Tranzitii indirecte

TRANZITII INDIRECTE

S-a aratat ca in cazul tranzitiilor banda-banda trebuie respectata regula conservarii impulsurilor. In unele cazuri se pot produce si tranzitii neverticale in care conservarea momentului este asigurata prin interventia unuia sau mai multor fononi; procesele multifononice au desigur o probabilitate mica. Astfel de tranzitie,numite indirecte, au loc de exemplu in

11

Ge, dand nastere unor absorbtii apreciabile (desi mai mici decat cea directa); ele se fac intre maximul de la al benzii de valenta si minimul benzii de conductie de la marginea Brillouin , in directia si determina largimea zonei interzise.

In cazul unei tranzitii indirecte , conditia conservarii momentului devine :

, (45)

unde este momentul fononului , iar momentul fononului (neglijabil); semnul "minus" corespunde absorbtiei unui fonon , iar semnul "plus" emisiei unui fonon. Conditia conservarii energiei se poate pune sub forma :

, (46)

unde este energia fotonului. Se poate considera ca efectuarea unei tranzitii neverticale ,are loc in doua etape : mai intai are loc o tranzitie verticala AI, apoi o ranzitie IB inauntrul benzii de conductie, energia din starea I fiind mai mare decat energia din starea B:

.

Starea I apare astfel permisa din punctual de vedere al conservarii mamentului , dar interzisa din punctual de vedere al conservarii energiei. Daca timpul petrecut de electroni in starea I este extreme de scurt, din relatia de incertitudine :

, (47)

rezulta ca imprecizia in determinarea energiei este foarte mare. Prin urmare , sunt posibile tranzitiile AI si IB, fiecare respectand conservarea momentului darn u si a energiei. Pentru tranzitia completa AB sunt inca satisfacute ambele conditii. Electronul mai poate executa tranzitia indirecta AB si astfel: mai intai in banda de valenta, intre starile AI', prin absorbtia sau emisia unui fonon , apoi din starea intermediara I'in B printr-o tranzitie verticala.

Posibilitatea existentei starilor virtuale I si I' , reiese din teoria perturbatiilor impinsa la al doilea ordin de aproximatie. Spre deosebire de tranzitiile directe, unde starile initiala si finala sunt fixate si limitate prin cele doua reguli de conservare (a impulsului si a energiei) , la tranzitiile indirecte, stari initiale pot fi toate starile din banda de valenta, cu energii (masurate de la maximul benzii de valenta in jos) cuprinse intre zero si . Stari finale pot fi toate starile din banda de conductie cu energii cuprinse intre si zero. Cand este mic, poate fi

12

considerat constant.

Pentru calcularea probabilitatii de tranzitie a unui electron din starea cu functia de unda in starea cu functia de unda sub actiunea unui foton si unui fonon, se considera hamiltonianul de perturbare de forma :

, (48)

unde primul termen reprezinta perturbarea datorita undei luminoase cu operator definit prin ; al doilea termen reprezinta unda fononului , cu vector constant definit prin , ecuatia modului de vibratie al retelei cu frecventa , unde este deplasarea atomului cu vectorul de retea din pozitia de echilibru.

Pornind de la starea A din banda de valenta , electronul poate trece fie prin starea I' tot in banda de valenta , fie in starea I din banda de conductie. Se considera . In aproximatia de ordinal I al teoriei perturbatiilor , tranzitia nu este posibila; in aproximatia de ordinaul II se ajunge la probabilitati de tranzitie proportionale cu timpul.

Se alege drept stare initiala una din starile benzii de valenta cu functia de unda si vectorul de unda apropiat de . Starea finala se afla in banda de conductie , cu functia de unda si vectorul de unda apropiat de corespunzator unui minim al benzii de conductie. Se pot forma sase tipuri de matrice :

, ;

, ;

, .

Dintre acestea , si sunt nule, deoarece momentul fotonului este neglijabil; de asemenea se anuleaza deoarece nu exista tranzitii banda-banda doar prin interactiune cu fononi, iar este zero peste tot in afara de (tranzitii verticale). Elementele de matrice care mai raman corespund tranzitiilor : , tranzitii directe din banda de valenta in banda de conductie produse de un foton , iar si tranzitiilor din banda de conductie si banda de valenta produse de fotoni. Faptul ca pentru toate valorile

13

lui in afara de , ne arata ca trebuie luate in considerare doar starile inermediare si care corespund tranzitiilor verticale. Raman deci numai elementele de matrice : care se va nota cu si , care se va nota cu .Avand doar doua stari inermediare este nevoie doar de doua elemente de matrice de tipulsi si anume : si care se vor nota cu si respectiv. Pastrand doar termenii al caror numitor poate fi zero , din calculul perturbatiilor in aproximatia a doua rezulta expresia coeficientului :

, (49)

unde :

;
;

.

