FORTELE CARE ACTIONEAZA IN ANGRENAJE

FORTELE CARE ACTIONEAZA IN ANGRENAJE

Proiectarea unui angrenaj presupune, in afara calculului geometric si cinematic, calcule de rezistenta pentru corelarea optima a dimensiunilor, cu materialele din care acestea sunt executate si cu conditiile de executie si montaj . In acest scop, este necesara cunoasterea valorilor, a modului de variatie si a factorilor care influenteaza fortele care actioneaza in angrenaje .

1 SARCINA NOMINALA

Transmiterea puterii prin angrenare presupune contactul fortat dintre flancurile conjugate ale celor doua roti (fig . 1, a) si ca urmare, in cupla superioara formata de flancurile celor doi dinti in angrenare, apar apasari normale, rezultate ale presiunii de contact distribuite pe linia de contact a dintilor (fig . 1, b) . Intrucat, la angrenajele cilindrice precis executate, randamentul transmisiei este in jur de 0,995, pierderile prin frecare relativ reduse din cupla cinematica justifica neglijarea, in calculul de rezistenta, a fortelor de frecare .

Forta normala din cupla formata de dinti, numita si sarcina nominala care incarca angrenajul, F_n0, este determinata de marimea puterii transmise, la o anumita viteza unghiulara, w , si implicit, de momentul de torsiune T₁ care incarca roata conducatoare:

. (1)

2 SARCINA DINAMICA EXTERIOARA

Modul de variatie a sarcinii exterioare, determinat de caracteristicile de functionare neuniforma a elementului motor si a celui antrenat, de fortele de inertie care apar in perioadele de functionare tranzitorie (oprire-pornire) sau la variatii ale turatiei, influenteaza marimea sarcinii normale care incarca dintii rotilor . Se evidentiaza influenta sarcinii dinamice exterioare asupra sarcinii normale din angrenaj, prin majorarea sarcinii nominale printr-un factor dinamic exterior, K_A:

F_ne = K_AF_n0 . (2)

La proiectare, valoarea factorului dinamic exterior se adopta in functie de tipul masinilor motoare si antrenate si a caracterului sarcinii, din tabele intocmite experimental (vezi cap . 9) .

3 SARCINA DINAMICA INTERNA

Transmisiile formate din angrenaje, arbori si lagare constituie, in timpul functionarii, un sistem vibrator cu doua surse interne de excitatie:

erorile de executie si montaj;

erorile produse de deformatiile elastice ale pieselor, determinate de sarcina care le incarca .

Aceste surse de excitatii modifica caracteristica rigiditatii totale a angrenajului si determina aparitia de vibratii, zgomote si sarcini dinamice .

Dintre numeroasele modele de calcul utilizate in analiza sistemului vibrator al transmisiei cu roti dintate, in fig . 2 se prezinta modelul care considera masele celor doua roti, m₁ si m₂, reduse pe linia de angrenare si legate prin intermediul dintilor, care au rigiditatea variabila in timp, k(t) si amortizarea c, determinata in principal, de pelicula de lubrifiant existenta intre dinti . Influenta erorilor danturii este marcata prin f(t) . Ecuatia care modeleaza un astfel de sistem, considerand fortele si deplasarile, y, dupa directia normalei comune la profilele aflate in contact, este de forma:

, (3)

in care , reprezinta masa redusa a sistemului .

Datorita variatiei rigiditatii si dependentei acesteia de alti parametri ai sistemului, nu se pune, in general, problema rezolvarii ecuatiei (3), decat, eventual, prin metode numerice, pentru anumite valori ale parametriloe care intervin . Se pot evidentia totusi factorii care determina marimea sarcinii dinamice interne,

F_din = m_red (4)

si anume: rigiditatea variabila, in salturi, a sistemului datorita incarcarii variabile a dintilor in timpul fuctionarii si erorile de executie .

Forta normala care incarca dintii trebuie sa ia deci in considerare si efectul creat de forta dinamica, adica:

, (5)

unde prin

K_V=, (6)

s-a notat factorul dinamic intern .

Pentru calcule de proiectare, valoarea factorului dinamic intern poate fi adoptata din diagrame stabilite pe baza experimentala, care evidentiaza dependenta acestuia de principalii parametri care il determina, precizia angrenajului si viteza periferica a rotilor .

Reducerea fortelor dinamice din angrenaje se poate face prin flancare . Flancarea reprezinta cel mai uzitat procedeu de modificare a geometriei danturii, avand ca scop evitarea intrarii dintilor in contact in afara liniei de angrenare, cu consecinte semnificative asupra micsorarii vibratiilor si zgomotului care apar in functionarea angrenajelor . Elementele geometrice ale flancarii sunt (fig . 3):

curba de flancare;

adancimea de flancare a capului, Da;

adancimea de flancare a piciorului, Df;

inaltimea flancarii capului, Dh_a;

inaltimea flancarii capului, Dh_f .

4 REPARTITIA SARCINII PE LINIA DE CONTACT A DINTILOR

Repartitia neuniforma a sarcinii pe linia de contact a dintilor (fig . 1, b) influenteaza tensiunile pe care aceasta le genereaza si implicit determina durabilitatea angrenajelor . O repartitie uniforma pe linia de contact a dintilor (distributia 1 din fig . 4, a) se poate admite doar teoretic, considerand cazul executiei tuturor elementelor cu o precizie ideala si existenta unor dinti ai rotilor, a unor arbori si lagare de sprijin al arborilor absolut rigide . Rezulta deci ca, practic, la toate angrenajele distributia sarcinii pe lungimea liniei de contact este diferita de valoarea medie

, (8)

caracteristica angrenajului ideal .

Repartitia neuniforma a sarcinii pe lungimea liniei de contact este cauzata de abaterea de directie a dintilor rotilor determinata, practic, de:

a .     erorile de executie si montaj ale rotilor dintate si ale pieselor componente ale mecanismului, diferite in functie de clasa de precizie in care acestea sunt executate;

b .     marimea uzarii din timpul rodajului;

c .        deformatiile elastice ale dintilor rotilor, arborilor si lagarelor .

a . Erorile de executie si montaj ale rotilor dintate pot determina, teoretic, existenta, in stare neincarcata a angrenajului, chiar a unui contact punctiform intre flancuri (fig . 5, b) . Jocul care apare intre dinti, la capatul opus punctului de contact, este determinat de abaterea de directie a dintelui, in stare neincarcata, y_kz . Cei mai importanti factori care influenteaza marimea acestei abateri, y_kz, sunt urmatorii:

erorile de executie a danturii, in special, abaterea directiei dintelui;

abaterea de paralelism si coplanaritate a axelor rotilor;

Fig . 5

jocul din lagare .

Sarcina exterioara aplicata angrenajului conduce la deformarea elastica progresiva a dintelui pe lungimea sa si implicit la o incarcare neuniforma (fig . 6) . Marimea abaterii de directie a dintilor si marimea sarcinii determina incarcarea dintelui pe o anumita portiune (fig . 6, b-pentru y_kz mare si/sau sarcina mica) sau pe toata lungimea (fig . 5, b si fig . 6, c-pentru y_kz mic si/sau sarcina mare) .

b . Marimea uzarii din timpul rodajului . In

Fig . 6

perioada initiala de functionare a angrenajului, distributia sarcinii pe lungimea liniei de contact se poate admite liniara (curbele 2, din fig . 4, a si b) . Valorile maxime ale sarcinii distribuite, W_max, duc, in perioada de rodaj, la aparitia de uzari mai pronuntate in zonele puternic incarcate, uzura y_ku, care apare in aceste zone, diminuand abaterea de directie a dintelui, conducand la modificarea distributiei sarcinii; modelarea acestei distributii conform unei parabole de gradul trei este, in general, destul de apropiata de situatia reala (curbele 3 din fig . 4) . Marimea uzarii din timpul rodajului depinde de natura materialului si de marimea incarcarii .

Fig . 7

c . Deformatiile elastice ale dintilor rotilor, arborilor si lagarelor influenteaza modul real de distributie a sarcinii pe linia de contact a celor doi dinti aflati in angrenare . Astfel, admitand situatia ideala a distributiei uniforme a sarcinii pe lungimea dintelui (fig . 7, a), datorita deformatiilor elastice de incovoiere, apare o abatere de directie a dintelui, y_i (fig . 7, b), iar datorita deformatiei torsionale a dintelui apare o abatere y_t (fig . 7, c) .

