Spectrul unui semnal

In cele ce urmeaza se discuta separat cazul semnalelor periodice si a semnalelor oarecare (fara proprietati de periodicitate).

Cazul semnalelor periodice

Se considera un semnal periodic, , caracterizat prin perioada, T si pulsatia . Armonicile semnalelor periodice se pot obtine pe baza seriei Fourier trigonometrice:

(A II‑ )

sau, intr-o forma mai compacta, cu ajutorul seriei Fourier exponentiale:

(A II‑ )

(se vor considera pentru armonicile din aceasta dezvoltare termenii in cos).

Legatura dintre cele doua dezvoltari este descrisa prin relatia:

(A II‑ )

Spectrul de frecventa al semnalului contine multimea pulsatiilor corespunzatoare tuturor armonicilor componente.

Se observa ca pentru un semnal periodic de pulsatie spectrul de frecventa este discret. Pulsatiile ce apar in acest spectru sunt:

pentru seria Fourier trigonometrica:

pentru seria Fourier exponentiala:

Exemplul AII-1

Se determina armonicile componente ale unui semnal dreptunghiular, periodic, cu factor de umplere ½ reprezentat grafic in Fig. A II‑1.

Fig. A II Reprezentarea semnalului u(t) in domeniul timp

Seria Fourier trigonometrica corespunzatoare semnalului u(t) este:

(A II‑

Seria Fourier exponentiala a semnalului u(t) este:

(A II‑

In relatia (A II‑ ), pentru pulsatia , termenii prezenti in seria Fourier exponentiala sunt:

si .

Retinand pentru fiecare din acesti termeni doar componenta in cosinus (partea reala), suma lor se poate prelucra astfel:

,

obtinandu-se astfel descrierea armonicii de pulsatie , ca in relatia (AII‑4).

Reprezentarea grafica a seriei exponentiale Fourier data in fig. A II‑2 ofera informatii despre spectrul de amplitudine (evidentiaza grafic amplitudinea fiecarei armonici) si spectrul de faza (ilustreaza defazajul fiecarei armonici).

Fig. A II Reprezentarea grafica a seriei exponentiale Fourier asociata semnalului u(t) considerat in Exemplul AII-1

Din relatiile (A II‑ ) sau (A II‑ ), respectiv din fig. A II‑2, se observa ca amplitudinea armonicilor este o functie descrescatoare de n, deci armonicile de ordin superior vor putea fi neglijate, contributiile lor in sumele (A II‑ ), (A II‑ ), fiind neimportante. Cu o buna aproximatie se va putea considera ca semnalul este obtinut prin superpozitia unui numar finit de armonici, neglijand armonicile de ordin superior.

Cazul semnalelor fara proprietati de periodicitate

Se considera un semnal oarecare . Spectrul de frecventa este descris prin transformata Fourier, definita ca o extensie a seriei Fourier exponentiale:

(A II‑

iar semnalul se obtine prin transformata inversa Fourier:

(A II‑

Functia complexa U(jω) descrie amplitudinea si defazajul armonicii de amplitudine ω.

Spectrul de frecventa al unui semnal oarecare este continuu.

Exemplul AII-2

Pentru semnalul de tip functie treapta, definit prin:

(A II‑

spectrul de frecventa este:

(A II‑

si are reprezentarea grafica din fig. A II‑3.

Fig. A II Reprezentarea grafica a seriei exponentiale Fourier asociata semnalului u(t) considerat in Exemplul AII-2

Observatie: Functia definita prin (AII‑ ) nu este transformabila Fourier in sensul posibilitatii calculului integralei (AII‑ ). Se poate intra in posesia spectrului exprimat prin (AII‑ ) facand apel la transformarea Fourier a distributiilor.

Transformarea inversa definita prin relatia (AII‑ ) are urmatoarea interpretare: semnalul se obtine prin superpozitia unor semnale sinusoidale. Multimea pulsatiilor acestor sinusoide este multimea numerelor reale. In exemplul considerat, semnalele sinusoidale de pulsatii mari au o amplitudine foarte mica si , in consecinta, in semnalul cel mai puternic se resimte influenta componentei continue () si a sinusoidelor de joasa frecventa. Semnalele de inalta frecventa sunt o caracteristica a frontului de comutare din valoarea 0 la valoarea 1, care caracterizeaza semnalul treapta la momentul de timp .