SARCINA ELECTRICa. CAMPUL ELECTRIC

Fenomenele electrice au fost descoperite devreme in istoria societatii umane. Acestea au fost mai intai obiectul curiozitatii si al fricii. In secolele XVII - XVIII aceste fenomene au facut obiectul unor experiente spectaculoase. Analiza stiintifica sistematica a fenomenelor electromagnetice a inceput in 1785 (legea lui Coulomb) si pana in 1875 (ecuatiile Maxwell) aceasta analiza a condus la elaborarea unei teorii ce exista inca fara modificari esentiale.

1.1. Electrizarea. Legi calitative

Inca de la Thales din Milet (sec. VI i.e.n.) se stie ca in urma frecarii chihlimbarului cu o blana de pisica, acesta atrage corpuri usoare. Aceasta proprietate, numita triboelectricitate, este la originea descoperirii electrizarii. Se constata experimental ca este posibila electrizarea unor corpuri. Electrizarea este caracterizata de urmatoarele legi calitative:

corpurile electrizate exercita actiuni mecanice;

electrizarea poate fi transferata de la un corp la altul;

exista doua tipuri de electrizari conventional numite pozitiva si negativa;

doua corpuri de aceeasi electrizare se resping, iar doua corpuri de electrizari diferite se atrag;

corpurile neelectrizate sunt atrase de corpurile electrizate.

In acest context se disting doua tipuri de materiale:

materiale pentru care fenomenul de electrizare este local si care sunt numite izolatoare;

materiale pentru care fenomenul de electrizare este global si care sunt numite conductoare.

1.2. Sarcina electrica. Distributii de sarcina

Sarcina electrica este marimea ce permite caracterizarea starii de electrizare a corpurilor. Experientele de electrizare au pus in evidenta existenta a doua tipuri de sarcina electrica: pozitiva si negativa.

Sarcina electrica are proprietati remarcabile dintre care vom aminti cateva:

- este o marime extensiva, deci nu depinde decat de starea sistemului si este egala cu suma algebrica a sarcinilor elementare ce constituie sistemul;

- este o marime conservativa;

- este o marime cuantificata. Numeroase experiente, dintre care cea mai cunoscuta este experienta Millikan din 1910 au pus in evidenta ca sarcina poate varia doar cu multiplii sarcinii elementare (q_e = 1,6021 10^-19 C).

- este invarianta la transformarile Galilei.

In fizica macroscopica se introduc densitati de sarcina ce permit calculul sarcinii continute de un obiect. Astfel, pentru o distributie volumica, de suprafata sau liniara de sarcina se introduc densitatea volumica , densitatea de suprafata si densitatea liniara . In aceste cazuri sarcina totala este calculata cu relatiile:

In general daca distributia de sarcina ocupa o regiune restransa a spatiului, o putem considera ca fiind punctuala.

Simetrii ale distributiilor de sarcina

Operatiile de simetrie utile pentru cele ce urmeaza sunt: simetria plana S, tranzlatia T si rotatia in jurul unei axe R.

1.3.1. Simetria plana

Daca planul xOy este un plan de simetrie pentru distributie, atunci punctele M(x,y,z) si M'(x,y,-z) sunt simetrice fata de acest plan. Distributia este invarianta la simetrie in raport cu acest plan daca densitatile de sarcina in aceste puncte sunt identice.

O distributie de sarcina este simetrica in raport cu planu xOy daca

Se spune ca un plan P este plan de antisimetrie pentru distributie daca este verificata relatia:

1.3.2. Invarianta la translatie

Vorbim de o distributie invarianta la translatie paralela cu o axa, daca densitatea de sarcina este aceeasi in punctul M si in orice punct M' obtinut prin tranzlatia lui M paralel cu axa data.

Densitatea de sarcina a unei distributii este invarianta la tranzlatie dupa axa Oz daca

1.3.3. Invarianta la rotatie

O distributie este invarianta la rotatie in jurul unei axe Oz daca densitatea de sarcina a unui punct M este aceeasi cu cea a punctelor M' obtinute prin rotatia lui M cu un unghi oarecare in jurul lui Oz.

Distributia de sarcina este invarianta la rotatie in jurul unei axe Oz daca

1.3.4. Distributii cu simetrii multiple

Se intalnesc frecvent distributii invariante in raport cu mai multe operatii de simetrie elementare, din care amintim aici distributiile cu simetrie cilindrica si cele cu simetrie sferica.

Distributii cu simetrie cilindrica

Aceste distributii sunt invariante la tranzlatie paralela cu o axa Oz si la rotatie in jurul acestei axe. Se poate spune deci ca o distributie are simetrie cilindrica daca

Distributii cu simetrie sferica

Aceste distributii sunt invariante rotatie in jurul oricarei axe ce trece prin centrul de simetrie. Se poate spune deci ca o distributie are simetrie sferica daca

1.4. Legea lui Coulomb. Camp electrostatic

Legea lui Coulomb generalizeaza constatari experimentale si este valabila pentru interactiuni intre sarcini electrice punctiforme fixe.

Enunt: Forta ce se exercita intre doua sarcini electrice punctiforme fixe este invers proportionala cu patratul distantei ce le separa, si este proportionala cu produsul sarcinilor. Directia acestei forte este data de segmentul de dreapta care uneste cele doua sarcini (Fig. 1.1).

Figura 1.1

Forta de interactiune dintre doua sarcini punctiforme, aflate in vid se numeste forta Coulomb si are expresia:

(1.1)

unde q₁ si q₂ sunt cele doua sarcini, r este distanta dintre ele, este versorul directiei ce uneste cele doua sarcini si este permitivitatea absoluta a vidului.

Legea este valabila pentru distante oricat de mari ce separa cele doua sarcini punctiforme. In domeniul distantelor mici, legea este aplicabila atat timp cat conditia de punctiformitate este valabila. S-a aratat experimental ca pentru particule elementare se poate ajunge la distante de ordinul 10^-14 m.

Daca plasam intr-un punct A o sarcina punctuala q_A si intr-un punct B fixat aducem pe rand sarcinile q_i, constatam ca raportul:

(1.2)

nu depinde decat de sarcina q_A si de alegerea punctului B. Raportul introdus prin relatia (1.2) este o marime vectoriala numita intensitatea campului electrostatic creeat in punctul B de sarcina fixa plasata in punctul A. Unitatea de masura pentru intensitatea campului electrostatic este volt pe metru (V/m). are aceeasi directie cu . q_i se numesc sarcini de proba, iar q_A este sarcina ce creaza campul electric.

Proprietatea de aditivitate vectoriala a fortelor electrostatice permite sa scriem, pentru o sarcina q plasata in punctul M si supusa actiunii unui ansamblu de N sarcini plasate in punctele :

(1.3)

Se considera o repartitie volumica de sarcina caracterizata prin densitatea volumica  intr-un volum finit V. Intr-un punct M, suficient de departat de toate punctele P ale distributiei, un element de volum dV din jurul punctului P apare ca o sarcina punctuala d q= (P) dV. Intensitatea campul rezultant in M este :

(1.4)

Daca notam vectorii (Fig. 1.2) se poate scrie:

Figura 1.2

Similar pentru distributii superficiale sau liniare de sarcina, se poate scrie:

si

unde q₀ este sarcina de proba, iar este vectorul ce uneste distributia de sarcina cu sarcina de proba.

Pentru reprezentarea campului electric trebuie sa asociem, fiecarui punct din spatiu, un vector care determina marimea si directia campului.

Un alt mod de reprezentare a campului electric este cu ajutorul liniilor de camp. Acestea sunt curbe ale caror tangente, in orice punct, coincid cu directia campului in acel punct. Un element de lungime in lungul unei linii de camp este paralel cu vectorul intensitate a campului electric . Ecuatia unei linii de camp este

Doua linii de camp pot sa se taie intr-un punct M daca

campul este nul in puncrtul M

campul nu este definit in punctul M. In punctul M este localizata o sarcina punctuala, sau M apartine unei suprafete sau linii de sarcina.

Pornind de la liniile de camp nu se poate determina direct marimea campului, cu toatre ca acestea converg pe masura apropierii de regiunea unde campul este intens si diverg in regiuni unde campul electric este slab. Campul ale carui linii sunt paralele si echidistante se numeste camp omogen.

1.5. Proprietati de simetrie ale campului electric

Calculul valorilor campului electric pornind de la integrale poate fi destul de dificil. Frecvent se intalnesc situatii in carecalculele pot fi simplificate tinand seama de consideratii de simetrie.

