Metoda ramurii de current

Metoda ramurii de current

Definitie

Folosind aceasta metoda, presupunem si indicam un sens al curentilor prin circuit si scriem apoi ecuatiile ce descriu relatiile dintre acestia folosind legile lui Ohm si Kirchhoff. In momentul in care avem cate o ecuatie pentru fiecare curent necunoscut, putem rezolva sistemul de ecuatii pentru determinarea tuturor curentilor si prin urmare a tuturor caderilor de tensiune din retea.

Exemplu

Sa folosim urmatorul circuit pentru ilustrarea metodei.

Alegerea nodului de referinta

Primul pas este alegerea unui nod din circuit (loc de intalnire a cel putin trei ramuri) ca si punct de referinta pentru curentii necunoscuti.

Alegerea aleatoare a directiei curentilor prin nodul de referinta

Ghicim apoi directia curentilor din acest nod, notand curentii cu I₁, I₂ si I₃. Nu este neaparat ca directiile acestea sa fie cele corecte (reale), in acest moment acestea sunt pur speculative. Vom stii daca intuitia noastra a fost gresita in momentul rezolvarii ecuatiilor matematice pentru curenti; orice directie gresita va aparea in ecuatii cu semnul minus.

Aplicarea legii lui Kirchhoff pentru curent

Legea lui Kirchhoff pentru curentii (LKC) spune ca suma algebrica a tuturor curentilor ce intra si ies dintr-un nod de retea trebuie sa fie egala cu zero, prin urmare putem introduce curentii I₁, I₂ si I₃ intr-o singura ecuatie. Vom nota toti curentii ce intra intr-un nod cu semnul pozitiv si toti curentii ce ies dintr-un nod cu semnul negativ (aceasta este doar o conventie; inversand semnele, rezultatul final va fi exact acelasi):

Notarea polaritatilor tuturor caderilor de tensiune din circuit

Pasul urmator este notarea tuturor semnelor caderilor de tensiune in functie de sensul presupus al curentilor. Tineti minte ca partea din "amonte" a rezistorului va fi tot timpul negativa, iar partea din "aval" tot timpul pozitiva intrucat electronii poseda o sarcina negativa.

Desigur, polaritatea bateriilor ramane aceeasi. Nu este nicio problema daca polaritatea rezistorului nu se "asorteaza" cu cea a bateriei atat timp cat polaritatea rezistorului este bazata pe directia presupusa de curgere a curentului prin acesta. Toate calculele efectuate de acum incolo se vor baza pe directia presupusa a curentilor prin nodul ales.

Aplicarea legii lui Kirchhoff pentru tensiune

Legea lui Kirchhoff pentru tensiune (LKU) spune ca suma algebrica a tuturor caderilor de tensiune dintr-o bucla de retea trebuie sa fie egala cu zero. Pentru a obtine ecuatiile folosind LKU, trebuie sa introducem valorile caderilor de tensiune ca si cum le-am fi masurat cu un voltmetru real.

Parcurgerea buclei din stanga

Putem incepe parcurgerea buclei din orice punct dorim; in cazul de fata incepem de la bornele bateriei si continuam in sens invers acelor de ceasornic pana ajungem in punctul de unde am plecat:

Dupa ce am parcurs intreaga bucla din stanga, adunam toate aceste valori ale tensiunii pentru a forma o ecuatie:

Evident, nu cunoastem inca valoarea caderilor de tensiune la bornele rezistorilor R₁ si R₂ asa ca nu putem introduce valorile lor reale in ecuatie in acest moment. Totusi, stim faptul ca suma tuturor acestor caderi de tensiune trebuie sa fie egala cu zero, prin urmare ecuatia este adevarata si o putem folosi mai departe in analiza noastra. Putem dezvolta ecuatia inlocuind tensiunile necunoscute cu produsul dintre curentii necunoscuti, I₁ si I₂, si valoarea rezistorilor prin care acestia trec, folosind legea lui Ohm (E = IR). Eliminam de asemenea si valoarea 0 din suma:

Din moment ce cunoastem valorile tuturor rezistorilor in ohmi, putem inlocui aceste valori in ecuatie pentru a ne usura calculele:

Motivul pentru care am redus ecuatia in acest fel (pana la urma, avem tot doua necunoscute) este folosirea acelorasi variabile necunoscute ce le-am folosit si in ecuatia LKC de mai sus>. Acest pas este necesar pentru aflarea solutiei sistemului final de ecuatii.

Parcurgerea buclei din dreapta

Aplicand aceeasi pasi si pentru bucla din dreapta, obtinem o alta ecuatie.

Cunoscand faptul ca tensiunea de pe fiecare rezistor poate fi exprimata ca si produsul dintre curent si rezistenta fiecarui rezistor, putem rescrie ecuatia de mai sus astfel:

Formarea si rezolvarea sistemului de ecuatii

In acest moment avem un sistem matematic format din trei ecuatii (o ecuatie LKC si doua ecuatii LKT) si trei necunoscute:

Putem rescrie ecuatiile de mai sus trecand in dreapta valorile cunoscute (constantele ecuatiilor) si lasand in partea stanga valorile necunoscute (I₁, I₂ si I₃), trecand explicit toti coeficientii pentru claritate. Putem observa ca toate cele trei variabile sunt prezente in toate cele trei ecuatii:

Rezolvand ecuatiile de mai sus, ajungem la solutia ecuatiilor, reprezentata prin cele trei valori ale curentilor:

Revenirea la circuitul initial

Prin urmare, valoarea curentului I₁ este de 5 A, I₂ de 4 A iar I₃ de -1 A. Dar ce inseamna curent "negativ"? In acest caz, inseamna ca intuitia noastra cu privire la directia curentului I₃ a fost gresita. Revenind la circuitul initial, putem reface schema acestuia schimband directia curentului I₃ si schimband in acelasi timp si polaritatea caderii de tensiune de pe rezistorul R₃.

Observam faptul ca, prin bateria B₂ curentul circula in sens invers datorita tensiunii mai ridicate a bateriei B₁. In ciuda faptului ca polaritatea bateriei incerca sa impinga electronii prin acea ramura de circuit, electronii sunt de fapt fortati sa se deplaseze in sens contrar datorita tensiunii superioare a bateriei B₁. Inseamna acest lucru ca intotdeauna bateria mai puternica va "castiga" iar curentul prin bateria mai slaba va fi fortat in sens contrar? Nu neaparat. Acest lucru depinde de fapt atat de diferenta de tensiune dintre cele doua baterii cat si de valoarea rezistorilor din circuit. Singura metoda sigura de aflare a comportamentului circuitului este analiza matematica a acestuia.

Aflarea caderilor de tensiune pe toate componentele

Cunoscand acum valoarea tuturor curentilor din circuit, putem calcula caderile de tensiune la bornele tuturor rezistorilor folosind legea lui Ohm (E = IR):