Modelarea matematica a instalatiilor primare ale unei centrale hidroelectrice

Modelarea matematica a instalatiilor primare ale unei centrale hidroelectrice

Studiul teoretic al comportarii si stabilitatii grupurilor hidroelectrice este complex si deosebit de dificil in special datorita numarului mare de variabile ale problemei, a faptului ca amenajarile hidraulice nu pot fi standardizate (fiecare dintre ele depinzand de situatia geografica a zonei de amplasare) si a neliniaritatilor sistemului. De aceea si primele cercetari in domeniu au fost indreptate spre liniarizarea acestuia in jurul punctului de functionare.

Pentru a putea analiza stabilitatea unei centrale hidroelectrice aceasta va trebui divizata, teoretic, in doua subsisteme: subsistemul hidraulic (de la bazinul de acumulare, la turbina) si subsistemul electromecanic (cuprinzand sistemele de reglare a vanelor, a vitezei, etc.). Ansamblul celor doua subsisteme este reprezentat schematic in figura 2.14.

Fig.2.14. Schema generala a unei centrale hidraulice.

1. Modelarea matematica simpla a subsistemului hidraulic

Subsistemul hidraulic, denumit si amenajare hidraulica, cuprinde bazinul de acumulare, galeria de aductiune, castelul de echilibru si conducta fortata. Modelarea matematica a amenajarii hidraulice presupune scrierea ecuatiilor caracteristice de functionare pentru fiecare element in parte stabilite pentru conditii de functionare comune si asamblarea ecuatiilor intr-un sistem matematic care se va rezolva la fiecare pas al simularii.

Problema este deosebit de dificila si din acest motiv, pentru studiile de stabilitate mai putin pretentioase sau in cazul analizelor DTM si DTS in care influenta amenajarii hidraulice nu se face atat de pronuntat simtita, s-a incercat simplificarea modelului matematic prin considerarea unor ipoteze simplificatoare.

Fig.2.15. Schema bloc a modelului matematic liniar a turbinei hidraulice.

Astfel in majoritatea studiilor de stabilitate a SEE, modelarea amenajarii hidraulice se reduce la modelarea turbinei hidraulice ale carei caracteristici tranzitorii se determina din dinamica apei in conducta fortata. Se obtine modelul matematic al carei schema bloc este data in figura 2.15.

Pentru mici perturbatii in jurul punctului de functionare corespunzator starii stationare, turbina hidraulica se poate reprezenta prin doua ecuatii liniarizate-ecuatia debitului si ecuatia cuplului mecanic:

in care, exprimate in u.r., marimile reprezinta Dq - abaterea debitului, Dh - abaterea caderii, wD - abaterea vitezei, DSp - abaterea pozitiei vanei, Dm - abaterea cuplului mecanic, iar coeficientii celor doua ecuatii reprezinta vitezele de variatie ale abaterilor debitului sia cuplului mecaic in functie de cadere, viteza si pozitia vanei:

Pentru o turbina ideala, la variatia vitezei, caderii si pozitiei vanei, rezulta:

Daca aceste valori se introduc in expresia modelului matematic din figura 2.15, rezulta modelul matematic binecunoscut din figura 2.16.

Fig. 2.16. Modelul ideal al turbinei hidraulice.

In modelele matematice reprezentate prin schemele din figurile 2.15 si 2.16, intreaga amenajare hidraulica s-a considerat practic prin valoarea care se atribuie constantei TW, ce reprezinta timpul de lansare al apei sau constanta de timp a apei. Ea este asociata timpului de accelerare a apei in conducta fortata, intre baraj (castel de echilibru) si turbina, asa cum se reprezinta in figura 2.17 si se poate determina cu relatia:

(2.23)

Fig. 2.17. Conducta fortata si turbina hidro.