1.5.1. Simetria plana

Se considera o distributie de sarcina invarianta la o simetrie plana fata de planul . Intr-un punct M al planului de simetrie contributiile elementare la campul electric a doua elemente de volum elementar dV asociate punctelor P si P', in care P'=S(P) (simetricul lui P) au ca suma un vector paralel la planul .

In consecinta, in punctele unui plan de simetrie a unei distributii de sarcina, campul electrostatic creat este paralel la planul de simetrie.

Pentru un plan de antisimetrie a distributiei, un rationament asemanator conduce la concluzia: in punctele unui plan de antisimetrie pentru o distributie de sarcina, campul electrostatic creat de acea distributie este perpendicular pe planul de antisimetrie.

1.5.2. Invarianta la translatie

Daca distributia de sarcina este invarianta la o tranzlatie paralela cu axa Oz campul electric creat de distributie verifica relatia

(n intreg)

1.5.3. Invarianta la rotatie

Pentru o distributie invarianta la o rotatie de unghi  () in jurul unei axe Oz, campul electrostatic in punctul M' (M'=R(M)) are acelasi modul cu cel din M iar directia sa este rotita cu unghiul  in sensul rotatiei date.

1.5.4. Simetrii multiple

Printre cazurile interesante din punct de vedere practic de distributii cu simetrii multiple fac parte:

distributia cu simetrie sferica. In acest caz campul creat de distributie verifica relatia

- distributia cu simetrie cilindrica. In acest caz campul creat de distributie verifica relatia

1.6. Teorema lui Gauss

Liniile de camp dau informatii precise asupra repartitiei spatiale a sarcinilor electrice, dar nu si asupra intensitatii intr-un punct. Pentru a putea obtine astfel de informatii vom introduce notiunea de flux al campului printr-o suprafata.

Vom numi flux al campului electrostatic printr-o suprafata orientata (Fig. 1.3) marimea:

(1.5)

unde este versorul normalei externe la suprafata S si .

Figura 1.3

Vom numi unghiul solid sub care se vede o suprafata din punctul unde este plasata sarcina (Fig. 1.4), marimea definita prin:

(1.6)

Daca sarcina q este plasata in interiorul suprafetei S (Fig. 1.4.a) elementul de unghi solid poate fi scris

unde este versorul directiei vectorului . Pentru calculul unghiului solid se considera o sfera de raza r₀ si arie S₀ centrata pe sarcina q. Se constata ca elementul de suprafata de pe sfera considerata acopera acelasi unghi solid ca si elementul de pe suprafata S. Prin urmare se poate scrie:

(1.7)

Figura 1.4.a Figura 1.4.b

Daca sarcina q este in exteriorul suprafetei S (Fig. 1.4.b), liniile de camp ce pornesc de la sarcina q strabat suprafata inchisa de doua ori: o data la intrarea in suprafata si o data la iesirea din aceasta. In acest caz se considera doua elemente de suprafata , unde liniile de camp ies din suprafata S si , unde liniile de camp intra in suprafata S, ambele acoperind acelasi unghi solid . Ca si in cazul precedent:

si

Prin urmare

si

Fluxul campului electric creeat de sarcina q prin suprafata S va fi atunci :

In cazul campului creat de o distributie volumica de sarcina, de densitate  continuta in volumul V, se poate scrie (Fig. 1.5):

Figura 1.5

iar fluxul sau printr-o suprafata oarecare S este:

Cum integralele se pot permuta, obtinem:

(1.8)

Cum daca P este in exteriorul suprafetei S si este egal cu 4  daca P este in interiorul suprafetei S, la valoarea fluxului contribuie numai sarcinile din volumul delimitat de suprafata S, deci:

(1.9)

unde Q_int este sarcina totala din interiorul lui S. Acest rezultat constituie teorema lui Gauss:

Fluxul campului electrostatic creat de o distributie de sarcina, printr-o suprafata inchisa oarecare, este proportional cu sarcina totala situata in volumul delimitat de aceasta suprafata.

Pentru a obtine forma locala a teoremei lui Gauss vom aplica teorema Gauss Ostrogradski integralei din relatia (1.9) rezulta:

deci

(1.10)

Relatia precedenta exprima legatura dintre densitatea surselor de camp (sarcinile electrice) intr-un punct si intensitatea campului in punctul respectiv.

