obtine:

.

Identificand coeficientii functiilor armonice de timp din cei doi membri ai egalitatii (6) se obtine pentru valoarea efectiva a sarcinii electrice:

.

Identificand fazele functiilor armonice de timp din cei doi membri ai egalitatii (6) deducem ca:

, ceea ce pune in evidenta faptul ca, in regim alternativ, sarcina electrica instantanee de pe armaturile condensatorului este IN FAZA cu tensiunea aplicata.

Tinand seama de (7) si de (8), expresia (5) devine:

.

Sa ne reamintim ca ne-am propus sa determinam expresia dependentei de timp a intensitatii curentului prin circuit. Aceasta se determina utilizand relatia intre variatia sarcinii electrice de pe armaturile unui condensator si intensitatea curentului prin circuit:

.

Aplicand operatorul derivata expresiei (9) se gaseste:

.

Deoarece tensiunea de alimentare a circuitului (care joaca rol de CAUZA) este un semnal armonic, experimental se constata ca si intensitatea curentului (care joaca rol de EFECT) va fi tot un semnal sinusoidal. Aceste considerente ne indreptatesc sa cautam expresia dependentei de timp a intensitatii de forma:

, in care am notat cu φ₂ faza initiala a intensitatii (instantanee).

Pentru ca expresiile (11) si (12) sa reprezinte aceeasi marime, ele trebuie sa fie identice. In cele ce urmeaza vom proceda la identificarea coeficientilor functiilor armonice de timp, pentru a gasi expresia intensitatii efective a curentului prin circuit:

.

Vom transforma aceasta relatie pentru a o pune sub forma cunoscuta a legii lui Ohm:

, in care am notat factorul de proportionalitate dintre tensiune si intensitate cu

.

Aceasta marime, analoga rezistentei ohmice din legea Ohm, caracterizeaza proprietatea condensatorului DE A REACTIONA in regim alternativ, numindu-se REACTANTA CAPACITIVA. Dupa cum se deduce din (14), unitatea de masura a reactantei CAPACITIVE coincide cu cea a rezistentei ohmice:

.

Pentru a identifica fazele functiilor armonice de timp din relatiile (11) si (12), mai intai vom cauta sa le punem sub aceeasi functie armonica (sinus). Obtinem succesiv:

.

Paritatea functiei cosinus ne permite sa scriem:

.

Transformand membrul drept in cofunctia corespunzatoare:

si final:

de unde, pentru faza initiala a intensitatii curentului:

rad.

Explicitand (12) prin inlocuirea intensitatii efective (14) si a fazei initiale (21), deducem ca:

Daca un condensator este alimentat la tensiunea:

,

atunci intensitatea curentului prin circuit este:

, sau:

Cele de mai sus reprezinta justificarea urmatoarelor afirmatii referitoare la efectele unui condensator in regim alternativ:

a)     in regim sinusoidal, un condensator defazeaza curentul INAINTEA tensiunii cu un sfert de perioada (cu /2 radiani).

b)     in regim sinusoidal, un condensator introduce o reactanta inductiva X_L definita de (14) si (15).

c)     condensatorul inchide circuitul de curent alternativ.

Relatiile (22), (23) si (24) constituie reprezentarea ANALITICA a semnalelor tensiune, respectiv intensitate pentru circuitul studiat.

Nota (fenomenologica) dupa cum se cunoaste, un condensator este alcatuit din doua piese metalice (numite armaturi), separate de un material izolator. Aceasta inseamna ca, de la o armatura la alta, prin interiorul condensatorului NU pot trece sarcini electrice. Distingem doua cazuri:

a)     in regim stationar, condensatorul joaca rolul unui intrerupator deschis, iar un ampermetru montat intr-un astfel de circuit nu pune in evidenta existenta curentului electric ( I = 0 );

b)     in regim alternativ, fiecare armatura se incarca si se descarca, sarcinile electrice trecand de la o armatura la alta prin circuitul EXTERIOR CONDENSATORULUI. Un ampermetru inserat in circuit pune in evidenta existenta unui curent electric, desi, prin interiorul condensatorului NU trec sarcini electrice.

In acest sens trebuie inteleasa afirmatia conform careia condensatorul inchide circuitul de curent alternativ. .