Daca se considera expresia puterii debitata de centrala ( kW) in functie de viteza apei in conducta fortata, adica:

(2.24)

unde Sc este sectiunea conductei si h este randamentul ansamblului turbina-generator, rezulta:

(2.25) sau (2.26)

relatie care permite calculul timpului de lansare al apei functie de caderea de calcul, puterea debitata, randamentul instalatiei si geometria conductei fortate. Se observa ca timpul de lansare al apei este cu atat mai redus cu cat caderea este mai mare. In mod uzual valorile lui TW sunt cuprinse intre (0,5 - 7) secunde.

Acest model matematic este simplu, usor de manuit, dar este prea general si nu poate fi aplicat in cazul conductelor fortate lungi. In aceasta situatie functia de transfer a sistemului hidraulic descrisa in figura 2.16 se va modifica datorita faptului ca trebuie luata in considerare elasticitatea coloanei de apa. De obicei, aceasta se reprezinta printr-o constanta de timp de reflexie, Te, a conductei fortate, rezultand pentru functia de transfer a sistemului hidraulic, expresia:

Atat modelul din figura 2.15, cat si cel dat de relatia (2.26) sunt modele simple, utile pentru o analiza calitativa a dinamicii unui SEE, dar prea generale pentru o descriere detaliata, cantitativa, a comportarii amenajarii hidraulice in procese DTL, a influentei acesteia asupra evolutiei dinamice a GS si, in ultima instanta, a SEE.

2. Model matematic complex pentru amenajarea hidraulica

In vederea obtinerii modelului matematic complex pentru sistemul hidraulic sunt necesare cateva precizari si calcule preliminare. Astfel:

a) Toate marimile se exprima in u.r. raportate la marimile absolute corespunzatoare punctului de functionare din regimul stationar anterior perturbatiei.

b) Considerarea problemei stabilitatii sistemului hidraulic presupune ca la o variatie de timp relativ mica Dt, toate marimile variaza numai in vecinatatea punctului lor corespunzator regimului permanent, fapt fizic acceptabil datorita inertiei mari a sistemului si constantelor mari de timp corespunzatoare. Acest lucru permite neglijarea infinitilor mici de ordin superior lui doi si retinerea numai a primilor termeni din dezvoltarea in serie in jurul punctului de regim permanent, adica practic, liniarizarea ecuatiilor care descriu comportarea in timp a diferitelor elemente ale sistemului hidraulic.

c) Se definesc patru marimi adimensionale pentru turbina hidraulica functie de parametrii mecanici, hidraulici si geometrici ai turbinei:

- Cifra energiei turbinei

- Cifra debitului turbinei:  (2.29)

- Cifra puterii turbinei: (2.30)

- Cifra randamentului turbinei :  (2.31)

Intre cele patru marimi exista relatia de legatura:

  (2.32)

d) Se defineste sectiunea de referinta a turbinei hidraulice, ca raportul:

(2.33)

in care S - sectiunea turbinei si R - raza turbinei (impreuna cu paletele).

Pentru diferite tipuri de turbine, sectiunea turbinei se calculeaza astfel:

la turbinele Francis, Kaplan si de tip elicoidal:

S = π(R2 - Rn2), unde Rn - raza axului;

la turbina Pelton:

S pRe2, unde Re - raza ajutajului.

e) Se definesc doua marimi de baza pentru castelul de echilibru si galeria de aductiune, si anume:

ridicarea maxima a nivelului apei in castelul de echilibru ca urmare a inchiderii instantanee totale a vanelor, la o pierdere de sarcina nula:

(2.34)

in care Lg, Sg sunt lungimea si sectiunea galerie de aductiune, Ssc- sectiunea castelului de echilibru,
vg0- viteza apei in conducta in regim permanent si g - acceleratia gravitationala.

- constanta de timp a conductei de aductiune

(2.35)

(2.35)

2.1. Determinarea parametrilor hidraulici fundamentali ai turbinei hidraulice

In regim permanent, daca se neglijeaza cavitatia, comportarea hidraulica a unei turbine este determinata de relatiile :

(2.36)

care in sistemul cartezian spatial reprezinta doua suprafete. Daca insa, se utilizeaza reprezentarea in plan, se obtin, de exemplu, functiile:

e = f(g) cu h - parametru ;

e = f(g) cu A - parametru reprezentand pozitia aparatului director.

Aceste functii se pot reprezenta in planul (e g) conform figurii 2.18.

Fig.2.18. Reprezentarea caracteristicilor de functionare ale turbinei hidraulice

Daca se considera punctul M ca punct de functionare in regim permanent, comportarea turbinei din punct de vedere al stabilitatii este in intregime determinata de doua plane tangente in punctul M la suprafetele descrise de (2.36). Dar, orientarea fiecarui plan e determinata de doi coeficienti unghiulari, deci teoretic este suficienta cunoasterea a patru coeficienti unghiulari pentru a trata orice problema de stabilitate a turbinei injurul punctului corespunzator regimului permanent. Practic, acesti patru coeficienti unghiulari se obtin in u.r. ca fiind:

(2.37)

Cei patru coeficienti unghiulari reprezinta parametrii fundamentali ai unei turbine hidraulice. Valorile lor insa, nu pot fi calculate daca suprafetele care caracterizeaza comportarea hidraulica a turbinei nu pot fi exprimate analitic.

De aceea, pentru rezolvarea acestei probleme s-a recurs la date statistice obtinute de la un numar de turbine de toate tipurile (Pelton, Francis, elicoidale si Kaplan) rezultand curbele de variatie a valorilor parametrilor hidraulici fundamentali functie de cifra de viteza, date in figura 2.19. Cifra de viteza a turbinei s-a definit prin relatia:

(2.38)

in care Q - debitul turbinei, n - turatia, S - sectiunea de referinta, Hn - caderea neta si g - acceleratia gravitationala.

Fig. 2.19Relatii de natura statistica intre parametrii hidraulici Fundamentali si cifra de viteza, n

Cu ajutorul parametrilor hidraulici fundamentali se definesc urmatorii parametrii hidraulici auxiliari:

(2.39)

Acestia, impreuna cu parametrii fundamentali definesc complet comportarea turbinei hidraulice in probleme de stabilitate.

Se observa ca parametrii hidraulici ai turbinei se modifica odata cu modificarea turatiei, debitului sau caderii nete a acesteia fapt ce implica recalcularea lor la fiecare pas de timp a procesului dinamic.

Daca se lucreaza in u.r., relatia dintre cifrele turbinei devine:

la care, aplicand diferentialele, se obtine:

care, in functie de parametrii hidraulici, ti , se mai pot scrie:

(2.40)

Ecuatiile de functionare ale amenajarii hidraulice

1. Ecuatia pierderilor in galeria de aductiune

Considerandu-se galeria de aductiune perfect rigida, pierderile de sarcina in galerie pot fi considerate proportionale cu patratul debitului volumic, , de apa. Daca se exprima pierderile in galerie prin caderea, Hg, in galeria de aductiune se poate scrie:

in care Kg este coeficientul pierderilor de sarcina. In punctul de functionare corespunzator regimului permanent se obtine:

si deci, in u.r. raportate la marimile din punctul de functionare, avem:

variatia pierderilor se obtine prin derivare, adica:

sau, liniarizand ecuatia si admitand qVg = 1 rezulta: (2.41)

2. Ecuatia energiei cinetice in punctul de insertie al castelului de echilibru

Admitand ca aceasta energie cinetica este determinata de debitul apei ce se scurge in galeria de aductiune, ipoteza evidenta in regim permanent, dar discutabila in regim tranzitoriu, insa suficienta la mici oscilatii ale planului apei in castelul de echilibru, avem:

asa-numita energie cinetica specifica, se poate scrie, in u.r.:

In urma derivarii si liniarizarii, rezulta:

(2.42)

3. Ecuatia castelului de echilibru

Acesta se considera cilindric, rigid si fara frecari. Suprafata sa minima (pentru o comportare stabila exceptand mici variatii de debit) este data de conditia Thoma:

(2.43)

Ecuatia de umplere a castelului de echilibru este:

(2.44)

Daca se defineste constanta de timp a castelului de echilibru prin:

(2.45)

si se noteaza  si , ecuatia (2.45) se mai poate scrie:

(2.46)

4. Ecuatia debitelor

Debitele in galeria de aductiune, conducta fortata si castelul de echilibru sunt legate prin relatia:

iar in punctul corespunzator regimului permanent, ecuatia de continuitate ne da :

Daca se impart cele doua ecuatii membru cu membru si se deriveaza,

tinand cont ca , adica , avem: (2.47)

5. Ecuatia galeriei de aductiune

Considerand ca nu apar decat mici oscilatii ale planului apei in jurul pozitiei corespunzatoare regimului permanent, iar scurgerea apei in galerie are loc numai in sensul amonte-aval, teorema impulsului aplicata tubului de lichid format de apa din galerie conduce (in urma inlocuirii tuturor fortelor care apar, prin expresiile lor) la relatia:

Cum prin definitie: , ecuatia devine:

(2.48)

Daca se defineste constanta de timp de inertie a galeriei de aductiune ca fiind:

(2.49)

unde:  este o constanta adimensionala si se exprima presiunea relativa a

apei ingalerie, in regim permanent prin se obtin pierderile de sarcina in galerie in regim permanent ca fiind:

(2.50)

si energia cinetica in punctul de insertie al castelului de echilibru, in regim permanent:

(2.51)

Cu acestea, ecuatia (2.48) se poate scrie in u.r. ca fiind:

(2.52)

sau pe baza relatiilor (2.41), (2.42), (2.46) si (2.47) rezulta:

(2.53)

6. Ecuatia energiei specifice raportata la masa in punctul de insertie

al castelului de echilibru

Considerand ipoteza ca energia cinetica in punctul de insertie al castelului de echilibru este, in fiecare moment, determinata de debitul de apa ce se scurge prin galeria de aductiune, pentru mici oscilatii ale planului apei, energia se obtine din urmatorul bilant:

Castelul de echilibru, conform acestei ecuatii, se comporta ca un tub piezometric, adica nivelul sau masoara presiunea statica in punctul de insertie.

Daca se raporteaza energia la masa se obtine energia specifica a carei variatie se poate exprima prin:

sau, in u.r. obtinuta prin impartirea la se obtine:

(2.54)

Daca se tine seama si de ecuatia (2.42) avem:

si prin combinarea ecuatiilor (2.41), (2.42), (2.52) si (2.54) rezulta:

(2.55)

7. Ecuatia pierderilor de sarcina in conducta fortata

Energia specifica raportata la masa a pierderilor de sarcina in conducta fortata este, in u.r., proportionala cu patratul debitului de apa prin conducta:

iar variatia ei in jurul punctului de functionare corespunzator regimului permanent este:

care in urma liniarizarii devine: (2.56)

8. Ecuatia loviturii de berbec in conducta fortata

Pentru scrierea acestei ecuatii se considera ca elasticitatea apei si a conductei fortate sunt neglijabile si se admite ca pierderile de sarcina in conducta sunt nule si presiunea este constanta in varful conductei ca urmare a prezentei nivelului liber al apei in castelul de echilibru.

Aplicand teorema impulsului pe un tronson elementar de lichid, de sectiune Sc si lungime dLc avem:

in care dp este diferenta de presiune provocata de variatia vitezei apei intre suprafetele amonte si aval ale tronsonului elementar de lichid considerat.

Relatia de mai sus se mai poate scrie, in u.r.:

care da prin integrare:

(2.57)

in care  este energia specifica raportata la masa si in u.r. datorita loviturii de

berbec, este energia specifica corespunzatoare caderii nete in regim

permanent, iar Tc este constanta de timp de inertie hidraulica a conductei fortate si se calculeaza cu relatia:

(2.58)

9. Ecuatia energiei specifice nete raportata la masa

Energia specifica neta raportata la masa, adica energia specifica pana la amonte de turbina se obtine din relatia:

iar in punctul corespunzator regimului permanent:

Considerand raportul , (2.59)

care reprezinta pierderea de sarcina in conducta fortata in regim permanent, in u.r. vom avea:

Daca se tine cont de faptul ca ep0 = 0, adica Dep = ep se obtine dupa diferentiere si liniarizare:

(2.60)

sau cu ajutorul relatiilor (2.56) si (2.57) rezulta:

(2.61)

10. Ecuatia debitului turbinei

In punctul de functionare corespunzator regimului permanent cifra energiei, e, si cifra debitului, g, ale turbinei date de relatiile (2.28) si (2.29) se scriu:

si

Deoarece energia specifica neta este Ek = g Hn, impartind cele 2 ecuatii membru cu membru si in u.r., rezulta:

si prin derivare:

sau, liniarizand in jurul punctului de regim permanent:

(2.62)

Introducand acestea in expresia lui dgr data de relatia (2.40), se obtine:

care dupa liniarizare devine:

(2.63)

Se observa ca pentru respectarea legii continuitatii avem intotdeauna Dqc Dq

11. Ecuatia randamentului turbinei hidraulice

Daca in relatia randamentului din (2.40) se introduce expresia lui der din (2.62) se obtine dupa liniarizare:

(2.64)

12. Ecuatia puterii mecanice a turbinei hidraulice

Pe baza relatiilor (2.28) si(2.30) pentru o turbina data, avem in u.r.:

si

iar in jurul punctului de functionare corespunzator regimului permanent:

Introducand acestea in expresia lui dyr din relatia (2.40) se obtine dupa liniarizare:

(2.65)

2.3. Expresia matematica a modelului matematic complex al

amenajarii hidro

Pe baza celor prezentate mai sus se poate scrie un sistem de 5 ecuatii diferentiale si algebrice care sa sintetizeze modelele matematice ale diferitelor elemente din cadrul amenajarii hidraulice prevazuta cu galerie de aductiune si castel de echilibru si care, impreuna cu ecuatia de miscare a rotoarelor (turbina + generator) si cu ecuatiile sistemului de reglare a vitezei grupului sa caracterizeze complet comportarea unui grup hidroelectric in problemele de stabilitate DTL.

Grupul de 5 ecuatii diferentiale si algebrice este format din:

ecuatia nivelului apei in castelul de echilibru;

ecuatia energiei specifice in punctul de insertie al castelului de echilibru;

ecuatia energiei specifice nete (caderii nete);

ecuatia debitului turbinei.

ecuatia puterii mecanice a turbinei.

Pentru a usura rezolvarea acestui sistem de ecuatii prin integrarea ecuatiilor diferentiale si rezolvarea celor algebrice, ecuatiile sistemului s-au ordonat si s-au asezat intr-o forma accesibila aplicarii metodelor numerice de integrare, de tipul Runge-Kutta. S-a obtinut astfel sistemul:

La setul de ecuatii (2.66) se adauga ecuatia de miscare si ecuatiile SRAV, care dau valorile lui Dnr si a variatiei pozitiei vanelor, Da

Pentru determinarea valorilor initiale ale variabilelor, corespunzatoare regimului permanent stationar, anterior perturbatiei se anuleaza derivatele sistemului (2.66) obtinandu-se setul de ecuatii algebrice (2.67):

Pe baza celor prezentate in paragrafele 1 - 12 s-a putut reprezenta, in figura 2.22, schema de functionare a unei instalatii hidroelectrice prevazuta cu galerie de aductiune si castel de echilibru. Din aceasta schema de functionare rezulta si ecuatiile (2.66) care descriu complet si la modul general functionarea instalatiei hidraulice.

Ecuatiile (2.66) si schema de functionare corespunzatoare din fig.2.22 au un caracter general descriind comportarea, in jurul punctului de echilibru, a unei instalatii hidraulice complete. In cazul in care, in cadrul amenajarii hidraulice lipseste galeria de aductiune si castelul de echilibru, ecuatiile (2.66) raman valabile, dar se particularizeaza prin anularea constantelor corespunzatoare acestor elemente, iar in figura 2.22, blocurile corespunzatoare dispar din schema.

Fig.2.22. Schema de functionare a unei instalatii hidraulice prevazuta cu galerie de aductiune si castel de echilibru.