Este de remarcat faptul ca legea lui Gauss nu este o lege noua a electrostaticii, ci mai degraba o alta forma de exprimare a legii lui Coulomb. Pentru calculul campului electric se poate folosi fie legea lui Coulomb, fie legea lui Gauss. Pentru distributii discrete de sarcina este mai comoda utilizarea legii lui Coulomb. In cazul distributiilor discrete sau continue, cu simetrie ridicata este mai comoda folosirea teoremei lui Gauss.

1.7. Aplicatii la calculul campului electric

1.7.1. Campul electric al unei distributii sferice de sarcina

Se considera o sfera cu raza R si centru O (Fig. 1.6), in care sarcina q este uniform distribuita, cu densitatea . Calculul campului electric se realizeaza separat pentru exteriorul si respectiv interiorul sferei considerate. Pentru calculul campului electric in exteriorul sferei se va considera o suprafata sferica, de raza r₁, concentrica cu sfera, numita suprasfata gaussiana.

Figura 1.6

Datorita simetriei problemei, pe toata suprafata gaussienei campul electric are aceeasi valoare E₁ si este normal la suprafata. Fluxul campului electric prin aceasta suprafata este:

deci

(1.11)

Campul electric creeat de distributia sferica intr-un punct exterior ei este acelasi ca si cum toata sarcina sferei ar fi concentrata in centrul ei.

Pentru calculul campului electric in interiorul sferei se considera o gaussiana, concentrica cu sfera si cu raza r₂ < R. Campul electric va avea aceeasi valoare in toate punctele gaussienei si este orientat radial. Sarcina electrica din interiorul suprafetei va fi:

Fluxul campului electric prin gaussiana considerata este:

de unde

(1.12)

Deci in interiorul distributiei sferice de sarcina, intensitatea campului electric creste liniar cu r₂.

1.7.2. Campul electric al unei distributii liniare infinite de densitate liniara 

Se alege drept suprafata gaussiana o suprafata cilindrica, coaxiala cu distributia de sarcina, avand generatoarea L si raza bazei r (Fig. 1.7). Campul electric creat de distributia de sarcina este orientat radial, deci fluxul creat prin bazele cilindrului considerat este nul: .

Figura 1.7

Pe toata suprafata laterala a cilindrului valoarea campului electric este aceeasi si orientarea vectorului camp electric este paralela cu versorul normalei exterioare. Fluxul campului electric prin suprafata laterala a cilindrului va fi: E 2 r L. Sarcina continuta in interiorul suprafetei cilindrice este q=L. Prin urmare se obtine:

(1.13)

1.7.3. Campul electric al unui plan infinit, incarcat uniform cu densitatea superficiala de sarcina 

Se considera o suprafata gaussiana cilindrica, normala la plan (Figura 1.8). Din considerente de simetrie, campul electric trebuie sa fie normal la plan si orientat de la plan spre exterior. Fluxul campului electric prin aria laterala a cilindrului va fi nul, deci ramane de calculat doar fluxul prin baze. Daca aria bazei este S, atunci fluxul prin baze este 2ES. Sarcina electrica inchisa in interiorul cilindrului este deci:

(1.14)

Figura 1.8

Se constata ca valoarea campului electric creat de planul infinit uniform incarcat cu sarcina electrica nu depinde de distanta de la punct la plan ci numai de densitatea superficiala a sarcinii planului.

Daca sarcina electrica uniform distribuita pe plan este negativa, liniile de camp vin din exterior si intra in plan.

1.7.4 Discontinuitatea componentei normale a campului electric la traversarea unui plan incarcat cu sarcina electrica

Se considera o suprafata incarcata cu densitatea superficiala de sarcina . Pe aceasta suprafata se traseaza curba C (curba ce delimiteaza zona hasurata din figura 1.9) pe care se construieste volumul cilindric ce are ca baze suprafetele vecine S₁ si S₂ situate de o parte si de alta a lui S (Fig. 1.9).

Figura 1.6

Fluxul campului electrostatic prin suprafata ce delimiteaza acest volum este cel creat de sarcinile din interiorul sau. Campul electric creat de sarcinile din interiorul volumului este normal la suprafata S si are valoarea:

unde este normala exterioara la suprafata orientata de la S₁ spre S₂. Fluxul devine deci:

neglijand fluxul prin suprafata laterala a cilindrului ce tinde la zero. Notand valorile campului electric de fiecare parte a suprafetei, fluxul poate fi scris :

(1.15)

Aceasta relatie arata ca la traversarea unei suprafete incarcate electric, componenta normala a campului electrostatic este discontinua.