Primii doi termini corespund tranzitiilor AB prin starea intermediara I, iar ultimii doi tranzitiilor AB prin starea intermediara I' cu absorbtia sau emisia unui fonon, dupa cum rezulta din conditia de anulare a numitorilor. Probabilitatile de tranzitie si deci coeficientul de absorbtie pot fi calculate separate pentru fiecare termen, apoi adunate pentru a obtine absorbtia totala.

Se incepe cu primul termen; pentru a obtine probabilitatea de tranzitie trebuie sumat asupra tuturor valorilor permise ale lui pastrand fixat. Rezultatul se inmulteste si cu numarul minimelor echivalente ale benzii de conductie M; se obtine astfel:

, (50)

unde este o valoare medie, iar .

Elementul de matrice este egal cu zero in afara de cazul cand

14

, (51)

ceea ce determina energia .Intr-o buna aproximatie se poate lua; in aceste conditii va fi gal cu , energia fononului corespunzatore lui . Valorea lui este determinata atunci prin functiadin (50).

, (52)

Expresia (52) exprima legea conservarii energiei in tranzitia cu absorbtie de fonon. Se introduc notatiile:

; (53)

. (54)

Probabilitatea P, data de (50) este diferita de zero cand este cuprins intre zero si . Probabilitatea totala a acestui tip de tranzitii se obtine sumand asupra tuturor valorilor lui pentru care . Factorii care depend slab de sunt scosi de sub integrala, otinadu-se:

, (55)

cu .

Pentru benzi parabolice, functiile si sunt proportionale cu . Inlocuind si efectuand integrala se va obtine :

P , ; (56)

, , (57)

unde este masa efectiva a golurilor in banda de valenta iar masa efectiva redusa a electronilor in banda de conductie.

Daca se presupun tranzitiile verticale de la premise, esteaproximativ constanta si poate fi exprimat cu ajutorul intensitatii oscilatorului. De asemeneapoate fi si el exprimat cu ajutorul unui anumit model de imprastiere al electronilor in banda de conductie pe vibratiile retelei:

15

. (58)

Inlocuind expresiile lui si in (56) si luand , se gaseste probabilitatea:

, (59)

iar pentru coeficientul de absorbtie in cazul tranzitiilor indirecte prin I, cu absorbtia unui fonon :

, ; (60)

, .

In mod asemanator se obtine contributia la absorbtie pornind de la termenul al doilea din (49) corespunzator emisiei unui fonon :

, ; (61)

, .

Coeficientii de absorbtie corespunzatori termenilor 3 si 4 din (49) se deduc in mod analog, iar expresiile lor sunt :

, ; (62)

, .

, ; (63)

, .

Coeficientul total de absorbtie se obtine prin sumare, adica:

16

. (64)

Absorbtia incepe la si fiecare termen este proportional cu diferenta dintre energia fotonului si valoarea la patrat.

Determinarile experimentale ale absorbtiei pe Ge si Si in regiunea limitei principale de absorbtie au aratat existenta tranzitiilor indirecte cu participarea a doua tipuri de fononi (acustici si optici),ale caror energii au putut fi determinate din masuratoride absorbtie.

In Ge absorbtia corespunzatoare fononilor optici este foarte slaba,pe cand in Si atit fononi acustici cat si cei optici aduc contributii apreciabile la absorbtie.

Ca ordin de marime,coeficientul de absorbtie datorat tranzitiilor indirecte este de 10 cm ^-1 , fata de 10³ cm ^-1 in cazul tranzitiilor directe permise.

In regiunea pragului principal de absorbtie ,coeficientul de absorbtie depinde de temperatura si presiune prin intermediul lui ∆E, largimea zonei interzise. Dependenta de temperature si presiune a absorbtie poate fi determinata experimental,furnizand informatii asupra comportarii benzilor de energie. Tot in regiunea pragului se observa fenomene magneto-optice (fenmenul magnetoabsorbtiei oscilante) si electrooptice (efectul Frantz-Keldis), extreme de iteresante pentru precizarea cunostintelor asupra benzilor de energie .