Reprezentarea simbolica a marimilor sinusoidale

Reprezentarea simbolica a marimilor sinusoidale

Reprezentarea polara [1,2,13,27]. O functie sinusoidala de timp, de frecventa data, este complet caracterizata de doua valori scalare: amplitudine (sau de valoarea efectiva) si faza initiala. Un vector liber ( vector al carui punct de aplicatie este arbitrar) in plan este complet caracterizat de doua valori scalare: modulul si unghiul facut de orientarea lui cu o axa de referinta numit argumentul sau. In ambele cazuri marimea considerata (functia sinusoidala sau vectorul liber) este complet caracterizata de un numar pozitiv si de valoarea unui unghi. Asa dar se poate asocia fiecarei marimi sinusoidale un vector liber in plan, si reciproc:

F  (u)  (13)

Vectorii reprezentativi F (u) sunt numiti fazori (vectori de timp) pentru a se preciza distinctia fata de marimile fizice vectoriale definite in spatiul fizic tridimensional (de pilda densitatea de curent J).

In reprezentarea polara, fazorul asociat marimii sinusoidale este un vector liber fix, de modul egal cu valoarea efectiva a marimii sinusoidale si de argument egal cu faza initiala a marimii: (14) In aceasta reprezentare apar numai elementele care o individualizeaza in raport cu celelalte marimi de aceeasi frecventa: valoarea efectiva si faza initiala.

Reprezentarea in complex a marimilor electrice. Un

numar complex se poate scrie sub forma (fig. 3):

Fig.  3

(15) unde:

este numarul complex;

C - modulul numarului complex;

a - partea reala;

b - partea imaginara;

j - argumentul numarului complex;

e - baza logaritmului natural.

Intre aceste marimi se pot scrie relatiile:

; ; (16)

Conjugatul numarului complex :

* = a - jb = (17)

In general, numarul complex de modul unitar si argument j se numeste operator de rotatie Daca a p se obtine operatorul care atasat unui fazor il roteste in sens trigonometric cu unghiul p . Conjugatul numarului complex  se noteaza cu * si se utilizeaza in rationalizarea fractiilor, precum si in alte operatii.

Operatii cu numere complexe. Adunarea. Se considera numerele complexe:

a caror suma:

reprezinta tot un numar complex de forma:

(18)

unde:

.

Scaderea. Se considera aceleasi numere complexe. Se obtine:

(19)

unde:

Diferenta este nula numai daca a = a si b = b , deci daca

Inmultirea. Produsul a doua numere complexe este tot un numar complex. Rezulta:

sau

(20)

unde:

si .

Intr-adevar:

iar pe de alta parte

.

Deci:

.

Apoi:

deci argumentele celor doua functii trigonometrice vor fi si ele egale cu suma: .

Raportul a doua numere complexe. Acest raport este tot un numar complex. (21)

in care:

si .

Derivata. Derivata a unui fazor in raport cu timpul este tot un fazor. Intr-adevar:

(22)

A deriva un fazor inseamna a-i inmulti modulul cu w si a-l roti in sens direct trigonometric cu unghiul p

Integrala. Integrala unui fazor in raport cu timpul este tot un fazor, rotit cu p in sens orar si cu modulul de w ori mai mic. Rezulta:

(23)