Rezonanta serie ( rezonanta tensiunilor )

Rezonanta serie ( rezonanta tensiunilor )

Considerand (fig. 1 ) circuitul serie R, L, C, alimentat cu o tensiune sinusoidala, legea lui Ohm se scrie :

U = RI + jwLI + I  (1)

sau

U = I [R + j ( wL - )], (2)

Asa cum s-a aratat mai sus, circuitul este rezonant daca este indeplinita conditia :

wL - =0, (3)

adica:

w LC = 1,  (4)

Aceasta relatie arata ca in circuit se poate realiza rezonanta prin variatia urmatorilor parametri : pulsatia w, inductivitatea L, sau capacitatea C. Valoarea pulsatiei pentru care se produce rezonanta se noteaza cu w si ea se deduce din (4) :

w = ,  (5)

Din relatia (2) se obtine curentul sub forma :

I =,  (6)

in care radicalul de la numitor este impedanta circuitului .

La rezonanta (vezi 3) impedanta circuitului are valoare minima si este egala chiar cu rezistenta R. Corespunzator cu aceasta curentul (6) va avea valoarea maxima la rezonanta. Diagrama fazoriala a circuitului rezonant conform relatiei (1) este data din figura 2, unde s-a luat curentul ca origine de faza .Din dreptunghiul format astfel, se deduc relatiile :

U_C = U_L (7)

U_R = U (8)

Se poate intampla ca laturile verticale sa fie mult mai mari decat cele orizontale, adica sa existe inegalitate :

U_L = U_C > U  (9)

In acest caz se spune ca in circuit apar supratensiuni (tensiuni mai mari decat tensiunea de alimentare ) si din acest motiv rezonanta serie se numeste rezonanta tensiunilor .Pot apare supratensiuni numai in circuitele in care

Lw = (10)

Tinand cont de (5), relatia (10) se mai scrie :

  (11)

Termenul are dimensiunea unei impedante si se numeste impedanta caracteristica.

Raportul

  (12)

se numeste factor de calitate, iar inversul sau

  (13)

se numeste factor de amortizare al circuitului .

Se poate constata usor ca, din punct de vedere fizic impedanta caracteristica este raportul dintre tensiunea la bornele bobinei sau condensatorului si curentul din circuit la rezonanta. De asemenea, factorul de amortizare este egal cu raportul dintre tensiunea aplicata la bornele intregului circuit si tensiunea la bornele bobinei sau condensatorului la rezonanta .

Fig. 3 Fig. 4

X = wL -   (14)

iar defazajul intre tensiune si curent fiind :

j = arc tg   (15)

in figura  3 sunt reprezentate acestea in functie de pulsatie w

Asa cum rezulta din aceasta reprezentare, pentru valori ale pulsatiei mai mici decat pulsatia de rezonanta w , reactanta circuitului este negativa (circuitul se comporta capacitiv ), iar pentru pulsatii mai mari decat pulsatia de rezonanta circuitul se comporta inductiv .

Utilizand relatia (6), tensiunile la bornele bobinei si ale condensatorului sunt date de expresiile:

U_L =wLI =  (16)

U_C - (17)

In figura 4 sunt reprezentate functiile I=I(w) ;UL=UL(w) si UC=UC(w), conform relatiilor (6), (16) si (17) .

Curentul trece printr-un maxim la rezonanta (w w ), cand valoarea sa este

I₀ = (18)

Tensiunea la bornele condensatorului are valoarea U, la w si trecerea printr-un maxim la o pulsatie, w w_C , care poate fi dedusa din (17) prin anularea derivatei in raport cu w ,obtinandu-se :

w_C w   (19)

unde w este dat de (5), iar d este dat de (13) .

Tensiunea la bornele bobinei pleaca din zero si atinge un maxim pentru w w_L, care satisface relatia :

w_L w   (20)

La rezonanta cele doua tensiuni sunt egale si satisfac relatia :

U_L = U_C =   (21)

Din relatiile (19) si (20) se constata usor ca cele doua tensiuni (U_L si U_C) nu prezinta maxime daca d> . In acest caz, curba U_C=U_C(w) scade monoton de la valoarea U la zero, iar curba U_L=U_L(w) creste monoton de la zero la U .