Sisteme de numeratie

Sisteme de numeratie

Sistemul de numeratie roman

Romanii au pus la punct un sistem de numeratie pe baza de simboluri (cifre) pentru reprezentarea cantitatilor, astfel:

X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000

Daca o cifra este urmata de o alta cifra a carei valoare este egala sau mai mica decat prima, niciuna dintre cifre nefiind mai mare decat cele din stanga sa, valoarea acestei cifre se adauga la valoarea totala. Astfel, VIII reprezinta valoarea 8, iar CLVII reprezinta 157. Pe de alta parte, daca o cifra este precedata la stanga sa de o alta cifra a carei valoare este mai mica decat prima, valoarea primei se scade din a doua. Prin urmare, IV = 4 (V minus I), iar CM = 900 (M minus C). De exemplu, anul 1987 poate fi reprezentat in notatia romana astfel: MCMLXXXVII. O analiza a acestei notatii este bine-venita:

M (1000) + CM (900) + L (50) + XXX (30) + V (5) + II (2) = 1987

Numerele mari sunt dificil de reprezentat prin intermediul acestei notatii. Adunarea si scaderea cifrelor ne poate si ea da batai de cap. O alta problema majora a acestui sistem este imposibilitatea reprezentarii numerelor negative sau a valorii nule (zero), ambele fiind concepte foarte importante in matematica.

Sistemul de numeratie zecimal

Una dintre cele mai importante idei ale sistemului zecimal de numeratie se datoreaza babilonienilor. Acestia au fost aparent prima civilizatie ce s-a folosit de pozitia cifrei pentru reprezentarea numerelor mari (sistem de numeratie pozitional). In loc sa inventeze cifre noi pentru reprezentarea cantitatilor mari, precum romanii (sistem de numeratie ne-pozitional), acestia au refolosit aceleasi cifre, dar plasate in pozitii diferite de la dreapta spre stanga. Sistemul zecimal actual utilizeaza acest concept, folosind doar 10 cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 si 9) pentru reprezentarea valorilor in functie de pozitia acestora. Fiecare cifra reprezinta o valoare intreaga, iar fiecare pozitie de la dreapta spre stanga reprezinta o constanta de multiplicare pentru fiecare dintre aceste valori intregi. De exemplu, notatia zecimala "1206", poate fi desfacuta in urmatorul produs:

1206 = 1000 + 200 + 6
1206 = (1 x 1000) + (2 x 100) + (0 x 10) + (6 x 1)

Fiecare simbol poarta numele de cifra, iar fiecare pozitie este de zece ori mai mare decat pozitia imediat urmatoare (din dreapta). Astfel ca, in cazul de mai sus, avem pozitia sau cifra unitatilor (6), cifra zecilor (0), cifra sutelor (2) si cifra miilor (1), de la dreapta spre stanga.

Sistemul de numeratie binar

Ce s-ar intampla daca am realiza un sistem de numeratie cu aceleasi principii de baza precum sistemul zecimal, dar cu mai putine sau mai multe cifre?

Sistemul binar este un astfel de sistem "modificat" ce utilizeaza doar doua cifre, constanta de multiplicare a fiecarei cifre fiind in acest caz de doua ori mai mare decat a cifrei precedente (de la dreapta la stanga). Cele doua cifre sunt "0" si "1". Pozitia din dreapta este pozitia unitatilor, la fel ca in cazul notatiei zecimale. Spre stanga, constantele de multiplicare sunt dupa cum urmeaza: 2, 4, 8, 16, etc. De exemplu, urmatorul numar binar poate fi exprimat, la fel ca si numarul zecimal 1206, ca si suma dintre produsul fiecarei cifre cu, constanta de multiplicare (in functie de pozitie):

11010 = 2 + 8 + 16 = 26
11010 = (1 x 16) + (1 x 8) + (0 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1)

Specificarea bazei

Mai sus, am scris un numaru sub forma binara (11010) si l-am transformat in forma zecimala (16 + 8 + 2 = 26). Prin urmare, am amestecat doua notatii diferite in acelasi loc. Pentru a nu crea confuzii, va trebui sa explicitam tipul notatiei folosite. Acest lucru se realizeaza prin specificarea bazei numarului respectiv prin folosirea indicilor, 2 pentru notatia binara, si 10 pentru cea zecimala, astfel: 11010₂ (baza doi) si 26₁₀ (baza zece).

Acesti indicii nu sunt operatori matematici, precum exponentii (puteri). Tot ceea ce fac este sa indice tipul de sistem de numeratie utilizat pentru reprezentarea numarului respectiv. De obicei, atunci cand nu este specificata nicio baza, se presupune ca se lucreaza in baza zece (₁₀).

De remarcat ca, in cazul notatiei binare, fiecare pozitie poarta numele de bit

Scopul sistemului binar de numeratie

De ce am vrea sa folosim acest sistem de numeratie binar? Sistemul decimal, cu cele zece cifre ale sale, este intuitiv si usor de inteles. Sistemul binar este folosit in principal de electronica digitala (utilizata de calculatoare, de exemplu), datorita usurintei de reprezentare electronica a celor doua stari (0 si 1). Cu un circuit relativ simplu, putem efectua operatii matematice asupra numerelor binare reprezentand fiecare bit printr-un circuit care este fie pornit (curent) fie oprit (curent zero). La fel ca si in cazul unui abac, putem adauga mai multe circuite pentru a reprezenta numere din ce in ce mai mari. Acest sistem este ideal pentru stocarea si redarea informatiei sub format numeric: benzi magnetice, CD-uri, hard-disk-uri, etc.