Fazori spatiali in masinile trifazate de curent alternativ

Fazori spatiali in masinile trifazate de curent alternativ

Pentru o infasurare a unei masini electrice trifazate, solenatia de-a lungul intrefierului variaza in trepte din cauza distributiei discontinue a curentului datorata spirelor infasurarii (fig. 1.2.a).

In teoria clasica a masinilor electrice se ia in considerare numai fundamentala (1) a solenatiei neglijand armonicele spatiale ale acesteia.

Aceasta inseamna ca se presupune si o distributie continua sinusoidala a solenatiei la periferia intrefierului.

Distributia spatiala sinusoidala a solenatiei se poate reprezenta printr-un vector spatial  care are directia in sensul valorii maxime a sinusoidei iar marimea egala cu valoarea maxima a solenatiei, deci si distributia de curenti poate fi reprezentata printr-un vector spatial de curent i, in directia vectorului spatial al solenatiei, (fig. 1.2.b).

Conform relatiei (1.2) si fluxul magnetic poate fi reprezentat printr-un vector  in aceeasi directie [6]. 

In cazul unei masini trifazate (asincrone sau sincrone) exista trei infasurari statorice (fig. 1.3.a). In fig. 1.3.a s-au reprezentat liniile de camp ale fazei a si vectorul spatial de flux al acestei faze. Acest vector isi schimba sensul daca faza este parcursa de curent alternativ.

Vectorul de curent din faza a va avea aceeasi directie si acelasi sens. Unui curent oarecare dintr-o infasurare de faza ii va corespunde intotdeauna un vector spatial in directia fixa dupa axa magnetica a infasurarii iar lungimea si sensul acestui vector sunt determinate de valoarea instantanee a curentului.

Considerand cele trei faze ale unei masini trifazate, apar trei vectori spatiali de flux _a, _b si _c (fig. 1.3.c) defazati in spatiu cu 2/3 si respectiv 4/3.

Lungimea si sensul fiecaruia va corespunde insa valorii instantanee a curentului din faza respectiva. Daca curentii din cele trei faze statorice au valorile instantanee i_sa, i_sb, i_sc vectorii spatiali corespunzatori vor fi: i_sa, i_sb, i_sc.

Directia in spatiu a acestor vectori va fi data de pozitia in spatiu a infasurarii. Asupra variatiei curentilor nu s-a pus nici o conditie. Rezulta ca variatia lor poate urma orice lege (valori constante, variabile periodic, sinusoidale, etc.). Deoarece vectorii curentilor de faza au pozitii bine determinate in spatiu, se pot exprima cu numere complexe.

Daca se considera axa reala a sistemului de coordonate complexe in directia de magnetizare a fazei statorice a_s, vectorii spatiali de curent ai celor trei faze vor fi:

, (1.3)

in care a este operatorul de rotatie:

, (1.4)

Pentru a exprima efectul rezultant al celor trei vectori spatiali de curent, acestia se insumeaza vectorial (fig. 1.4.a) si se obtine un vector spatial trifazat de curent statoric.

(1.5)

In locul curentului rezultant (solenatia rezultanta) din relatia (1.5) se defineste fazorul spatial de curent statoric [2], [6] astfel:

. (1.6)

Fazorul spatial de curent se poate descompune in doua componente: componenta reala, respectiv componenta imaginara (fig. 1.4.b):

. (1.7)

Conform relatiei (1.6) se poate scrie fazorul spatial al tensiunii. Daca tensiunile statorice pe faza sunt u_sa, u_sb, u_sc, fazorul spatial al tensiunii statorice va fi:

. (1.8)

Daca valorile instantanee ale fluxurilor statorice pe cele trei faze sunt _sa, _sb, _sc; fazorul spatial al fluxului statoric va fi:

. (1.9)

In cazul in care motorul asincron este cu rotor bobinat, toate fenomenele referitoare la marimile statorice, respectiv la fazorii spatiali ai acestor marimi raman valabile si pentru marimile rotorice.

Sistemul de axe d - q al planului complex cand se refera la marimile statorice este legat de stator deci este fix in spatiu. In cazul fazorilor spatiali ai marimilor rotorice se utilizeaza un plan complex al carei axa reala este axa primei faze rotorice a_r. In acest fel fazorul spatial al curentului rotoric in sistemul de coordonate atasat rotorului (care se roteste cu rotorul) este:

. (1.10)

Analog, fazorul spatial al tensiunii rotorice va fi:

. (1.11)

Pentru flux:

. (1.12)

In cazul general, notand cu x_a, x_b, x_c un sistem trifazat de marimi (curenti, tensiuni, fluxuri, etc) de faza intr-o masina trifazata, se poate scrie fazorul spatial al acestor marimi (rel. 1.6):

. (1.13)

unde:

este vectorul spatial trifazat. Daca se descompune x dupa cele doua axe ale planului complex (indicele dupa axa reala va fi d iar dupa axa imaginara q) se obtine:

, (1.14)

iar componenta homopolara va fi:

. (1.15)

Proprietati specifice

a)     Daca componenta homopolara este nula, proiectiile fazorului spatial pe cele trei axe ale fazelor (a, b, c) sunt numeric egale cu valorile instantanee ale marimilor considerate in faza respectiva;

b)     Daca componenta homopolara este diferita de zero, acesta proprietate se pastreaza cu mentiunea ca proiectia fazorului spatial pe cele trei faze va fi egala cu valoarea instantanee a marimilor considerate in faza respectiva, mai putin componenta homopolara.

Directia axei reale se considera totdeauna directia de magnetizare a fazei a_s (prima faza a sistemului trifazat statoric). Proiectia fazorului spatial dupa axa primei faze se obtine calculand partea reala a fazorului.

,

unde este expresia complex conjugata a lui x. Tinand seama de relatia 1 + a + a² = 0 se obtine proiectia pe faza a a fazorului conform expresiei:

. (1.16)

Pentru a proiecta fazorul pe axa b se va roti sistemul trifazat impreuna cu fazorul spatial cu unghiul 4/3 astfel incat directia axei b sa se suprapuna peste directia axei reale [3], [6]. Luand acum partea reala a fazorului rotit se obtine proiectia cautata. Rotirea fazorului spatial cu un unghi de 4/3 inseama inmultirea fazorului cu operatorul a².

. (1.17)

In mod analog, pentru a obtine proiectia pe faza c, rotirea ca fi cu 2/3 (inmultirea cu a a fazorului x):

. (1.18)

Observatie: nu avem nici un fel de restrictie pentru x_a, x_b, x_c.

Daca, de exemplu, cei trei curenti formeaza un sistem sinusoidal trifazat echilibrat, campul magnetic rezultant va fi un camp magnetic invartitor in spatiu cu viteza constanta egala cu pulsatia curentilor.

In acest caz, fazorul spatial va rezulta un vector de lungime constanta si invartitor in spatiu. Varful acestui vector va descrie un cerc (fig. 1.5.a).

Daca sistemul de curenti este un sistem sinusoidal dezechilibrat, cercul va degenera intr-o elipsa (fig. 1.5.b).

In cazul unui regim tranzitoriu cu curenti sinusoidali amortizati, varful fazorului spatial va descrie o curba de forma unei spirale, (fig. 1.5.c).

Fazorul poate sa-si modifice directia nu numai continuu ci si intermitent asa cum este cazul alimentarii infasurarii trifazate de la convertoare statice (fig. 1.5.d).