Simplificarea circuitelor logice

Simplificarea circuitelor logice

Simplificarea circuitelor cu porti logice

Sa incepem cu un circuit format din porti logice ce necesita o simplificare. Presupunem ca intrarile A, B si C sunt asigurate de comutatoare, senzori sau alte porti logice. Originea acestor semnale nu este importanta din punct de vedere al simplificarii.

Scrierea expresiei booleene

Primul pas al simplificarii consta in scrierea expresiei booleene pentru acest circuit. Acest pas este cel mai usor de realizat daca scriem sub-expresii pentru iesirea fiecarei porti, corespunzator semnalelor de intrare. Este bine sa reamintim faptul ca o poarta SAU este echivalenta cu o adunare booleana, iar o poarta SI cu o inmultire booleana. Sa scriem asadar sub-expresii la iesirea primelor trei porti:

Scriem apoi sub-expresiile urmatoarelor seturi de porti. In cazul de fata, avem doar o singura poarta pe nivelul urmator:

Si, in sfarsit, iesirea (Q) circuitului logic este egala cu urmatoarea expresie:

Simplificarea expresiei booleene

Acum ca avem o expresie booleana, urmatorul pas este aplicarea regulilor algebrei booleene pentru reducerea expresiei de mai sus la forma ei cea mai simpla. Reamintim faptul ca cea mai simpla forma este acea forma care necesita cele mai putine porti logice pentru implementarea ei.

Prin urmare, expresia AB + BC(B + C) poate fi redusa astfel: la primul pas realizam inmultirea termenilor; aplicam apoi identitatea AA = A termenilor doi si trei; aplicam identitatea A + A = A termenilor doi si trei rezultati; scoatem termenul comun B in fata:

AB + BC(B + C) = AB + BBC + BCC = AB + BC + BC = AB + BC = B(A + C)

Expresia rezultata, B(A + C), este mult mai simpla decat cea originala. Ea realizeaza insa aceiasi functie. Daca vreti sa verificati acest lucru, puteti construi un tabel de adevar pentru ambele expresii. Determinati apoi rezultatul Q (iesirea circuitului) pentru toate cele opt combinatii posibile dintre A, B si C pentru ambele circuite. Cele doua tabele trebuie sa fie identice.

Evaluarea expresiei booleene rezultate

Urmatorul pas consta in generarea unei scheme logice folosind aceasta expresie booleana simplificata. Pentru realizarea acestui lucru, evaluam expresia urmand ordinea matematica a operatiilor (inmultirea inainte adunarii, operatiile din interiorul parantezelor inaintea celorlalte). La fiecare pas vom adauga o noua poarta. Portile SAU sunt echivalente cu adunarea booleana, iar portile SI sunt echivalente operatiei de inmultirea booleana. In exemplul de fata, incepem construirea circuitului cu sub-expresia "A + C", expresie ce nu este altceva decat o poarta SAU:

Urmatorul pas in evaluarea expresiei B(A + C) consta in inmultirea (poarta SI) semnalului B cu iesirea portii precedente (A + C):

Evident, acest circuit este mult mai simplu decat cel original, avand doar doua porti logice in loc de cinci. O astfel de reducere a numarului de componente conduce la viteze de functionare crescute (timpul de propagare a semnalului de la intrare la iesire este mai scurt), consum de energie mai scazut, cost mai mic si o fiabilitate mai ridicata.

Simplificarea circuitelor cu relee electromecanice

Circuitele cu relee electromecanice pot profita foarte mult de pe urma simplificarii booleene. De obicei, acestea sunt mai lente, consuma mult mai multa energie, costa mai mult, iar durata de viata medie este mai scurta decat cea a portilor logice semiconductoare. Sa consideram asadar exemplul de mai jos:

Scrierea expresiei booleene

Primul pas al reducerii acestui circuit la forma cea mai simpla este, din nou, scrierea circuitului sub forma unei expresii booleene. Cea mai simpla metoda de realizare a acestui lucru este asemanatoare cu metoda reducerii unui circuit rezistiv serie-paralel la o singura rezistenta. De exemplu, sa consideram circuitul rezistiv de mai jos, cu rezistorii aranjati asemeni contactelor circuitului precedent.

Formula corespunzatoare reducerii acestui circuit la o rezistenta echivalenta, este urmatoarea:

R_total = R₁ // [(R₃ // R₄) -- R₂] // (R₅ -- R₆)

Contactele paralele sunt echivalente cu adunarea booleana, iar contactele serie cu inmultirea booleana. Expresia boolena a circuitului cu relee de mai sus se scrie urmand aceleasi reguli care se regasesc in cazul reducerii circuitelor serie-paralel la o rezistenta totala echivalenta. Simplificarea ne este usurata daca scriem sub-expresii booleene la stanga fiecarei linii in parte:

Simplificarea expresiei booleene

Acum ca avem o expresie booleana, tot ceea ce trebuie sa facem este sa aplicam regulile de simplificare pentru a aduce expresia la forma ei cea mai simpla (forma ce necesita cele mai putine relee pentru implementarea fizica).

Pasii sunt urmatorii: extindem termenul B(A + C); aplicam regula A + AB = A primilor doi termeni; aplicam regula A + AB = A primului termen si termenului al treilea:

A + B(A + C) + AC = A + AB + BC + AC = A + BC + AC = A + BC

Evaluarea expresiei booleene rezultate

Dupa cum putem vedea, circuitul redus este mult mai simplu decat originalul, dar functia logica pe care o indeplineste este neschimbata: