Utilizarea distributiei Dirac pentru deducerea caracteristicilor spectrale

Relatiile de definitie sunt:

sau daca t₀ = 0

Proprietati:

Distributia δ se considera para

δ (t-τ) = δ (τ- t);

2. Proprietatea de " sondare in timp ":

Se considera un semnal u(t)

;

Este o consecinta directa a relatiei de definitie .

" Sondarea in frecventa " :

Fie caracteristica spectrala U(jω). Se considera aceasta caracteristica spectrala la frecventa ω₀ .

.

u(t)δ(t-t₀) = u(t₀)δ(t-t₀), ;

5. Derivata distributiei Heaveside

Daca u(t) reprezinta distributia Heaveside sau treapta unitara, avem:

;

6. Transformata Fourier a distributiei δ :

F = δ(t)e^-jωtdt = e^-jω.0 =1 (vezi proprietatea de sondare) .

7. Fie 2πδ(jω) o distributie definite in domeniul frecventelor. Sa se calculeze F^-1 = ? .

F 2πδ(jω)e^jωtdω= e^0.t = 1.

Consecinta: Transformata Fourier directa va fi:

In general , rezultatul incadrat poate fi scris in felul urmator:

F = 2πAδ(jω); daca u(t) = A (semnal continuu).

8. Caracteristica spectrala a unei functii exponentiale de forma e^jω₀^t nu are transformata Fourier.

Theorema deplasarii spectrale:

9. Caracteristicile spectrale ale functiilor trigonometrice

cos ω₀t = (e^jω₀^t + e^-jω₀^t ) / 2;

F = [ F + F ] = π

sin ω₀t = (e^jω₀^t - e^-jω₀^t ) / 2j ;

F =

Factorul 1/j nu afecteaza decat caracteristica de faza , aratand ca fata de cazul anterior exista doar diferente de faza .

10. Determinarea caracteristicilor spectrale ale unui semnal periodic :

u(t) = A_i e^jiω₀^t

F = A_iF = 2π A_i δ[j(ω-iω₀)]

SEMNALE ESANTIONATE

Achizitia semnalelor in calculator se face prin convertoare analog numerice (A/N). Acestea realizeaza doua operatii:

• esantionarea este preluarea valorii semnalului periodic cu o perioada notata cu T si numita perioada de esantionare;
• cuantizarea. Rezultatul cuantizarii este un numar care ne arata de cate ori se cuprinde o unitate, numita pas de cuantizare, in esantionul procesat.

Dintre cele doua operatii esantionarea este mult mai deosebita (timp discret).

Un esantionator se reprezinta schematic astfel:

unde: x(t) - semnalul care trebuie esantionat

x_e(t) - semnalul esantionat

Esantionare ca modulatie a impulsurilor in amplitudine (MIA) :

Pentru inceput putem trata esantionarea ca o MIA. Vom presupune ca impulsurile sunt unitare, adica Aτ = 1. In continuare vom deduce modelul matematic al semnalului esantionat tratat ca semnal MIA.

O prima operatie este modelarea semnalului purtator a lui x_p(t)

Sa consideram o functie. 

Vom calcula convolutia h(t)δ_T(t).

δ_T(t) = (functie pieptene)

h(t)δ_T(t) = h(t) = = x_p(t).

Cand i = 0 → u(t)

Cand i = 1 → u(t - T)

Cand i = 2 → u(t - 2T)

Pentru i negativ : h(t)δ_T(t).= x_p(t)

X_e(t)=X_MIA(t)=X_p(t) X(t) ;

Ne intereseazǎ caracteristica spectralǎ a impulsurilor modulate in amplitudine.

X_MIA(jω)=F F=X_p(jω)X(jω) ;

Calculul X_p(jω):

X_p(t)=h(t)δ_T(t)F FX_p(jω)=F F

Calculam mai intai transformata Fourier a distributiei δ periodicǎ , adicǎ a functie δ_T(t)

Fiind un semnal periodic δ_T(t) se poate descrie printr-o serie Fourier complexǎ de forma:

_T(t)=_{i .},cu ω_0=;

_i=.dt=dt==.=

Revenind la seria Fourier complexǎ avem:

Calculǎm transformata Fourier:

F=F==

Caracteristica spectralǎ este deci:

Notǎm cu

(j)

distributia periodicǎ definitǎ pe scara frecventelor

Calculǎm acum:

H(j)=F

In exemplul tratat in cursul trecut, am calculat transformata Fourier pentru functia:

F(jω)=F=Aτ sinc

Constatǎm ca h(t)=f(t-).

Aplicand teorema intarzieriiH(jω)=;

Revenim la calculul lui (jω) _:

(jω)=A, cu ;

_;

Am studiat proprietatea_{: ;}

Aplicand aceastǎ proprietate egalitatii obtinem_:

Caracteristica spectralǎ a semnalului _(t) este deci_:

Vom presupune ca A si ca semnalul x(t) are spectrul alaturat:

Din formula (1) rezulta urmatoarea caracteristica spectrala a semnalului x_MIA(t):

S-a considerat ca pentru i=4 avem:

Modelul matematic al procesului de esantionare ideal

Se constata ca

In aceasta situatie avem:

fiind semnalul esantionat ideal. Din formula (1), pentru , rezulta caracteristica spectrala .

Modelul esantionatorului ideal este deci:

Determinam caracteristica spectrala a semnalului esantionat ideal, plecand de la relatia:

careia ii aplicam transformata Fourier:

Datorita proprietatii de sondare in frecventa a functiei , avem:

(3)

Constatam ca relatia (3) se poate obtine din (1) prin trecere la limita:

= pulsatie de esantionare