Aceste abateri, dependente de deformatiile elastice ale arborilor, y_ai, ale lagarelor, y_ei, de latimea rotii si pozitia acesteia fata de lagare (fig . 8), determina abaterea totala a directiei dintelui cauzata de deformatii elastice, y_ke .

Pe baza analizei anterioare se poate aprecia ca marimea abaterii rezultante de directie a dintelui, y_kr, se poate stabili pe baza urmatoarei relatii:

y_kr = y_kz + y_ke - y_ku . (9)

In general, pentru calcule de proiectare, efectul distributiei neuniforme a sarcinii pe lungimea dintelui, se evalueaza prin factorul de repartitie longitudinala a sarcinii,

, (10)

care, admitand ca dintele este uniform incarcat cu sarcina maxima, devine:

, (11)

ceea ce este echivalent cu corectarea sarcinii de calcul cu factorul K_b . Astfel luand in considerare relatiile (5) si (11), sarcina de calcul devine:

F_nc = K_AK_VK_bF_n0  (12)

Distributia neuniforma a sarcinii pe linia de contact a dintilor in angrenare si valoarea maxima a sarcinii distribuite, W_max, influenteaza in mod diferit comportarea danturii la diverse solicitari, motiv pentru care valorile coeficientului K_b sunt diferite in functie de solicitarea pentru care se considera sarcina de calcul corectata cu acest coeficient . Astfel, factorul de repartitie longitudinala a sarcinii este K_Hb pentru solicitarea de presiune de contact si K_Fb pentru solicitarea de incovoiere . Valorile acestor factori de corectie se adopta in functie de:

erorile de executie, prin considerarea clasei de precizie a angrenajului;

tipul constructiei, prin intermediul factorului de latime y_d si prin considerarea pozitiei rotii fata de lagare;

natura materialului (vezi cap . 9) .

Fig . 9

Diminuarea efectului de concentrare a sarcinii la marginile frontale ale danturii, datorita distributiei neuniforme a sarcinii pe lungimea danturii se poate realiza prin bombarea danturii cu o adancime a bombarii c_b de 0,010,025 mm . Asociind bombarea cu flancarea, rezulta un dinte cu forma de butoi (fig . 9) .

5 REPARTITIA SARCINII PE PERECHILE DE DINTI AFLATE IN ANGRENARE

Pe parcursul unui ciclu de angrenare, existenta unor portiuni de angrenare bipara, respectiv unipara, pune problema repartitiei sarcinii pe cele doua perechi de dinti in perioada angrenarii bipare . Acest aspect este analizat, in continuare, pentru angrenajul cilindric cu dantura dreapta, concluziile putand fi extrapolate si pentru angrenajul cilindric cu dantura inclinata .

Sarcina pe care o preia o pereche de dinti in perioada angrenarii bipare, F_n2, in cazul angrenajului ideal, este:

, (13)

sau considerand gradul de acoperire in plan frontal ca numarul mediu de perechi de dinti aflate simultan in angrenare, se poate admite ca:

. (14)

La intrarea in angrenarea bipara, dintii conjugati ai celor doua roti formeaza insa un sistem static nedeterminat si deci distributia sarcinii pe cele doua perechi de dinti va fi determinata de rigiditatea dintilor si de abaterea cumulata a pasului de baza, A_pb . Cele doua perechi de dinti pot fi considerate ca doua elemente elastice legate in paralel (fig . 10) si deci:

F_nc = F_nB + F_nK2 = [c_B (A_pb + Df) + c_K2 Df ]b, (15)

relatie in care s-au folosit urmatoarele notatii:

F_nB, F_nK2 - fortele preluate de perechile consecutive de dinti aflate in contact in punctele B si K₂ de pe linia de angrenare;

c_B, c_K2 - rigiditatile liniare ale perechilor de dinti conjugati, calculate in punctele B si K₂;

Df - deformatia elastica comuna a celor doua perechi de dinti aflate in angrenare;

A_pb - abaterea cumulata a pasului de baza;

b - lungimea de contact a dintilor .

Introducandu-se notatia:

(16)

si folosind relatia (15), se obtine:

. (17)

Pentru valori medii ale rigiditatii dintilor, considerand si influenta rodajului asupra reducerii neuniformitatii incarcarii dintilor, raportul q_L devine:

, (18)

unde F_t reprezinta componenta tangentiala a sarcinii nominale . Tinand seama si de relatiile (13) si (14), rezulta domeniul de valori al raportului q_L, q_LI

Considerand ca intre sarcina maxima F_nc si sarcina F_nK2 exista o relatie de forma (14) si tinand seama de (16), se pot stabili urmatoarele relatii:

. (19)

Acceptand o legatura de aceeasi forma, intre forta normala F_n transmisa de o pereche de dinti, identificata prin forta F_nK2, si forta care incarca angrenajul, F_nc, identificata prin forta maxima F_nB, este justificata considerarea relatiei:

F_n = K_e K_a F_nc = F_n0 K_A K_V K_b K_e K_a (20)

unde s-a notat prin

K_e - factorul gradului de acoperire, dependent de gradul de acoperire;

K_a - factorul repartitiei frontale a sarcinii, dependent de marimea raportului q_L .

Valorile acestor factori se determina diferentiat in functie de solicitarea pentru care se face corectia fortei normale . Astfel,

pentru solicitarea de presiune de contact, factorii sunt Z_e si K_Ha (vezi cap . 9);

pentru solicitarea de incovoiere, factorii sunt Y_e si K_Fa (vezi cap . 9) .

6 COMPONENTELE FORTEI DE ANGRENARE

Forta normala care apare in angrenajele cilindrice cu dantura inclinata se descompune in trei componente conform directiilor unui sistem de axe triortogonal cu originea, de obicei, in polul angrenarii . Aceasta descompunere este utila pentru calculul arborilor si al lagarelor .

Cele trei componente obtinute sunt:

componenta radiala, F_r, care are directia razei;

componenta axiala, F_a, dupa directia axei rotii;

Fig . 11

componenta tangentiala, F_t, care are directia tangentei la cercul de rostogolire .

Forta normala care apare in timpul angrenarii ca rezultanta a presiunilor de contact, reprezinta o forta de interactiune, care actioneaza dupa cum urmeaza:

ca forta rezistenta asupra rotii conducatoare, F_n1, fiind orientata in sens opus deplasarii;

ca forta motoare asupra rotii conduse, F_n2, fiind orientata in sensul deplasarii .

Conform principiului actiunii si reactiunii, cele doua forte sunt egale si de sens contrar . Toate componentele fortelor normale vor trebui explicitate cu indicii 1 sau 2, corespunzatori rotii conducatoare sau celei conduse .

Forta normala, F_{n1, 2}, poate fi pusa in evidenta in sectiunea normala (perpendiculara pe directia dintelui) si descompusa initial dupa directia radiala si dupa o directie perpendiculara pe directia dintelui (fig . 11):

. (21)

Componenta F_{1, 2} se descompune, in continuare, dupa directiile axei rotii si

, (22)

rezultand in final

. (23)

Marimea acestor componente poate fi stabilita in functie de componenta tangentiala, determinata in functie de marimea momentului de torsiune motor care actioneaza asupra rotii respective:

; (24)

; (25)

. (26)

Pentru calculul de rezistenta al angrenajului este utila si exprimarea marimii fortei normale, F_{n1, 2}, care de fapt reprezinta sarcina nominala, F_n0, in functie de componenta tangentiala:

. (27)

Din analiza directiei si sensului componentelor fortei de angrenare se pot stabili urmatoarele concluzii:

componentele radiale, de modul egal, sunt orientate intotdeauna spre centrul rotii;

componentele tangentiale, egale ca modul, au sensul dependent de sensul de rotatie al rotilor; componenta tangentiala a rotii conducatoare este orientata in sens opus vitezei tangentiale in polul angrenarii, iar cea a rotii conduse are acelasi sens ca si viteza tangentiala a rotii in polul angrenarii;

componentele axiale, egale ca modul, au sensul dependent de sensul inclinarii danturii si de sensul de rotatie al rotii .

Angrenajul cilindric cu dantura dreapta reprezinta un caz particular al celui cu dantura inclinata, pentru b_w = 0 . Marimile componentelor fortei normale, pentru angrenajul cilindric cu dantura dreapta sunt:

, (28)

, (29)

, (30)

marimea fortei normale fiind:

. (31)